2015年浙江省高考数学试卷（文科）.doc

第 1 页（共 21 页）2015 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 P=x|x22x3，Q=x|2x4，则 PQ=（ ）A3，4）B （2，3 C （1，2）D （1，32 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ）A8cm3B12cm3CD3 （5 分）设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4 （5 分）设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l，m， （ ）A若 l，则 B若 ，则 lmC若 l，则 D若，则 lm5 （5 分）函数 f（x）=（x）cosx（x 且 x0）的图象可能为（ ）第 2 页（共 21 页）ABCD6 （5 分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且 abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）Aax+by+czBaz+by+cxCay+bz+cxDay+bx+cz7 （5 分）如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60°，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB=30°，则点 P 的轨迹是（ ）A直线B抛物线 C椭圆D双曲线的一支8 （5 分）设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t则（ ）A若 t 确定，则 b2唯一确定B若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定C若 t 确定，则 sin唯一确定 D若 t 确定，则 a2+a 唯一确定二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分）9 （6 分）计算：log2= ，2= 10 （6 分）已知an是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7成等比数列，且 2a1+a2=1，则 a1= ，d= 11 （6 分）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，最小值是 12 （6 分）已知函数 f（x）=，则 f（f（2） ）= ，f（x）第 3 页（共 21 页）的最小值是 13 （4 分）已知1，2是平面单位向量，且12=，若平面向量 满足 1=1，则| |= 14 （4 分）已知实数 x，y 满足 x2+y21，则|2x+y4|+|6x3y|的最大值是 15 （4 分）椭圆+=1（ab0）的右焦点 F（c，0）关于直线 y=x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。16 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan（+A）=2（）求的值；（）若 B=，a=3，求ABC 的面积17 （15 分）已知数列an和bn满足 a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*） ，b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求 an与 bn；（）记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn18 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1的中点（）证明：A1D平面 A1BC；（）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值第 4 页（共 21 页）19 （15 分）如图，已知抛物线 C1：y=x2，圆 C2：x2+（y1）2=1，过点P（t，0） （t0）作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A，B 为切点（）求点 A，B 的坐标；（）求PAB 的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点20 （15 分）设函数 f（x）=x2+ax+b（a，bR） （）当 b=+1 时，求函数 f（x）在1，1上的最小值 g（a）的表达式（）已知函数 f（x）在1，1上存在零点，0b2a1，求 b 的取值范围第 5 页（共 21 页）2015 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 P=x|x22x3，Q=x|2x4，则 PQ=（ ）A3，4）B （2，3 C （1，2）D （1，3【分析】求出集合 P，然后求解交集即可【解答】解：集合 P=x|x22x3=x|x1 或 x3，Q=x|2x4，则 PQ=x|3x4=3，4） 故选：A【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力2 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ）A8cm3B12cm3CD【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为第 6 页（共 21 页）边长 2 的正方形高为 2 的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=故选：C【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力3 （5 分）设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可【解答】解：a，b 是实数，如果 a=1，b=2 则“a+b0”，则“ab0”不成立如果 a=1，b=2，ab0，但是 a+b0 不成立，所以设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查4 （5 分）设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l，m， （ ）A若 l，则 B若 ，则 lmC若 l，则 D若，则 lm【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出 A 正确；B 根据面面垂直的性质判断 B 错误；C 根据面面平行的判断定理得出 C 错误；D 根据面面平行的性质判断 D 错误【解答】解：对于 A，l，且 l，根据线面垂直的判定定理，得，A 正确；对于 B，当 ，l，m 时，l 与 m 可能平行，也可能垂直，B 错误；对于 C，当 l，且 l 时， 与 可能平行，也可能相交，C 错误；第 7 页（共 21 页）对于 D，当 ，且 l，m 时，l 与 m 可能平行，也可能异面，D 错误故选：A【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目5 （5 分）函数 f（x）=（x）cosx（x 且 x0）的图象可能为（ ）ABCD【分析】由条件可得函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0，结合所给的选项，得出结论【解答】解：对于函数 f（x）=（x）cosx（x 且 x0） ，由于它的定义域关于原点对称，且满足 f（x）=（+x）cosx=（x）=f（x） ，故函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称故排除 A、B当 x=，f（x）0，故排除 