2016年江苏省高考数学试卷.doc

第 1 页（共 30 页）2016 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷一、填空题（共一、填空题（共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 70 分）分）1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，6，B=x|2x3，则 AB= 2 （5 分）复数 z=（1+2i） （3i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1 的焦距是 4 （5 分）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 5 （5 分）函数 y=的定义域是 6 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 7 （5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 8 （5 分）已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和，若 a1+a22=3，S5=10，则 a9的值是 9 （5 分）定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 第 2 页（共 30 页）10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，C 两点，且BFC=90°，则该椭圆的离心率是 11 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中 aR，若 f（）=f（） ，则 f（5a）的值是 12 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 x2+y2的取值范围是 13 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，=4，=1，则的值是 14 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 二、解答题（共二、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分）15 （14 分）在ABC 中，AC=6，cosB=，C=（1）求 AB 的长；第 3 页（共 30 页）（2）求 cos（A）的值16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F17 （14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1（如图所示） ，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍（1）若 AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0 及其上一点 A（2，4） （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；第 4 页（共 30 页）（3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得+=，求实数 t 的取值范围19 （16 分）已知函数 f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1） （1）设 a=2，b=求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR，不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值20 （16 分）记 U=1，2，100，对数列an（nN*）和 U 的子集 T，若T=，定义 ST=0；若 T=t1，t2，tk，定义 ST=+例如：T=1，3，66时，ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为 3 的等比数列，且当 T=2，4时，ST=30（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k100） ，若 T1，2，k，求证：STak+1；（3）设 CU，DU，SCSD，求证：SC+SCD2SD附加题附加题【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.A 【选修选修 41 几何证明选讲几何证明选讲】21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC=90°，BDAC，D 为垂足，E 为 BC 的中点，求证：EDC=ABD第 5 页（共 30 页）B.【选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换】22 （10 分）已知矩阵 A=，矩阵 B 的逆矩阵 B1=，求矩阵 ABC.【选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长24设 a0，|x1|，|y2|，求证：|2x+y4|a附加题附加题【必做题必做题】25 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0） （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ；求 p 的取值范围第 6 页（共 30 页）26 （10 分） （1）求 7C4C的值；（2）设 m，nN*，nm，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C第 7 页（共 30 页）2016 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（共一、填空题（共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 70 分）分）1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，6，B=x|2x3，则 AB= 1，2 【分析】根据已知中集合 A=1，2，3，6，B=x|2x3，结合集合交集的定义可得答案【解答】解：集合 A=1，2，3，6，B=x|2x3，AB=1，2，故答案为：1，2【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2 （5 分）复数 z=（1+2i） （3i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 5 【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：z=（1+2i） （3i）=5+5i，则 z 的实部是 5，故答案为：5【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1 的焦距是 2 【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线=1 的焦距【解答】解：双曲线=1 中，a=，b=，第 8 页（共 30 页）c=，双曲线=1 的焦距是 2故答案为：2【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础4 （5 分）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 0.1 【分析】先求出数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数，由此能求出该组数据的方差【解答】解：数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，该组数据的方差：S2=（4.75.1）2+（4.85.1）2+（5.15.1）2+（5.45.1）2+（5.55.1）2=0.1故答案为：0.1【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用5 （5 分）函数 y=的定义域是 3，1 【分析】根据被开方数不小于 0，构造不等式，解得答案【解答】解：由 32xx20 得：x2+2x30，解得：x3，1，故答案为：3，1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题第 9 页（共 30 页）6 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 