2013年湖南省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 26 页）2013 年湖南省高考数学试卷（理科）年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z=i（1+i） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样法3 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b若2asinB=b，则角 A 等于（ ）ABCD4 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（ ）AB0CD5 （5 分）函数 f（x）=2lnx 的图象与函数 g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（ ）A3B2C1D06 （5 分）已知 ， 是单位向量，若向量 满足，则的取值范围为（ ）ABCD7 （5 分）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A1BCD8 （5 分）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P（如图） ，若光线 QR 经第 2 页（共 26 页）过ABC 的重心，则 AP 等于（ ）A2B1CD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 小题，第小题小题，第小题 5 分，共分，共 35 分分 （一）（一）选做题（请考生在第选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）记分） （二）必做题（二）必做题（1216 题）题）9在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：， （t 为参数）过椭圆 C：（ 为参数）的右顶点，则常数 a 的值为 10 （5 分）已知 a，b，cR，a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为 11 （5 分）如图，在半径为的O 中，弦 AB，CD 相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 12 （5 分）若x2dx=9，则常数 T 的值为 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1，b=2，则输出的 a 的值为 第 3 页（共 26 页）14 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C：（a0，b0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小内角为 30°，则 C 的离心率为 15 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn=（1）nan，nN*，则（1）a3= ；（2）S1+S2+S100= 16 （5 分）设函数 f（x）=ax+bxcx，其中 ca0，cb0（1）记集合 M=（a，b，c）|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（a，b，c）M 所对应的 f（x）的零点的取值集合为 （2）若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）x（，1） ，f（x）0；xR，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC 为钝角三角形，则x（1，2） ，使 f（x）=0三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知函数 f（x）=sin（x）+cos（x） ，g（x）=2sin2（）若 是第一象限角，且 f（）=，求 g（）的值；（）求使 f（x）g（x）成立的 x 的取值集合第 4 页（共 26 页）18 （12 分）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望19 （12 分）如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD=90°，ACBD，BC=1，AD=AA1=3（）证明：ACB1D；（）求直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值20 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”某地有三个新建居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A（3，20） ，B（10，0） ，C（14，0）处现计划在 x 轴上方区域（包含 x第 5 页（共 26 页）轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明） ；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小21 （13 分）过抛物线 E：x2=2py（p0）的焦点 F 作斜率率分别为 k1，k2的两条不同直线 l1，l2，且 k1+k2=2l1与 E 交于点 A，B，l2与 E 交于 C，D，以AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为 l（）若 k10，k20，证明：；（）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为，求抛物线 E 的方程22 （13 分）已知 a0，函数（）记 f（x）在区间0，4上的最大值为 g（a） ，求 g（a）的表达式；（）是否存在 a 使函数 y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由第 6 页（共 26 页）2013 年湖南省高考数学试卷（理科）年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z=i（1+i） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化简复数 z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案【解答】解：z=i（1+i）=1+i，故复数 z 对应的点为（1，1） ，在复平面的第二象限，故选：B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题2 （5 分）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为 500：500=1：1，所抽取的比例也是 1：1故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选：D【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题3 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b若第 7 页（共 26 页）2asinB=b，则角 A 等于（ ）ABCD【分析】利用正弦定理可求得 sinA，结合题意可求得角 A【解答】解：在ABC 中，2asinB=b，由正弦定理=2R 得：2sinAsinB=sinB，sinA=，又ABC 为锐角三角形，A=故选：A【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题4 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（ ）AB0CD【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x=，y=时，x+2y 取得最大值为【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中 A（，1） ，B（，） ，C（2，1）设 z=F（x，y）=x+2y，将直线 l：z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值z最大值=F（，）=故选：C第 8 页（共 26 页）【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5 （5 分）函数 f（x）=2lnx 的图象与函数 g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（ ）A3B2C1D0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数 f（x）=2lnx 的图象与函数 g（x）=x24x+5 的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案【解答】解：在同一坐标系下，画出函数 f（x）=2lnx 的图象与函数 g（x）=x24x+5 的图象如图：由图可知，两个函数图象共有 2 个交点故选：B【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案6 （5 分）已知 ， 是单位向量，若向量 满足，则第 9 页（共 26 页）的取值范围为（ ）ABCD【分析】令，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值【解答】解：令，如图所示：则，又，所以点 C 在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上，易知点 C 与 O、D 共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为1，+1故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具7 （5 分）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A1BCD【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为 1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为第 10 页（共 26 页）因此可知：A，B，D 皆有可能，而1，故 C 不可能故选：C【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键8 （5 分）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P（如图） ，若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于（ ）A2B1CD【分析】建立坐标系，设点 P 的坐标，可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1的坐标，和 P 关于 y 轴的对称点 P2的坐标，由 P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于 a 的方程，解之可得 P 的坐标，进而可得AP 的值【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得 B（4，0） ，C（0，4） ，故直线 BC 的方程为 x+y=4，ABC 的重心为（，） ，设 P（a，0） ，其中 0a4，则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1（x，y） ，满足，解得，即 P1（4，4a） ，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2（a，0） ，由光的反射原理可知 P1，Q，R，P2四点共线，直线 QR 的斜率为 k=，故直线 QR 的方程为 y=（x+a） ，由于直线 QR 过ABC 的重心（，） ，代入化简可得 3a24a=0，第 11 页（共 26 页）解得 a=，或 a=0（舍去） ，故 P（，0） ，故 AP=故选：D【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 小题，第小题小题，第小题 5 分，共分，共 35 分分 （一）（一）选做题（请考生在第选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）记分） （二）必做题（二）必做题（1216 题）题）9在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：， （t 为参数）过椭圆 C：（ 为参数）的右顶点，则常数 a 的值为 3 【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得 a 的值【解答】解：由直线 l：，得 y=xa，再由椭圆 C：，得，2+2得，所以椭圆 C：的右顶点为（3，0） 因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以 0=3a，所以 a=3第 12 页（共 26 页）故答案为 3【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题10 （5 分）已知 a，b，cR，a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为 12 【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2（12+12+12） （a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2） ，化简得 a2+4b2+9c212，由此可得当且仅当 a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为 12【解答】解：a+2b+3c=6，根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2（12+12+12）a2+（2b）2+（3c）2化简得 623（a2+4b2+9c2） ，即 363（a2+4b2+9c2）a2+4b2+9c212，当且仅当 a：2b：3c=1：1：1 时，即 a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当 a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为 12故答案为：12【点评】本题给出等式 a+2b+3c=6，求式子 a2+4b2+9c2的最小值着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题11 （5 分）如图，在半径为的O 中，弦 AB，CD 相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 【分析】首先利用相交弦定理求出 CD 的长，再利用勾股定理求出圆心 O 到弦第 13 页（共 26 页）CD 的距离，注意计算的正确率【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，2×2=CP1，解得：CP=4，又 PD=1，CD=5，又O 的半径为，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 d=故答案为：【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题12 （5 分）若x2dx=9，则常数 T 的值为 3 【分析】利用微积分基本定理即可求得【解答】解：=9，解得 T=3，故答案为：3【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题13 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1，b=2，则输出的 a 的值为 32 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a 的值，当 a=32 时，满足条件 a31，退出循环，输出 a 的值为 32第 14 页（共 26 页）【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件 a31，a=2不满足条件 a31，a=4不满足条件 a31，a=8不满足条件 a31，a=16不满足条件 a31，a=32满足条件 a31，退出循环，输出 a 的值为 32故答案为：32【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的 a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查14 