2015年湖南省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 29 页）2015 年湖南省高考数学试卷（理科）年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共一、选择题，共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分1 （5 分）已知=1+i（i 为虚数单位） ，则复数 z=（ ）A1+i B1iC1+i D1i2 （5 分）设 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）ABCD4 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3xy 的最小值为（ ）A7B1C1D25 （5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数第 2 页（共 29 页）6 （5 分）已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（ ）ABC6D67 （5 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附“若 XN=（，a2） ，则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544A2386B2718C3413D47728 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则|的最大值为（ ）A6B7C8D99 （5 分）将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则 =（ ）ABCD10 （5 分） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=） （ ）第 3 页（共 29 页）ABCD二、填空题，共二、填空题，共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）（x1）dx= 12 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是 13 （5 分）设 F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 14 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an= 15 （5 分）已知函数 f（x）=若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 第 4 页（共 29 页）三、简答题，共三、简答题，共 1 小题，共小题，共 75 分，分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修如果全做，则按前两题计分选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲16 （6 分）如图，在O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1）MEN+NOM=180°（2）FEFN=FMFO选修选修 4-4：坐标系与方程：坐标系与方程17 （6 分）已知直线 l：（t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 =2cos（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（5，） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲18设 a0，b0，且 a+b=+证明：（）a+b2；（）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立七、标题七、标题19设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B 为钝角（）证明：BA=；第 5 页（共 29 页）（）求 sinA+sinC 的取值范围20某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望21如图，已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 DD1、BC 上（1）若 P 是 DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若 PQ平面 ABB1A1，二面角 PQDA 的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积22 （13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2（）求 C2的方程；（）过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A、B 两点，与 C2相交于 C、D 两点，且与同向（1）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率；（2）设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形23 （13 分）已知 a0，函数 f（x）=eaxsinx（x0，+） 记 xn为 f（x）的第 6 页（共 29 页）从小到大的第 n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立第 7 页（共 29 页）2015 年湖南省高考数学试卷（理科）年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题，共一、选择题，共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分1 （5 分）已知=1+i（i 为虚数单位） ，则复数 z=（ ）A1+i B1iC1+i D1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值【解答】解：已知=1+i（i 为虚数单位） ，z=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2 （5 分）设 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可【解答】解：A、B 是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”所以 A、B 是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件故选：C【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用3 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）第 8 页（共 29 页）ABCD【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S=，i=2，第 2 次循环，S=，i=3，第 3 次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=3xy 的最小值为（ ）A7B1C1D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案第 9 页（共 29 页）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立，解得 C（0，1） 由解得 A（2，1） ，由，解得B（1，1）z=3xy 的最小值为 3×（2）1=7故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的 B 点5 （5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，函数的定义域为（1，1） ，函数 f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x） ，所以函数是奇函数排除 C，D，正确结果在 A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；第 10 页（共 29 页）x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然 f（0）f（） ，函数是增函数，所以 B 错误，A 正确故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6 （5 分）已知（）5的展开式中含 x的项的系数为 30，则 a=（ ）ABC6D6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含 x的项的系数为 30，r=1，并且，解得 a=6故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7 （5 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附“若 XN=（，a2） ，则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544第 11 页（共 29 页）A2386B2718C3413D4772【分析】求出 P（0X1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论【解答】解：由题意 P（0X1）=×0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为 10000×0.3413=3413，故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则|的最大值为（ ）A6B7C8D9【分析】由题意，AC 为直径，所以|=|2+|B 为（1，0）时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|=|2+|所以 B 为（1，0）时，|2+|7所以|的最大值为 7另解：设 B（cos，sin） ，|2+|=|2（2，0）+（cos2，sin）|=|（cos6，sin）|=，当 cos=1 时，B 为（1，0） ，取得最大值 