9 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 a=1，b=9 时，不满足 ab，故 a=5，b=7，当 a=5，b=7 时，不满足 ab，故 a=9，b=5当 a=9，b=5 时，满足 ab，故输出的 a 值为 9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答7 （5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 【分析】出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 10 的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，基本事件总数为 n=6×6=36，第 10 页（共 30 页）出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10，出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有：（4，6） ， （6，4） ， （5，5） ， （5，6） ， （6，5） ， （6，6） ，共 6 个，出现向上的点数之和小于 10 的概率：p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用8 （5 分）已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和，若 a1+a22=3，S5=10，则 a9的值是 20 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 a9的值【解答】解：an是等差数列，Sn是其前 n 项和，a1+a22=3，S5=10，解得 a1=4，d=3，a9=4+8×3=20故答案为：20【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用9 （5 分）定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 7 【分析】法 1：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0，3上的图象即可得到答案；第 11 页（共 30 页）法 2：由 sin2x=cosx，即 cosx（2sinx1）=0，可得 cosx=0 或 sinx=，结合题意，解之即可【解答】解：法 1：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0，3上的图象如下：由图可知，共 7 个交点法 2：依题意，sin2x=cosx，即 cosx（2sinx1）=0，故 cosx=0 或 sinx=，因为 x0，3，故 x=，共 7 个，故答案为：7【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0，3上的图象是关键，属于中档题10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，C 两点，且BFC=90°，则该椭圆的离心率是 【分析】设右焦点 F（c，0） ，将 y=代入椭圆方程求得 B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，结合离心率公式，计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为 0，结合离心率公式计算即可得到所求第 12 页（共 30 页）【解答】解：设右焦点 F（c，0） ，将 y=代入椭圆方程可得 x=±a=±a，可得 B（a，） ，C（a，） ，由BFC=90°，可得 kBFkCF=1，即有=1，化简为 b2=3a24c2，由 b2=a2c2，即有 3c2=2a2，由 e=，可得 e2=，可得 e=，另解：设右焦点 F（c，0） ，将 y=代入椭圆方程可得 x=±a=±a，可得 B（a，） ，C（a，） ，=（ac，） ，=（ac，） ，=0，则 c2a2十b2=0，因为 b2=a2c2，代入得 3c2=2a2，由 e=，可得 e2=，可得 e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档题第 13 页（共 30 页）11 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中 aR，若 f（）=f（） ，则 f（5a）的值是 【分析】根据已知中函数的周期性，结合 f（）=f（） ，可得 a 值，进而得到 f（5a）的值【解答】解：f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1）上，f（x）=，f（）=f（）=+a，f（）=f（）=|=，a=，f（5a）=f（3）=f（1）=1+=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键12 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 x2+y2的取值范围是 ，13 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 z=x2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 A 到原点的距离最大，第 14 页（共 30 页）点 O 到直线 BC：2x+y2=0 的距离最小，由得，即 A（2，3） ，此时 z=22+32=4+9=13，点 O 到直线 BC：2x+y2=0 的距离 d=，则 z=d2=（）2=，故 z 的取值范围是，13，故答案为：，13【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键13 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，=4，=1，则的值是 【分析】由已知可得=+，=+，=+3，=+3，=+2，=+2，结合已知求出2=，2=，可得答案【解答】解：D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，=+，=+，第 15 页（共 30 页）=+3，=+3，=22=1，=922=4，2=，2=，又=+2，=+2，=422=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档14 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 8 【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到 tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值【解答】解：由 sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB0，cosC0，在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC，又 tanA=tan（A）=tan（B+C）=，则 tanAtanBtanC=tanBtanC，由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=，令 tanBtanC=t，由 A，B，C 为锐角可得 tanA0，tanB0，tanC0，由式得 1tanBtanC0，解得 t1，第 16 页（共 30 页）tanAtanBtanC=，=（）2，由 t1 得，0，因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8，另解：由已知条件 sinA=2sinBsinc，sin（B 十 C）=2sinBsinC，sinBcosC 十 cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以 cosBcosC，tanB 十 tanC=2tanBtanC，tanA=tan（B 十 C）=，tanAtanBtanC=tanA 十 tanB 十 tanC，tanAtanBtanC=tanA 十 2tanBtanC2，令 tanAtanBtanC=x0，即 x2，即 x8，或 x0（舍去） ，所以 x 的最小值为 8当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得 tanB=2+，tanC=2，tanA=4， （或 tanB，tanC 互换） ，此时 A，B，C 