2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷3,含解析).pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3,含解析）注意事项l答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答是里卡上。2.回答i在择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对E主题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号回答非选探题时，将答案写在答Jlfil卡上。写在本试卷上无效。3.考试终.Ir.后，将本试卷和答题卡一并交囚。一、选摔题本题共12小题，每小Jl1l5分，共60分在每小题给的四个j在项中，只有一项是符合题自主要求的L已知集合A=xlx-1三0,B=0,1.2，则AIIB=A.O B.I C.1,2 D.0,1,2【答案】C【解析1分析：也题意先解出集合A,J近而得到j结果。i羊解：由集合A得x主I,因此AIIB=l,2 故答案选c.点H青：本题要紧考查交策的运算，j虱子基础题。2.(I+i)(2-i)=A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i【答案】D【解析1分析：由复数的乘i宏远算展开即可。详解：（1+i)(2-i)=2-i+2i-?=3+i 故选D.点睛：本题要紧考查复数的四则运算，属于基础题3.中国古建筑借助榕卵将木构件连接起来，构件的凸出部分叫梅头，四进部分叫卵眼，剧中木构件右边的小长方体是牵头若如阁摆放的木构牛与某一带卵眼的木构件咬合成长方体，贝。咬合时带卵H良的木构件的俯视剧能够是I I 16。，-t 1-,.;:;.A IB c。A.A B.B C.C D.D【答案】A【解析1分析：观看阁形可得。i芋解：观擦阁形阁可知，俯视怪151-J.故答案为A点H青：本题要紧考擦空间几何体的三视剧，考查学生的空间想象能力，j虱子基础题。4.着sin但，则cos2 3 8 7 7 8 A-B.-c.D.9 9 9 9【答案】B阴苟，41 两 鸣，u ca 句，“句nyu凡2J94,SI DZ VL川公2阳出JdL川州巾0 a户、析：解解，非平、1故答案为B点附：本题要紧考查二倍角公式，属于基础题。5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45.既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,911不用现金支付的概率为A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【制斤1分析：由公式贝AUB）附.）P但）P（础）运算可得i羊解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，2 I 16 则P(Au B)=P(A)+P(B)+P（础）因为P(A)=0.45.P（础0.15 因此P(B)=0.4 故选B.点附：本题要紧考量董事件的差不多关系和概率的运算，属于基础题。6.函数叹x)旦兰7的最小正周期为I+tan-x 冗冗由何n 呢户E-qL BD产La 案4笨国,an 可nk 简bb FJ 川剧删-xf m-M t-+灿，数函将俨叮4,qE 分析解i羊解：由己知得制！坐：；主=sinxcosx=鸟in2xI+tan x sin,x 2 L I+（一一）cosx 俐的最小正周期T号故选c.点H青：本题要紧考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中恼题7.下列函数中，其茎像与函数y=lnx的星像关于I线x=J对称的是A.y=l.n(l-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)【答案】B【解析1分析：确定函数y=lnx过定点（1，的关于x=l对称点，代入选项验iiERP可。i羊解：函数y=Ii以过定点（1.。）.(1，的 关于x=l对称的点依1日（1，。），只有y=J.ri!i(2-x）过此点。故选项B正确点附：本题要紧考查函数的对称性和函数的剧像，属于中档题。8直拖y+2=0分别与x轴，y斗由交子A,B两点，点陆四（x-2)2+y2=2上，贝1Jt:.ABP而积的取值范畴是A.2.6 B.4.8 C.Ji,J,/2 D.2,P,3,/2【答案】A【解析1分析先求出A,B两点坐标得jilj队Bl，再运算圆心到1Jl线距离，得到l点P到直线距离范畴，由而积公式运算RPi可i羊解：直给，y+2=0分别与戏曲，y轴交子A,B两点3 I 16:.A(2,0,B(O.2），则础1=2乒点P在圆（x 2)2+y2=2上12+0+21 c 圆心为（2，。），则圆心到直线距离d1一万一2在故点pilJ直线x+y+2=0的距离屯的范畴为占，3,2则S叫p=IABld2=./2d2 E(2,6 故答案选A.