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C：（a0，b0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小内角为 30°，则 C 的离心率为 【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率【解答】解：因为 F1、F2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，PF1F2的最小内角PF1F2=30°，由余弦定理，|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2，即 4a2=4c2+16a22×2c×4a×，c22ca+3a2=0，c=a第 15 页（共 26 页）所以 e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力15 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn=（1）nan，nN*，则（1）a3= ；（2）S1+S2+S100= 【分析】 （1）把给出的数列递推式先分 n=1 和 n2 讨论，由此求出首项和n2 时的关系式对此关系式再分 n 为偶数和奇数分别得到当 n 为偶数和奇数时的通项公式，则 a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，nN*，则利用数列的分组求和和等比数列的前 n 项和公式可求得结果【解答】解：由，nN*，当 n=1 时，有，得当 n2 时，即若 n 为偶数，则所以（n 为正奇数） ；若 n 为奇数，则=所以（n 为正偶数） 所以（1）故答案为；（2）因为（n 为正奇数） ，所以，第 16 页（共 26 页）又（n 为正偶数） ，所以则，则所以，S1+S2+S3+S4+S99+S100=故答案为【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当 n 为偶数时能求出奇数项的通项，当 n 为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题16 （5 分）设函数 f（x）=ax+bxcx，其中 ca0，cb0（1）记集合 M=（a，b，c）|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（a，b，c）M 所对应的 f（x）的零点的取值集合为 x|0x1 （2）若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）x（，1） ，f（x）0；xR，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；第 17 页（共 26 页）若ABC 为钝角三角形，则x（1，2） ，使 f（x）=0【分析】 （1）由集合 M 中的元素满足的条件，得到 ca+b=2a，求得的范围，解出函数 f（x）=ax+bxcx的零点，利用不等式可得零点 x 的取值集合；（2）对于，把函数式 f（x）=ax+bxcx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于，利用取特值法说明命题是正确的；对于，由ABC 为钝角三角形说明 f（2）0，又 f（1）0，由零点的存在性定理可得命题正确【解答】解：（1）因为 ca，由 a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长得ca+b=2a，所以，则令 f（x）=ax+bxcx=得，所以又1，则 ln0，所以 x=0，所以 0x1故答案为x|0x1；（2）因为，又，所以对x（，1） ，所以命题正确；令 x=1，a=2，b=4，c=5则 ax=，bx=，cx=不能构成一个三角形的三条边长所以命题正确；若三角形为钝角三角形，则 a2+b2c20第 18 页（共 26 页）f（1）=a+bc0，f（2）=a2+b2c20所以x（1，2） ，使 f（x）=0所以命题正确故答案为【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知函数 f（x）=sin（x）+cos（x） ，g（x）=2sin2（）若 是第一象限角，且 f（）=，求 g（）的值；（）求使 f（x）g（x）成立的 x 的取值集合【分析】 （1）利用两角和差的三角公式化简函数 f（x）的解析式，可得 f（）的解析式，再根据 f（）=，求得 cos 的值，从而求得 g（）=2sin2=1cos 的值（2）由不等式可得 sin（x+），解不等式 2k+x+2k+，kz，求得 x 的取值集合【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cosx+sinx=sinx，所以 f（）=sin=，所以 sin=又 （0，） ，所以 cos=，所以 g（）=2sin2=1cos=（2）由 f（x）g（x）得sinx1cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）解 2k+x+2k+，kz，求得 2kx2k+，kz，第 19 页（共 26 页）所以 x 的取值范围为2k，2k+kz【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题18 （12 分）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望【分析】 （I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望【解答】解：（I）所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为 3，边界上的作物株数为 12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列第 20 页（共 26 页）P（Y=51）=P（X=1） ，P（48）=P（X=2） ，P（Y=45）=P（X=3） ，P（Y=42）=P（X=4）只需求出 P（X=k） （k=1，2，3，4）即可记 nk为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数（k=1，2，3，4） ，则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由 P（X=k）=得 P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=所求的分布列为 Y5148 45 42P数学期望为 E（Y）=51×+48×+45×+42×=46【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题19 （12 分）如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD=90°，ACBD，BC=1，AD=AA1=3（）证明：ACB1D；（）求直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值【分析】 （I）根据直棱柱性质，得 BB1平面 ABCD，从而 ACBB1，结合BB1BD=B，证出 AC平面 BB1D，从而得到 ACB1D；（II）根据题意得 ADB1C1，可得直线 B1C1与平面 ACD1所成的角即为直线 AD第 21 页（共 26 页）与平面 ACD1所成的角连接 A1D，利用线面垂直的性质与判定证出 AD1平面A1B1D，从而可得 AD1B1D由 ACB1D，可得 B1D平面 ACD1，从而得到ADB1与 AD 与平面 ACD1所成的角互余在直角梯形 ABCD 中，根据 RtABCRtDAB，算出 AB=，最后在 RtAB1D 中算出 B1D=，可得cosADB1=，由此即可得出直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值【解答】解：（I）BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB1，又ACBD，BB1、BD 是平面 BB1D 内的相交直线AC平面 BB1D，B1D平面 BB1D，ACB1D；（II）ADBC，B1C1BC，ADB1C1，由此可得：直线 B1C1与平面 ACD1所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1所成的角（记为 ） ，连接 A1D，直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，BAD=B1A1D1=90°，B1A1平面 