均为锐角【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性二、解答题（共二、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分）15 （14 分）在ABC 中，AC=6，cosB=，C=（1）求 AB 的长；（2）求 cos（A）的值【分析】 （1）利用正弦定理，即可求 AB 的长；（2）求出 cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求 cos（A）的值【解答】解：（1）ABC 中，cosB=，sinB=，第 17 页（共 30 页），AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A 为三角形的内角，sinA=，cos（A）=cosA+sinA=【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F【分析】 （1）通过证明 DEAC，进而 DEA1C1，据此可得直线 DE平面A1C1F1；（2）通过证明 A1FDE 结合题目已知条件 A1FB1D，进而可得平面 B1DE平面 A1C1F【解答】解：（1）D，E 分别为 AB，BC 的中点，DE 为ABC 的中位线，第 18 页（共 30 页）DEAC，ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1，DEA1C1，A1C1平面 A1C1F，且 DE平面 A1C1F，DEA1C1F；（2）ABCA1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1，且 AA1A1B1=A1，AA1、A1B1平面 AA1B1B，A1C1平面 AA1B1B，DEA1C1，DE平面 AA1B1B，又A1F平面 AA1B1B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1D=D，且 DE、B1D平面 B1DE，A1F平面 B1DE，又A1F平面 A1C1F，平面 B1DE平面 A1C1F【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大17 （14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1（如图所示） ，并要求正第 19 页（共 30 页）四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍（1）若 AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】 （1）由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍，可得 PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设 PO1=xm，则 O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值【解答】解：（1）PO1=2m，正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4倍O1O=8m，仓库的容积 V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，设 PO1=xm，则 O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m，则仓库的容积 V=×（）2x+（）24x=x3+312x， （0x6） ，V=26x2+312， （0x6） ，当 0x2时，V0，V（x）单调递增；当 2x6 时，V0，V（x）单调递减；故当 x=2时，V（x）取最大值；即当 PO1=2m 时，仓库的容积最大第 20 页（共 30 页）【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0 及其上一点 A（2，4） （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；（3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得+=，求实数 t 的取值范围【分析】 （1）设 N（6，n） ，则圆 N 为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，从而得到|7n|=|n|+5，由此能求出圆 N 的标准方程（2）由题意得 OA=2，kOA=2，设 l：y=2x+b，则圆心 M 到直线 l 的距离：d=，由此能求出直线 l 的方程（3）=，即|=，又|10，得 t22，2+2，对于任意 t22，2+2，欲使，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 t 的取值范围【解答】解：（1）N 在直线 x=6 上，设 N（6，n） ，圆 N 与 x 轴相切，圆 N 为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M：x2+y212x14y+60=0，即圆 M：（x6）2+（x7）第 21 页（共 30 页）2=25，|7n|=|n|+5，解得 n=1，圆 N 的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得 OA=2，kOA=2，设 l：y=2x+b，则圆心 M 到直线 l 的距离：d=，则|BC|=2=2，BC=2，即 2=2，解得 b=5 或 b=15，直线 l 的方程为：y=2x+5 或 y=2x15（3）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，A（2，4） ，T（t，0） ，点 Q 在圆 M 上，（x26）2+（y27）2=25，将代入，得（x1t4）2+（y13）2=25，点 P（x1，y1）即在圆 M 上，又在圆x（t+4）2+（y3）2=25 上，从而圆（x6）2+（y7）2=25 与圆x（t+4）2+（y3）2=25 有公共点，555+5解得 22t，实数 t 的取值范围是22，2+2【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用19 （16 分）已知函数 f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1） 第 22 页（共 30 页）（1）设 a=2，b=求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR，不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值【分析】 （1）利用方程，直接求解即可列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可（2）求出 g（x）=f（x）2=ax+bx2，求出函数的导数，构造函数 h（x）=+，求出 g（x）的最小值为：g（x0） 若 g（x0）0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾若 g（x0）0，利用函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点，推出 g（x0）=0，然后求解 ab=1【解答】解：函数 f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1） （1）设 a=2，b=方程 f（x）=2；即：=2，可得 x=0不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，即m（）6 恒成立令 t=，t2不等式化为：t2mt+40 在 t2 时，恒成立可得：0 或即：m2160 或 m4，m（，4实数 m 的最大值为：4（2）g（x）=f（x）2=ax+bx2，g（x）=axlna+bxlnb=ax+lnb，0a1，b1 可得，第 23 页（共 30 页）令 h（x）=+，则 h（x）是递增函数，而，lna0，lnb0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此 x（，x0）时，h（x）0，axlnb0，则 g（x）0x（x0，+）时，h（x）0，axlnb0，则 g（x）0，则 g（x）在（，x0）递减， （x0，+）递增，因此 g（x）的最小值为：g（x0） 若 g（x0）0，xloga2 时，ax=2，bx0，则 g（x）0，因此 x1loga2，且 x1x0时，g（x1）0，因此 g（x）在（x1，x0）有零点，则 g（x）至少有两个零点，与条件矛盾若 g（x0）0，函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点，g（x）的最小值为g（x0） ，可得 