2014年重庆市高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 25 页）2014 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个备选项中，分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在复平面内复数 Z=i（12i）对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是（ ）Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列3 （5 分）已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A =0.4x+2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.44 （5 分）已知向量 =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）且（2 3 ） ，则实数 k=（ ）AB0C3D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是（ ）AsBsCsDs6 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）第 2 页（共 25 页）ApqBpqCpq Dpq7 （5 分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）A54B60C66D728 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD39 （5 分）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A72B120 C144 D16810 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，面积 S 满足 1S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）Abc（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12 D12abc24二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 15 分把答案填写在答题卡相应位分把答案填写在答题卡相应位置上置上11 （5 分）设全集 U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则（UA）B= 12 （5 分）函数 f（x）=log2log（2x）的最小值为 第 3 页（共 25 页）13 （5 分）已知直线 ax+y2=0 与圆心为 C 的圆（x1）2+（ya）2=4 相交于A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a= 三、选做题：考生注意（三、选做题：考生注意（14） （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分若三题全做，则按前两题给分14 （5 分）过圆外一点 P 作圆的切线 PA（A 为切点） ，再作割线 PBC 依次交圆于 B、C，若 PA=6，AC=8，BC=9，则 AB= 15 （5 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为sin24cos=0（0，02） ，则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 = 16若不等式|2x1|+|x+2|a2+a+2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （13 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （0，）的图象关于直线 x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（）=（） ，求 cos（+）的值18 （13 分）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片（）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；（）X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望 （注：若三个数字 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数 ）19 （13 分）如图，四棱锥 PABCD，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面第 4 页（共 25 页）ABCD，AB=2，BAD=，M 为 BC 上的一点，且 BM=，MPAP（）求 PO 的长；（）求二面角 APMC 的正弦值20 （12 分）已知函数 f（x）=ae2xbe2xcx（a，b，cR）的导函数 f（x）为偶函数，且曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 4c（）确定 a，b 的值；（）若 c=3，判断 f（x）的单调性；（）若 f（x）有极值，求 c 的取值范围21 （12 分）如图，设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径22 （12 分）设 a1=1，an+1=+b（nN*）（）若 b=1，求 a2，a3及数列an的通项公式；（）若 b=1，问：是否存在实数 c 使得 a2nca2n+1对所有的 nN*成立，证第 5 页（共 25 页）明你的结论第 6 页（共 25 页）2014 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个备选项中，分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在复平面内复数 Z=i（12i）对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数 Z 化为 a=bi（a，bR）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案【解答】解：复数 Z=i（12i）=2+i复数 Z 的实部 20，虚部 10复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数 Z 化为 a=bi（a，bR）的形式，是解答本题的关键2 （5 分）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是（ ）Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可【解答】解：A 项中 a3=a1q2，a1a9=q8， （a3）2a1a9，故 A 项说法错误，B 项中（a3）2=（a1q2）2a2a6=q6，故 B 项说法错误，C 项中（a4）2=（a1q3）2a2a8=q8，故 C 项说法错误，D 项中（a6）2=（a1q5）2=a3a9=q10，故 D 项说法正确，故选：D【点评】本题主要考查了是等比数列的性质主要是利用了等比中项的性质对第 7 页（共 25 页）等比数列进行判断3 （5 分）已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A =0.4x+2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.4【分析】变量 x 与 y 正相关，可以排除 C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量 x 与 y 正相关，可以排除 C，D；样本平均数 =3， =3.5，代入 A 符合，B 不符合，故选：A【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键4 （5 分）已知向量 =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）且（2 3 ） ，则实数 k=（ ）AB0C3D【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于 0，得到关于 k 的方程，解方程即可【解答】解： =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）2 3 =（2k3，6） ，（2 3 ） ，（2 3 ） =0'2（2k3）+1×（6）=0，解得，k=3故选：C第 8 页（共 25 页）【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是（ ）AsBsCsDs【分析】程序运行的 S=×××，根据输出 k 的值，确定 S 的值，从而可得判断框的条件【解答】解：由程序框图知：程序运行的 S=×××，输出的 k=6，S=××=，判断框的条件是 S，故选：C【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的 S 值是解题的关键6 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）ApqBpqCpq Dpq【分析】由命题 p，找到 x 的范围是 xR，判断 p 为真命题而 q：“x1”是“x2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答第 9 页（共 25 页）【解答】解：因为命题 p 对任意 xR，总有 2x0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题 q：“x1”不能推出“x2”；但是“x2”能推出“x1”所以：“x1”是“x2”的必要不充分条件，故 q 是假命题；所以 pq 为真命题；故选：D【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断7 （5 分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）A54B60C66D72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形，AB平面 BEFC，ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5几何体的表面积 S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60故选：B第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键8 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3【分析】不妨设右支上 P 点的横坐标为 x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=exa，结合条件可得 a=b，从而 c=b，即可求出双曲线的离心率【解答】解：不妨设右支上 P 点的横坐标为 x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=exa，|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，2ex=3b， （ex）2a2=abb2a2=ab，即 9b24a29ab=0，（3b4a） （3b+a）=0a=b，c=b，e=第 11 页（共 25 页）故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题9 （5 分）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A72B120 C144 D168【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、先将 3 个歌舞类节目全排列，、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：分 2 步进行分析：1、先将 3 个歌舞类节目全排列，有 A33=6 种情况，排好后，有 4 个空位，2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须安排 2 个节目，分 2 种情况讨论：将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C21A22=4 种情况，排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 6×4×2=48 种；将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 A22=2 种情况，排好后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选，即有 6 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 6×2×6=72 种；则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120，故选：B【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便10 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，面积 S 满足 1S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）第 12 页（共 25 页）Abc（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12 D12abc24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，sin2A+sin2B=sin2C+，sin2A+sin2B+sin2C=，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC）=，2sinA（cos（BC）cos（B+C） ）=，化为 2sinA2sinBsin（C）=，sinAsinBsinC=设外接圆的半径为 R，由正弦定理可得：=2R，由 S=，及正弦定理得 sinAsinBsinC=，即 R2=4S，面积 S 满足 1S2，4R28，即 2R，由 sinAsinBsinC=可得，显然选项 C，D 不一定正确，Abc（b+c）abc8，即 bc（b+c）8，正确，Bab（a+b）abc8，即 ab（a+b）8，但 ab（a+b）16，不一定正确，故选：A【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题第 13 页（共 25 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 15 分把答案填写在答题卡相应位分把答案填写在答题卡相应位置上置上11 （5 分）设全集 