点睛：本题主要紧考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的而积公式，属于中档题。9.函数y=-x4+x2+2的阁象大fX为y。苍A y。.T c A.A B.B C.C D.D【答案】DI解析1分析：由专门值排除即可i羊曲事：当x=o时，y=2，排除A,B.y=-4x3+2x 织（丛I），当XE（中于yO栅C;I改正确答案选D.y。.,B)。x 0 点附：本题考邃函数的民l像，考查丁专门值排除法，导数与函数民像的关系，属于中恼题。4 I 16 10.己知双曲线C乙艺！（川bO）的离心率为乒则点（4。f1Jca(J渐近线的E酬ab A.,Ji B.2【答案】Db【解析1分析：由离心星在运算出，得到渐近线方程，再由点到lj线距离公式运算即可。a c子D.2,fi 帷巳阿乒因此双曲线的渐近线方租界x土y=O因此点问，0)flj渐近线的距离d 主2Ji、I+I.故选D点附：本题考釜双出线的离心率，渐近线和点到直线距离公式属于中挡题。11.A础C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a2+b2-c2 若llABC的而积I一一一一，4 则c=茸pbn 茸4户E饵句3nu 饵2an【答案】C【解析】分析：由而积公式s础cbsinC和余弦定理a2+b2-c2协创C进行运算可得2 2.2 2 i棚：由题可失叭础c主bs1nC=a+因此a2+b2.2absinC 由余弦定理a2+b2 c2=2abcosC 因JJ;tsinC=cosC C E(O，均1t.c=-4 故选c.点睛：本题要紧考查解三角形，考查了三角形的丽积公式平日余稳定理。12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球丽上四点，.咀C为等边三角形且其而积为9,/3，则三梭锥D-ABC1丰积的最大值为A.12、RB.I 8,/3 C.2负月D.54、自5 I 16【答案】B【解析1分析：判定出当DMl平而ABC时，三棱锥，D-ABC体积最大，然后进行运算可得。i芋解：如垄断示，D,飞”,l.号.h、，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当DJ1i平而ABC时，三耐住D.咀C体积最大现在，OD=OB=R=4,/3F:SA础c=.13=9.0,15.着变昼（.y满足约束条件lx42:0.现lz=x 方的最大值是l x-2:50.,【答案3【解析1分析：作出可行域，平移直线可得i羊解：作出可行域7 I 16 、:、2x呵，1军0飞 y X2)+4：。x=2+x:由国可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点（2,3）处取得最大值3故答案为3.点附：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。16.己知函数f(x)=In（汇l-x)+I，削4，则f（.加【答案-2【曲事析1分析：发觉f(x)+f(x)=2可得。i栅：f(x)+f(x)=In（盯二2-x)+I+ln(R+x)+I=u1(I+x2-x2)+2=2:.f(a+f（.份2,lj!lf（.功 2 故答案;J-1:-2 点附：本题要紧考查函数的性质，由函数解析式，运算发觉K汾f(x)=2和关键，属于中档题。三、解答题共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演第步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生依照要求作答一必考题共60分17.等比数列怡。中，a1=1.a5=4a3.(1）求an的i函项公式：(2)i己Sn为an的前n项和若Sm=63，求JU.8 I 16【答案】（1)a.,=(-2)11-J或3n=2n-J(2)m=6【解析1分析：（1）列出方程，解出q可得：（2）求出前n项利，角平方程可得m。i羊解：（1）设a，.的公比为q，由题设得3i,=q.I.由己知得q=4q2，解得q=o 含去），q=2或q=2.故a.,=(-2）”.I或a.,=2n l.(2）若叫l=(.2).I，贝iJs,匕由S川 63得（.2)”.3 着叫，2”.I，贝lS，产2-.由S川 63得2=64，解得m=6.综上，m=6.点附：本题要紧考查等比数列的i单项公式和前n项和公式，属于基础题。18.莱工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式依照工人完成生产任务的工作时刻（单位：min）绘制了如下茎叶阁科生产沟我第二种生，）i$6 5 5 6 i!9 7 6 Z 7 Q Z 2 3 4 S 6 6 8 98776543 3 2$4 4:5 Z I。?电(1）依照茎叶倒判定哪种生产方式的效率更高？