A1D1DA，结合 AD1平面 A1D1DA，得 B1A1AD1又AD=AA1=3，四边形 A1D1DA 是正方形，可得 AD1A1DB1A1、A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线，AD1平面 A1B1D，可得AD1B1D，由（I）知 ACB1D，结合 AD1AC=A 可得 B1D平面 ACD1，从而得到ADB1=90°，在直角梯形 ABCD 中，ACBD，BAC=ADB，从而得到 RtABCRtDAB因此，可得 AB=连接 AB1，可得AB1D 是直角三角形，B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在 RtAB1D 中，cosADB1=，第 22 页（共 26 页）即 cos（90°）=sin=，可得直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值为【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题20 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”某地有三个新建居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A（3，20） ，B（10，0） ，C（14，0）处现计划在 x 轴上方区域（包含 x轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明） ；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小【分析】 （I）根据“L 路径”的定义，可得点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值；（II）由题意知，点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为 d）的最小值，分类讨论，利用绝对值第 23 页（共 26 页）的几何意义，即可求得点 P 的坐标【解答】解：设点 P 的坐标为（x，y） ，则（I）点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x3|+|y20|，y0，+） ；（II）由题意知，点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为 d）的最小值当 y1 时，d=|x+10|+|x14|+|x3|+2|y|+|y20|d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|x+10|+|x14|24当且仅当 x=3 时，d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|的最小值为 24d2（y）=2|y|+|y20|21当且仅当 y=1 时，d2（y）=2|y|+|y20|的最小值为 21点 P 的坐标为（3，1）时，点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小，且最小值为 45；当 0y1 时，由于“L 路径”不能进入保护区，d=|x+10|+|x14|+|x3|+1+|1y|+|y|+|y20|此时 d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|，d2（y）=1+|1y|+|y|+|y20|=22y21由知 d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|24，d1（x）+d2（y）45，当且仅当x=3，y=1 时等号成立综上所述，在点 P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题21 （13 分）过抛物线 E：x2=2py（p0）的焦点 F 作斜率率分别为 k1，k2的两条不同直线 l1，l2，且 k1+k2=2l1与 E 交于点 A，B，l2与 E 交于 C，D，以AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为 l（）若 k10，k20，证明：；第 24 页（共 26 页）（）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为，求抛物线 E 的方程【分析】 （）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆 M 和圆 N 的圆心 M 和 N 的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于 k1和 k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（）利用抛物线的定义求出圆 M 和圆 N 的直径，结合（）中求出的圆 M和圆 N 的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点 M 到直线 l 的距离，利用 k1+k2=2 转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出 p 的值，则抛物线 E 的方程可求【解答】解：（I） 由题意，抛物线 E 的焦点为，直线 l1的方程为由，得设 A，B 两点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则 x1，x2是上述方程的两个实数根从而 x1+x2=2pk1，所以点 M 的坐标为，同理可得点 N 的坐标为，于是由题设 k1+k2=2，k10，k20，k1k2，所以 0故（）由抛物线的定义得，所以，从而圆 M 的半径第 25 页（共 26 页）故圆 M 的方程为，化简得同理可得圆 N 的方程为于是圆 M，圆 N 的公共弦所在的直线 l 的方程为又 k2k10，k1+k2=2，则 l 的方程为 x+2y=0因为 p0，所以点 M 到直线 l 的距离为=故当时，d 取最小值由题设，解得 p=8故所求抛物线 E 的方程为 x2=16y【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法属难题22 （13 分）已知 a0，函数（）记 f（x）在区间0，4上的最大值为 g（a） ，求 g（a）的表达式；（）是否存在 a 使函数 y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】 （I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得 g（a）的表达式；（II）利用曲线 y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论【解答】解：（I）当 0xa 时，；当 xa 时，第 26 页（共 26 页）当 0xa 时，f（x）在（0，a）上单调递减；当 xa 时，f（x）在（a，+）上单调递增若 a4，则 f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=若 0a4，则 f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增g（a）=maxf（0） ，f（4）f（0）f（4）=当 0a1 时，g（a）=f（4）=；当 1a4 时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当 a4 时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当 0a4 时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在 x1，x2（0，4） （x1x2） ，使曲线 y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则 x1（0，a） ，x2（a，4） ，且 f（x1）f（x2）=1=1x1（0，a） ，x2（a，4） ，x1+2a（2a，3a） ，（，1）成立等价于 A=（2a，3a）与 B=（，1）的交集非空，当且仅当 02a1，即时，AB综上所述，存在 a 使函数 y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且 a 的取值范围是（0，） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键