g（x0）=0，由 g（0）=a0+b02=0，因此 x0=0，因此=0，=1，即 lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1可得 ab=1【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力20 （16 分）记 U=1，2，100，对数列an（nN*）和 U 的子集 T，若T=，定义 ST=0；若 T=t1，t2，tk，定义 ST=+例如：T=1，3，66时，ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为 3 的等比数列，且当 T=2，4时，ST=30（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数 k（1k100） ，若 T1，2，k，求证：STak+1；（3）设 CU，DU，SCSD，求证：SC+SCD2SD第 24 页（共 30 页）【分析】 （1）根据题意，由 ST的定义，分析可得 ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得 a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由 ST的定义，分析可得 STa1+a2+ak=1+3+32+3k1，由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明；（3）设 A=C（CD） ，B=D（CD） ，则 AB=，进而分析可以将原命题转化为证明 SC2SB，分 2 种情况进行讨论：、若 B=，、若 B，可以证明得到 SA2SB，即可得证明【解答】解：（1）等比数列an中，a4=3a3=9a2，当 T=2，4时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此 a2=3，从而 a1=1，故 an=3n1，（2）STa1+a2+ak=1+3+32+3k1=3k=ak+1，（3）设 A=C（CD） ，B=D（CD） ，则 AB=，分析可得 SC=SA+SCD，SD=SB+SCD，则 SC+SCD2SD=SA2SB，因此原命题的等价于证明 SC2SB，由条件 SCSD，可得 SASB，、若 B=，则 SB=0，故 SA2SB，、若 B，由 SASB可得 A，设 A 中最大元素为 l，B 中最大元素为 m，若 ml+1，则其与 SAai+1amSB相矛盾，因为 AB=，所以 lm，则 lm+1，SBa1+a2+am=1+3+32+3m1=，即 SA2SB，综上所述，SA2SB，故 SC+SCD2SD【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述附加题附加题【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相四小题，请选定其中两小题，并在相第 25 页（共 30 页）应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.A 【选修选修 41 几何证明选讲几何证明选讲】21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC=90°，BDAC，D 为垂足，E 为 BC 的中点，求证：EDC=ABD【分析】依题意，知BDC=90°，EDC=C，利用C+DBC=ABD+DBC=90°，可得ABD=C，从而可证得结论【解答】解：由 BDAC 可得BDC=90°，因为 E 为 BC 的中点，所以 DE=CE=BC，则：EDC=C，由BDC=90°，可得C+DBC=90°，由ABC=90°，可得ABD+DBC=90°，因此ABD=C，而EDC=C，所以，EDC=ABD【点评】本题考查三角形的性质应用，利用C+DBC=ABD+DBC=90°，证得ABD=C 是关键，属于中档题B.【选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换】22 （10 分）已知矩阵 A=，矩阵 B 的逆矩阵 B1=，求矩阵 AB【分析】依题意，利用矩阵变换求得 B=（B1）1=，再利用矩阵乘法的性质可求得答案【解答】解：B1=，第 26 页（共 30 页）B=（B1）1=，又 A=，AB=【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题C.【选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案【解答】解：由，由得，代入并整理得，由，得，两式平方相加得联立，解得或|AB|=【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查第 27 页（共 30 页）直线与椭圆位置关系的应用，是基础题24设 a0，|x1|，|y2|，求证：|2x+y4|a【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证【解答】证明：由 a0，|x1|，|y2|，可得|2x+y4|=|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|+=a，则|2x+y4|a 成立【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题附加题附加题【必做题必做题】25 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0） （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ；求 p 的取值范围【分析】 （1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程（2）：设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，通过抛物线方程，求解 kPQ，通过第 28 页（共 30 页）P，Q 关于直线 l 对称，点的 kPQ=1，推出，PQ 的中点在直线 l 上，推出=2p，即可证明线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ；利用线段 PQ 中点坐标（2p，p） 推出，得到关于y2+2py+4p24p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 p 的范围【解答】解：（1）l：xy2=0，l 与 x 轴的交点坐标（2，0） ，即抛物线的焦点坐标（2，0） ，抛物线 C：y2=8x（2）证明：设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则：，即：，kPQ=，又P，Q 关于直线 l 对称，kPQ=1，即 y1+y2=2p，又 PQ 的中点在直线 l 上，=2p，线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ；因为 Q 中点坐标（2p，p） ，即，即关于 y2+2py+4p24p=0，有两个不相等的实数根，0， （2p）24（4p24p）0，第 29 页（共 30 页）p【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力26 （10 分） （1）求 7C4C的值；（2）设 m，nN*，nm，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【分析】 （1）由已知直接利用组合公式能求出 7的值（2）对任意 mN*，当 n=m 时，验证等式成立；再假设 n=k（km）时命题成立，推导出当 n=k+1 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【解答】解：（1）7=4×=7×204×35=0证明：（2）对任意 mN*，当 n=m 时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立假设 n=k（km）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+k+（k+1）=（m+1），当 n=k+1 时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）+（k+1）+（k+2）=，第 30 页（共 30 页）右边=（m+1）=（m+1）×k+3（km+1）=（k+2）=（k+2），=（m+1），左边=右边，n=k+1 时，命题也成立，m，nN*，nm， （m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【点评】本题考查组合数的计算与证明，是