D，但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题6 （5 分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且 abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ 第 8 页（共 21 页）Aax+by+czBaz+by+cxCay+bz+cxDay+bx+cz【分析】作差法逐个选项比较大小可得【解答】解：xyz 且 abc，ax+by+cz（az+by+cx）=a（xz）+c（zx）=（xz） （ac）0，ax+by+czaz+by+cx；同理 ay+bz+cx（ay+bx+cz）=b（zx）+c（xz）=（zx） （bc）0，ay+bz+cxay+bx+cz；同理 az+by+cx（ay+bz+cx）=a（zy）+b（yz）=（zy） （ab）0，az+by+cxay+bz+cx，最低费用为 az+by+cx故选：B【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题7 （5 分）如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60°，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB=30°，则点 P 的轨迹是（ ）第 9 页（共 21 页）A直线B抛物线 C椭圆D双曲线的一支【分析】根据题意，PAB=30°为定值，可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥侧面与平面 的交线，则答案可求【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线此题中平面 上的动点 P 满足PAB=30°，可理解为 P 在以 AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段 AB 与平面 所成的角为 60°，可知 P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义故可知动点 P 的轨迹是椭圆故选：C【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8 （5 分）设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t则（ ）A若 t 确定，则 b2唯一确定B若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定C若 t 确定，则 sin唯一确定 D若 t 确定，则 a2+a 唯一确定【分析】根据代数式得出 a2+2a=t21，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案【解答】解：实数 a，b，t 满足|a+1|=t，（a+1）2=t2，a2+2a=t21，t 确定，则 t21 为定值sin2b=t2，A，C 不正确，若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定，故选：B【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出 a2+2a=t21，即可判断第 10 页（共 21 页）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分）9 （6 分）计算：log2= ，2= 【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可【解答】解：log2=log2=；2=3故答案为：；【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查10 （6 分）已知an是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7成等比数列，且 2a1+a2=1，则 a1= ，d= 1 【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得 d=a1，再由条件 2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差【解答】解：由 a2，a3，a7成等比数列，则 a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d） （a1+6d） ，即 2d2+3a1d=0，由公差 d 不为零，则 d=a1，又 2a1+a2=1，即有 2a1+a1+d=1，即 3a1a1=1，解得 a1=，d=1故答案为：，1【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，第 11 页（共 21 页）注意等差数列和等比数列的性质的合理运用11 （6 分）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，最小值是 【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得 f（x）=sin（2x）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x）+最小正周期 T=，最小值为：故答案为：，【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查12 （6 分）已知函数 f（x）=，则 f（f（2） ）= ，f（x）的最小值是 26 【分析】由分段函数的特点易得 f（f（2） ）=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得【解答】解：由题意可得 f（2）=（2）2=4，f（f（2） ）=f（4）=4+6=；当 x1 时，f（x）=x2，由二次函数可知当 x=0 时，函数取最小值 0；当 x1 时，f（x）=x+6，由基本不等式可得 f（x）=x+626=26，第 12 页（共 21 页）当且仅当 x=即 x=时取到等号，即此时函数取最小值 26；260，f（x）的最小值为 26故答案为：；26【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题13 （4 分）已知1，2是平面单位向量，且12=，若平面向量 满足 1=1，则| |= 【分析】根据数量积得出1，2夹角为 60°， ，1= ，2=30°，运用数量积的定义判断求解即可【解答】解：1，2是平面单位向量，且12=，1，2夹角为 60°，向量 满足 1= =1 与1，2夹角相等，且为锐角， 应该在1，2夹角的平分线上，即 ，1= ，2=30°，| |×1×cos30°=1，| |=故答案为：【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可第 13 页（共 21 页）14 （4 分）已知实数 x，y 满足 x2+y21，则|2x+y4|+|6x3y|的最大值是 15 【分析】由题意可得 2x+y40，6x3y0，去绝对值后得到目标函数z=3x4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y4|+|6x3y|的最大值【解答】解：如图，由 x2+y21，可得 2x+y40，6x3y0，则|2x+y4|+|6x3y|=2xy+4+6x3y=3x4y+10，令 z=3x4y+10，得，如图，要使 z=3x4y+10 最大，则直线在 y 轴上的截距最小，由 z=3x4y+10，得 3x+4y+z10=0则，即 z=15 或 z=5由题意可得 z 的最大值为 15故答案为：15第 14 页（共 21 页）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题15 （4 分）椭圆+=1（ab0）的右焦点 F（c，0）关于直线 y=x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 【分析】设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：设 Q（m，n） ，由题意可得，由可得：m=，n=，代入可得：，可得，4e6+e21=0即 4e62e4+2e4e2+2e21=0，可得（2e21） （2e4+e2+1）=0解得 e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。