U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则（UA）B= 7，9 【分析】由条件利用补集的定义求得UA，再根据两个集合的交集的定义求得（UA）B【解答】解：全集 U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，（UA）=4，6，7，9 ，（UA）B=7，9，故答案为：7，9【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题12 （5 分）函数 f（x）=log2log（2x）的最小值为 【分析】利用对数的运算性质可得 f（x）=，即可求得f（x）最小值【解答】解：f（x）=log2log（2x）f（x）=log（）log（2x）=logxlog（2x）=logx（logx+log2）=logx（logx+2）=，当 logx+1=0即 x=时，函数 f（x）的最小值是故答案为：第 14 页（共 25 页）【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题13 （5 分）已知直线 ax+y2=0 与圆心为 C 的圆（x1）2+（ya）2=4 相交于A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a= 4± 【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论【解答】解：圆心 C（1，a） ，半径 r=2，ABC 为等边三角形，圆心 C 到直线 AB 的距离 d=，即 d=，平方得 a28a+1=0，解得 a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键三、选做题：考生注意（三、选做题：考生注意（14） （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分若三题全做，则按前两题给分14 （5 分）过圆外一点 P 作圆的切线 PA（A 为切点） ，再作割线 PBC 依次交圆于 B、C，若 PA=6，AC=8，BC=9，则 AB= 4 【分析】由题意，PAB=C，可得PABPCA，从而，代入数据可得结论【解答】解：由题意，PAB=C，APB=CPA，PABPCA，第 15 页（共 25 页）PA=6，AC=8，BC=9，PB=3，AB=4，故答案为：4【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题15 （5 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为sin24cos=0（0，02） ，则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 = 【分析】直线 l 的参数方程化为普通方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径【解答】解：直线 l 的参数方程为，普通方程为 y=x+1，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos=0 的直角坐标方程为 y2=4x，直线 l 与曲线 C 联立可得（x1）2=0，x=1，y=2，直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 =故答案为：【点评】本题考查直线 l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题16若不等式|2x1|+|x+2|a2+a+2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范第 16 页（共 25 页）围是 1， 【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2 小于等于它的最小值即可【解答】解：|2x1|+|x+2|=，x=时，|2x1|+|x+2|的最小值为，不等式|2x1|+|x+2|a2+a+2 对任意实数 x 恒成立，a2+a+2，a2+a0，1a，实数 a 的取值范围是1，故答案为：1，【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （13 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （0，）的图象关于直线 x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（）=（） ，求 cos（+）的值【分析】 （）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 求得 =2再根据图象关于直线 x=对称，结合可得 的值第 17 页（共 25 页）（）由条件求得 sin（）=再根据 的范围求得 cos（）的值，再根据 cos（+）=sin=sin（）+，利用两角和的正弦公式计算求得结果【解答】解：（）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为，=，=2再根据图象关于直线 x=对称，可得 2×+=k+，kz结合可得 =（）f（）=（） ，sin（）=，sin（）=再根据 0，cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+=【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题18 （13 分）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片（）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；（）X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望 （注：若三个数字 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数 ）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量 X 的所有可能取值，此处应注意所取三张卡第 18 页（共 25 页）片可能来自于相同数字（如 1 或 2）或不同数字（1 和 2、1 和 3、2 和 3 三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现【解答】解：（）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（）由题意知 X 的所有可能取值为 1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以 X 的分布列为：X123P所以 E（X）=【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题19 （13 分）如图，四棱锥 PABCD，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M 为 BC 上的一点，且 BM=，MPAP（）求 PO 的长；（）求二面角 APMC 的正弦值第 19 页（共 25 页）【分析】 （）连接 AC，BD，以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 方向为 x，y，z轴正方向建立空间坐标系 Oxyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MPAP，得到=0，进而求出 PO 的长；（）求出平面 APM 