并说明理由：(2）求40名工人完成生产任务所需时刻的中位数.m，并将完成生产任务所需时刻越过m和不超过m1:19工人数填入下丽的列n芙表：越过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3）依照（2）中的列联袭，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=呻d如)2，坚坠10翩。100.001。bXc+d（a+c)(b+d)k 3.8416.63510.828【答案】（1）第二种生产方式的效率更高理由见解析9 I 16 79+81(2)m=一一一80 2 越过m不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15(3）有【解析1分析：（1）运算两种生产方式的平均时刻即可。(2）运算出中位数，再由茎时阁数据完成列联表(3）由公式运算出k2，再与6.635比较可得给果。i芋解：（1）第二种生产方式的效率更高理由如下(i）由茎叶剧可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高(ii）由茎H十阁可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为73.5分钟因此第二种生产方式的效率更高(iii）由茎叶倒可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻高于80分钟：用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高(iv）由茎叶阁可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时刻分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布：用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻分布在茎7上的寂多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时刻l分布的区间相同，故能够认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时辜ill;用第一种生产方式完成生产任务所需的时刻更少，因此第二利生产方式的效率更高以上给出了4种理由，考生答出其中圭意一种或其他合理理由均可得分79+81(2）由茎叶阁灿11一一一=80.2 歹1J11吴王是如下：H 过越巴10 I 16 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 40(1515 5si(3）由于K2=106.635，因此有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20202020 点H青：本题要紧考查了茎H十怪平日独立性检验，考察学生的运算能力和分析问题的能力，贴近生活。19.如隧，矩形ABCD所在平而与半因引所在平而蠢茧，M是上异于C,D的点(1）证明：平而且份上平而BMC,(2）在线段AM上是否存在点p，使得lvlCII ff可PBD？说明理由【答案】（1）证明见解析(2）存在，理由见解析【解析1分析：（1）先iiEAD1.CM，再liECMl.tv!D，进而完成证明。(2）判定出P为AM中点，证明MCI/OP，然后进行证明即可。i羊解：（1）由题设知，平而i(l)J_平而ABCD，交线为CD.因为BCJ_CD,BC c平而ABCD，因此BCJ_平而m，故BCJ_f)J,f.因为M为CD上异于CD的点，且DC为直径，因此f)Jfj_Cl/.又ocnc,1严C因此1)1/J_平而Bl!C.而f)tc平而A,I叨，放平而A!fDJ_平而Bl!C.(2）当P头JA,Jf的中点时，il!C/1而PBD.证明如下连结AC交BD于0.因为AB，为矩形，因此0;):AC中点连纺OP，因为P为Alf中点，因此MCI/OP.平而PBD,Of c平而PBD，因此,JfC/1平而PBD.11 I 16.4 B 点附：本题要紧考查雨雨蠢直的证明，利用线线垂直得到j线而垂直，再得到j丽而垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，也线线平行得到线而平行，考查学生空间想象能力，属于中档题。2 2 20.己知斜率为k的直线l与捎回C。三乙I交子A,B两点线段AB的中点为Jv!(l,m)(m O).4 3(1）证明：k 才(2）设F为C自甘右焦点，p为C上一点，且由FA+FB=O证明：21内IFAl+I白【答案】（1）证明见解析(2）证明见解析【解析1分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。