16 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan（第 15 页（共 21 页）+A）=2（）求的值；（）若 B=，a=3，求ABC 的面积【分析】 （）由两角和与差的正切函数公式及已知可得 tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解（）由 tanA=，A（0，） ，可得 sinA，cosA又由正弦定理可得 b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+） ，可得 sinC，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（）由 tan（+A）=2可得 tanA=，所以=（）由 tanA=，A（0，） ，可得 sinA=，cosA=又由 a=3，B=及正弦定理，可得 b=3，由 sinC=sin（A+B）=sin（A+） ，可得 sinC=设ABC 的面积为 S，则 S=absinC=9【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题17 （15 分）已知数列an和bn满足 a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*） ，b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求 an与 bn；（）记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】 （）直接由 a1=2，an+1=2an，可得数列an为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；再由 b1=1，b1+b2+b3+bn=bn+11，取 n=1 求得 b2=2，当 n2 时，得另一递推式，作差得到，整理得数列为常数列，由此可得bn的第 16 页（共 21 页）通项公式；（）求出，然后利用错位相减法求数列anbn的前 n 项和为 Tn【解答】解：（）由 a1=2，an+1=2an，得由题意知，当 n=1 时，b1=b21，故 b2=2，当 n2 时，b1+b2+b3+=bn1，和原递推式作差得，整理得：，；（）由（）知，因此，两式作差得：，（nN*） 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题18 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1的中点（）证明：A1D平面 A1BC；（）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值【分析】 （I）连接 AO，A1D，根据几何体的性质得出 A1OA1D，A1DBC，利第 17 页（共 21 页）用直线平面的垂直定理判断（II）利用空间向量的垂直得出平面 BB1C1C 的法向量 =（，0，1） ，|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值【解答】证明：（I）AB=AC=2，D 是 B1C1的中点A1DB1C1，BCB1C1，A1DBC，A1O面 ABC，A1DAO，A1OAO，A1OBCBCAO=O，A1OA1D，A1DBCA1D平面 A1BC解：（II）建立坐标系如图在三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4O（0，0，0） ，B（0，0） ，B1（，） ，A1（0，0，）即=（0，） ，=（0，0） ，=（，0，） ，设平面 BB1C1C 的法向量为 =（x，y，z） ，即得出得出 =（，0，1） ，|=4，| |=第 18 页（共 21 页）=，cos ，=，可得出直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题19 （15 分）如图，已知抛物线 C1：y=x2，圆 C2：x2+（y1）2=1，过点P（t，0） （t0）作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A，B 为切点（）求点 A，B 的坐标；（）求PAB 的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点【分析】 （I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为：y=k（xt） （k0） ，与抛物线方程联立化为 x24kx+4kt=0，利用=0，解得 k=t，可得 A 坐标圆 C2的圆心 D（0，1） ，设 B（x0，y0） ，由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD 对称，第 19 页（共 21 页）可得，解得 B 坐标（II）由（I）可得：（t21）x2ty+2t=0，可得点 P 到直线 AB 的距离 d，又|AB|=即可得出 SPAB=【解答】解：（I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为：y=k（xt）（k0） ，联立，化为 x24kx+4kt=0，=16k216kt=0，解得 k=t，x=2t，A（2t，t2） 圆 C2的圆心 D（0，1） ，设 B（x0，y0） ，由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD 对称，解得B（II）由（I）可得：kAB=，直线 AB 的方程为：yt2=，化为（t21）x2ty+2t=0，点 P 到直线 AB 的距离 d=t，又|AB|=t2第 20 页（共 21 页）SPAB=【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题20 （15 分）设函数 f（x）=x2+ax+b（a，bR） （）当 b=+1 时，求函数 f（x）在1，1上的最小值 g（a）的表达式（）已知函数 f（x）在1，1上存在零点，0b2a1，求 b 的取值范围【分析】 （）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间1，1的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（）设 s，t 是方程 f（x）=0 的解，且1t1，运用韦达定理和已知条件，得到 s 的不等式，讨论 t 的范围，得到 st 的范围，由分式函数的值域，即可得到所求 b 的范围【解答】解：（）当 b=+1 时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为 x=，当 a2 时，函数 f（x）在1，1上递减，则 g（a）=f（1）=+a+2；当2a2 时，即有11，则 g（a）=f（）=1；当 a2 时，函数 f（x）在1，1上递增，则 g（a）=f（1）=a+2综上可得，g（a）=；（）设 s，t 是方程 f（x）=0 的解，且1t1，则，由于 0b2a1，第 21 页（共 21 页）由此s（1t1） ，当 0t1 时，st，由0，由=9（2（t+2）+92，得94，所以b94；当1t0 时，st，由于20 和30，所以3b0，故 b 的取值范围是3，94【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题