7故选：B【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础第 12 页（共 29 页）9 （5 分）将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2 的 x1、x2，有|x1x2|min=，则 =（ ）ABCD【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数 f（x）=sin2x 的周期为 ，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有|x1x2|min=，不妨 x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最小值，sin（2×2）=1，此时 =，不合题意，x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最大值，sin（2×2）=1，此时 =，满足题意另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x2） ，设2x1=2k+，kZ，2x22=+2m，mZ，x1x2=+（km），由|x1x2|min=，可得=，解得 =，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答10 （5 分） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=） （ ）第 13 页（共 29 页）ABCD【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高为 2，求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，利用轴截面的图形可判断得出 n=（1） ，0x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为 1，高为 2，V=×2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，根据轴截面图得出：=，第 14 页（共 29 页）解得；n=（1） ，0x2，长方体的体积 =2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增， （，2）单调递减， 最大值=2（1）2×=，原工件材料的利用率为=×=，故选：A【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题二、填空题，共二、填空题，共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）（x1）dx= 0 【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值【解答】解：（x1）dx=（x）|=0；故答案为：0【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数12 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是 4 【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论第 15 页（共 29 页）【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139，151上的运动员人数是 20，用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人，成绩在区间139，151上的运动员应抽取7×=4（人） 故答案为：4【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目13 （5 分）设 F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 【分析】设 F（c，0） ，P（m，n） ， （m0） ，设 PF 的中点为 M（0，b） ，即有m=c，n=2b，将中点 M 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到【解答】解：设 F（c，0） ，P（m，n） ， （m0） ，设 PF 的中点为 M（0，b） ，即有 m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得 e2=5，解得 e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题第 16 页（共 29 页）14 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an= 3n1 【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式【解答】解：设等比数列的公比为 q，Sn为等比数列an的前 n 项和，若a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，可得 4S2=S3+3S1，a1=1，即 4（1+q）=1+q+q2+3，q=3an=3n1故答案为：3n1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查15 （5 分）已知函数 f（x）=若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则 a 的取值范围是 a|a0 或 a1 【分析】由 g（x）=f（x）b 有两个零点可得 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围【解答】解：g（x）=f（x）b 有两个零点，f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，由 x3=x2可得，x=0 或 x=1当 a1 时，函数 f（x）的图象如图所示，此时存在 b，满足题意，故 a1满足题意第 17 页（共 29 页）当 a=1 时，由于函数 f（x）在定义域 R 上单调递增，故不符合题意当 0a1 时，函数 f（x）单调递增，故不符合题意a=0 时，f（x）单调递增，故不符合题意当 a0 时，函数 y=f（x）的图象如图所示，此时存在 b 使得，y=f（x）与y=b 有两个交点第 18 页（共 29 页）综上可得，a0 或 a1故答案为：a|a0 或 a1【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想三、简答题，共三、简答题，共 1 小题，共小题，共 75 分，分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修如果全做，则按前两题计分选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲16 （6 分）如图，在O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1）MEN+NOM=180°（2）FEFN=FMFO【分析】 （1）证明 O，M，E，N 四点共圆，即可证明MEN+NOM=180°（2）证明FEMFON，即可证明 FEFN=FMFO【解答】证明：（1）N 为 CD 的中点，ONCD，M 为 AB 的中点，OMAB，在四边形 OMEN 中，OME+ONE=90°+90°=180°，O，M，E，N 四点共圆，MEN+NOM=180°（2）在FEM 与FON 中，F=F，FME=FNO=90°，FEMFON，第 19 页（共 29 页）=FEFN=FMFO【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础选修选修 4-4：坐标系与方程：坐标系与方程17 （6 分）已知直线 l：（t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 =2cos（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（5，） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值【分析】 （1）曲线的极坐标方程即 2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得 x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线 l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线 l：（t 为参数） ，普通方程为， （5，）在直线 l 上，过点 M 作圆的切线，切点为 T，则|MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=18【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲18设 a0，b0，且 a+b=+证明：第 20 页（共 29 页）（）a+b2；（）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【分析】 （）由 a0，b0，结合条件可得 ab=1，再由基本不等式，即可得证；（）运用反证法证明假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立结合条件a0，b0，以及二次不等式的解法，可得 0a1，且 0b1，这与 ab=1矛盾，即可得证【解答】证明：（）由 a0，b0，则 a+b=+=，由于 a+b0，则 ab=1，即有 a+b2=2，当且仅当 a=b 取得等号则 a+b2；（）假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立由 a2+a2 及 a0，可得 0a1，由 b2+b2 及 b0，可得 0b1，这与 ab=1 矛盾a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题七、标题七、标题19设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B 为钝角（）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围【分析】 （）由题意和正弦定理可得 sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得 A（0，） ，可得 0sinA，化简可得第 21 页（共 29 