和平面 PMC 的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角 APMC 的正弦值【解答】解：（）连接 AC，BD，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面 ABCD，故 ACBD=O，且 ACBD，以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 方向为 x，y，z 轴正方向建立空间坐标系Oxyz，AB=2，BAD=，OA=ABcos（BAD）=，OB=ABsin（BAD）=1，O（0，0，0） ，A（，0，0） ，B（0，1，0） ，C（，0，0） ，=（0，1，0） ，=（，1，0） ，又BM=，=（，0） ，第 20 页（共 25 页）则=+=（，0） ，设 P（0，0，a） ，则=（，0，a） ，=（，a） ，MPAP，=a2=0，解得 a=，即 PO 的长为（）由（）知=（，0，） ，=（，） ，=（，0，） ，设平面 APM 的法向量 =（x，y，z） ，平面 PMC 的法向量为 =（a，b，c） ，由，得，令 x=1，则 =（1，2） ，由，得，令 a=1，则 =（1，2） ，平面 APM 的法向量 和平面 PMC 的法向量 夹角 满足：cos=故 sin=【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键20 （12 分）已知函数 f（x）=ae2xbe2xcx（a，b，cR）的导函数 f（x）为偶函数，且曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 4c第 21 页（共 25 页）（）确定 a，b 的值；（）若 c=3，判断 f（x）的单调性；（）若 f（x）有极值，求 c 的取值范围【分析】 （）根据函数 f（x）=ae2xbe2xcx（a，b，cR）的导函数 f（x）为偶函数，且曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 4c，构造关于a，b 的方程，可得 a，b 的值；（）将 c=3 代入，利用基本不等式可得 f（x）0 恒成立，进而可得 f（x）在定义域 R 为均增函数；（）结合基本不等式，分 c4 时和 c4 时两种情况讨论 f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案【解答】解：（）函数 f（x）=ae2xbe2xcx（a，b，cR）f（x）=2ae2x+2be2xc，由 f（x）为偶函数，可得 2（ab） （e2xe2x）=0，即 a=b，又曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 4c，即 f（0）=2a+2bc=4c，故 a=b=1；（）当 c=3 时，f（x）=2e2x+2e2x32=10 恒成立，故 f（x）在定义域 R 为均增函数；（）由（）得 f（x）=2e2x+2e2xc，而 2e2x+2e2x2=4，当且仅当 x=0 时取等号，当 c4 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）无极值；当 c4 时，令 t=e2x，方程 2t+c=0 的两根均为正，即 f（x）=0 有两个根 x1，x2，当 x（x1，x2）时，f（x）0，当 x（，x1）（x2，+）时，f（x）第 22 页（共 25 页）0，故当 x=x1，或 x=x2时，f（x）有极值，综上，若 f（x）有极值，c 的取值范围为（4，+） 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档21 （12 分）如图，设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径【分析】 （）设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，依题意，可求得 c=1，易求得|DF1|=，|DF2|=，从而可得 2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 相交，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由 F1P1F2P2，得 x1=或 x1=0，分类讨论即可求得圆的半径【解答】解：（）设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，其中 c2=a2b2，第 23 页（共 25 页）由=2，得|DF1|=c，从而=|DF1|F1F2|=c2=，故 c=1从而|DF1|=，由 DF1F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以 2a=|DF1|+|DF2|=2，故 a=，b2=a2c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 相交，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知 x2=x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（）知 F1（1，0） ，F2（1，0） ，所以=（x1+1，y1） ，=（x11，y1） ，再由 F1P1F2P2，得+=0，由椭圆方程得 1=，即 3+4x1=0，解得 x1=或 x1=0当 x1=0 时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当 x1=时，过 P1，P2，分别与 F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C由 F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2，又|CP1|=|CP2|，第 24 页（共 25 页）故圆 C 的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题22 （12 分）设 a1=1，an+1=+b（nN*）（）若 b=1，求 a2，a3及数列an的通项公式；（）若 b=1，问：是否存在实数 c 使得 a2nca2n+1对所有的 nN*成立，证明你的结论【分析】 （）若 b=1，利用 an+1=+b，可求 a2，a3；证明（an1）2是首项为 0，公差为 1 的等差数列，即可求数列an的通项公式；（）设 f（x）=，则 an+1=f（an） ，令 c=f（c） ，即c=1，解得 c=用数学归纳法证明加强命题 a2nca2n+11 即可【解答】解：（）a1=1，an+1=+b，b=1，a2=2，a3=+1；又（an+11）2=（an1）2+1，（an1）2是首项为 0，公差为 1 的等差数列；（an1）2=n1，an=+1（nN*） ；（）设 f（x）=，则 an+1=f（an） ，令 c=f（c） ，即 c=1，解得 c=下面用数学归纳法证明加强命题 a2nca2n+11n=1 时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=1，a2ca31，成立；设 n=k 时结论成立，即 a2kca2k+11第 25 页（共 25 页）f（x）在（，1上为减函数，c=f（c）f（a2k+1）f（1）=a2，1ca2k+2a2，c=f（c）f（a2k+2）f（a2）=a31，ca2k+31，a2（k+1）ca2（k+1）+11，即 n=k+1 时结论成立，综上，c=使得 a2nca2n+1对所有的 nN*成立【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大