(2）先求出点P的坐标，角车出田，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。i羊曲事：2 2 2 2(1）设A(x1.y户B(x2.yi)，则2旦I，主I4 3 4 3 Y1Y2 x,+x角Y,+y,两式相减，并由一一一 k得一二十二一二k=O X 1 X2 4 3 x，江、，y、由题设知一二1，.：.：m，因此七k=.一2 2 4m 由题慨。m号，抛 -(2）由题惹得F(1，。）设P(x3 Y3），则(x3-1.y3)+(x1-1.y1)+(x.i l.yi)=(O.。）由（1）及题设得x3=3 的xi)=1,Yi=(yt+Y分-2mO.:X.p.(c上因Jltm；，从而叹l),IFPI=-一1 2 X,因此向Jex!.1)2+):=kx1.问(I号2.-12 I 16 问明白I=2-因业的FB=4 C.1吵3故21FPI=IF Al+IFBI 点附：本题要紧考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小运算量，第二问由己知得求出m，得到曲，再有两点问距离公式表示出刷刷，考查丁学生的运算能力，难度较大。2目21.己知函放f(x)二二千e(1）求曲线y=f(x）在点（0,I处的切线方程：(2）证明：当ac.I时，f(x)+e c:o.【答案】（1）切线方程是以y-1=o(2）证明见解析【解析1分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。(2）当ac.I时，f(x)+ec:(ex+I+x2+x-l)e.，令g(x)=ex 1+x2+x斗，只需证明g(x)c:0即可。.ax2+(2a-l)x+2.i羊解：(1)f(x)=ex f(O)=2 因此曲线!J=f(x）在点（O,I）处的切线方程是以卜I=Q.(2）当ac.J时，f(x)+e主（x2+x-l+e.1)e气令g(x）主x2+x-I+e 1，则在（x）主织l+e1.当xI时，二（x)O g(x）单i!,1j却曾：因此g(x)c:g(I)=O.因此K汾ec:O.点附：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当ac.I时，f(x)+e c:(ex 1+x2+x De气令在（x)=e仆1+-,.2+x-l，将问题转化为证明g(x)c:O专门关键，本JlJi,难度较大（二）逃考题：共10分，i宵考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，贝IJt交所做的第一题ti分22.(j在修4-4：坐标系与参数方程在平而直角坐标系xOy中，。0的参数方程为（口站(9夕世参数，过点（0.-.Ji）且倾斜角为目的直线l与。交于A.B两点(1）求的取值范畴；13 I 16(2）求AB中点p的轨迹的参数方程().7）参数：刊号）【解析1分析：（1）由四与直线相交，圆心到IJ:l线距离dr可得。【答案】（1）传x生in2o.,2、5、p.-y一一一吨。S.l2 2(2)(2）联立方程，由恨与系数的关系求解i羊解：（1）。的豆角坐标方程7、,i,/+y2=I 当尹，的0交于两点、2当时；时，ic.tan叫，则l的方即ly=kx-.,/2.l与。饺子网的且仅当IQ！.，解得kl磁片，可It k l./Pc,.E号？或E铮综上，目的取值范畴是（主鸟4 4(2)I的参数方程为f._x巨口吼叫h(t;l.I参数，主)lY-v岳日皿U4 4 t.I.设A,B,P对应的参数分别为tA,t8,tp，则t土，且队，tai满足t2-2.,l2tsinu+I=O p、2.因此tB=2在sina.,Ip在sina.叉点P的坐标（x.y满足jx 兰cos叽jy=vL+tpSir（为参数，：斗）向UAM Ido l旧dTF42乒ix 因此点P的轨迹的参数方程是点附：本题要紧考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。边修4-5:不等式选讲23.Ht函数K汾l2x+11+lx-11.(1）画出y=f(x）的阁像：(2）当xE(0,叫，f(x）三ax+b，求a+b的最小值14 I 16 y、。x 其、,飞/【答案】（1)v 1。x(2)a+b的最小值为5【解析1分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的民像即可。(2）结合（1）间可得a,b范畴，避而得到a吨的最小值-3x,x 2 i苹解：“)f(x)=J _ 1 _ X宁！.-,xI2 3x,x 2:I.y=f(x）的民l像如陈l所示15 I 16 义、I 飞/v。x(2）由（1）知，y=f(x）的阁像与y$由交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅二监ac:3 且bc.2时，f(x）呈 x以笠O,+oo）成立，因此a+b的最小值为5.点附：本题要紧考查函数民像的画法，考查由不等式求参数的范畴，属于中档题。16 I 16