页）sinA+sinC=2（sinA）2+，由二次函数区间的最值可得【解答】解：（）由 a=btanA 和正弦定理可得=，sinB=cosA，即 sinB=sin（+A）又 B 为钝角，+A（，） ，B=+A，BA=；（）由（）知 C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，） ，sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，） ，0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sinA+sinC 的取值范围为（，【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题20某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望【分析】 （1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖，事件 A2=顾客抽奖 1 次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，利用 A1，A2相互独立，第 22 页（共 29 页）互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可（2）顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，判断 XB求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望【解答】解：（1）记事件 A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件 B1=顾客抽奖 1 次获一等奖，事件 B2=顾客抽奖1 次获二等奖，事件 C=顾客抽奖 1 次能获奖，由题意 A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，且 B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=，P（B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为：所以XB于是，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故 X 的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响21如图，已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方第 23 页（共 29 页）形，AA1=6，且 AA1底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 DD1、BC 上（1）若 P 是 DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若 PQ平面 ABB1A1，二面角 PQDA 的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积【分析】 （1）首先以 A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q 在棱 BC 上，从而可设Q（6，y1，0） ，只需求即可；（2）设 P（0，y2，z2） ，根据 P 在棱 DD1上，从而由即可得到z2=122y2，从而表示点 P 坐标为 P（0，y2，122y2） 由 PQ平面 ABB1A1便知道与平面 ABB1A1的法向量垂直，从而得出 y1=y2，从而 Q 点坐标变成Q（6，y2，0） ，设平面 PQD 的法向量为，根据即可表示，平面 AQD 的一个法向量为，从而由即可求出 y2，从而得出 P 点坐标，从而求出三棱锥 PAQD的高，而四面体 ADPQ 的体积等于三棱锥 PAQD 的体积，从而求出四面体的体积【解答】解：根据已知条件知 AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0） ，B（6，0，0） ，D（0，6，0） ，A1（0，0，6） ，B1（3，0，6） ，D1（0，3，6） ；第 24 页（共 29 页）Q 在棱 BC 上，设 Q（6，y1，0） ，0y16；（1）证明：若 P 是 DD1的中点，则 P；，；AB1PQ；（2）设 P（0，y2，z2） ，y2，z20，6，P 在棱 DD1上；，01；（0，y26，z2）=（0，3，6） ；z2=122y2；P（0，y2，122y2） ；平面 ABB1A1的一个法向量为；PQ平面 ABB1A1；=6（y1y2）=0；y1=y2；Q（6，y2，0） ；设平面 PQD 的法向量为，则：；，取 z=1，则；第 25 页（共 29 页）又平面 AQD 的一个法向量为；又二面角 PQDA 的余弦值为；解得 y2=4，或 y2=8（舍去） ；P（0，4，4） ；三棱锥 PADQ 的高为 4，且；V四面体 ADPQ=V三棱锥 PADQ=【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式22 （13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2（）求 C2的方程；（）过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A、B 两点，与 C2相交于 C、D 两点，且与同向（1）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率；第 26 页（共 29 页）（2）设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形【分析】 （）根据两个曲线的焦点相同，得到 a2b2=1，再根据 C1与 C2的公共弦长为 2，得到=1，解得即可求出；（）设出点的坐标， （1）根据向量的关系，得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线 l 的方程，分别与 C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于 k 的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到 C1在点 A 处的切线方程，求出点 M 的坐标，利用向量的乘积AFM 是锐角，问题得以证明【解答】解：（）抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 的坐标为（0，1） ，因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点，a2b2=1，又 C1与 C2的公共弦长为 2，C1与 C2的都关于 y 轴对称，且 C1的方程为x2=4y，由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为（±，） ，所以=1，联立得 a2=9，b2=8，故 C2的方程为+=1（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而 x3x1=x4x2，即 x1x2=x3x4，于是（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1，由，得 x24kx4=0，而 x1，x2是这个方程的两根，第 27 页（共 29 页）所以 x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，而 x3，x4是这个方程的两根，所以 x3+x4=，x3x4=，将代入，得 16（k2+1）=+，即 16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得 k=±（2）由 x2=4y 得 y=x，所以 C1在点 A 处的切线方程为 yy1=x1（xx1） ，即 y=x1xx12，令 y=0，得 x=x1，M（x1，0） ，所以=（x1，1） ，而=（x1，y11） ，于是=x12y1+1=x12+10，因此AFM 是锐角，从而MFD=180°AFM 是钝角，故直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于 k 的方程，计算量大，属于难题23 （13 分）已知 a0，函数 f（x）=eaxsinx（x0，+） 记 xn为 f（x）的第 28 页（共 29 页）从小到大的第 n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立【分析】 （）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为 0 的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（）由 sin=，可得对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立即为 nea（n）恒成立，设 g（t）=（t0） ，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证【解答】证明：（）f（x）=eax（asinx+cosx）=eaxsin（x+） ，tan=，0，令 f（x）=0，由 x0，x+=m，即 x=m，mN*，对 kN，若（2k+1）x+（2k+2），即（2k+1）x（2k+2），则 f（x）0，因此在（m1），m）和（m， （m+1）上f（x）符号总相反于是当 x=n，nN*，f（x）取得极值，所以 xn=n，nN*，此时 f（xn）=ea（n）sin（n）=（1）n+1ea（n）sin，易知 f（xn）0，而=ea是常数，故数列f（xn）是首项为 f（x1）=ea（）sin，公比为ea的等比数列；（）由 sin=，可得对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立即为 nea（n）恒成立，第 29 页（共 29 页）设 g（t）=（t0） ，g（t）=，当 0t1 时，g（t）0，g（t）递减，当 t1 时，g（t）0，g（t）递增t=1 时，g（t）取得最小值，且为 e因此要使恒成立，只需g（1）=e，只需 a，当 a=，tan=，且 0，可得，于是 ，且当 n2 时，n2，因此对 nN*，axn=1，即有 g（axn）g（1）=e=，故亦恒成立综上可得，若 a，则对一切 nN*，xn|f（xn）|恒成立【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题