高考理科数学一轮解析几何.doc

第八篇 解析几何第 1 讲 直线与方程最新考纲1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角；规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0；范围：直线的倾斜角 的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线 l 的倾斜角 时，其倾斜角 的正切值 tan 叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan_；2斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k.y2y1x2x12直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)与 x 轴不垂直的直线两点式过两点 yy1y2y1xx1x2x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距 1xayb不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线3.线段的中点坐标公式若点 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则Error!此公式为线段 P1P2的中点坐标公式辨 析 感 悟1对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(×)(2)过点 M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是 45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点 A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则 a 的值为2.()2对直线的方程的认识(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示(×)(5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(6)直线 l 过点 P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为 xy30.(×)感悟·提升1直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数，当倾斜角 90°时，ktan .直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜率，如(1)2三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例 1】 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( )A0，) B.0，4 34，)C. D.0，40，4 (2，)(2)若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为( )A. B C D.13133223解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，其中 sin 1,1，又 0，)，所以 0 或0，bc0，bc>0Cab0 Dab0；令 y0，x >0.即 bc0，故交点在第二象限(kk1，2k1k1)12kk12k1k1答案 B5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2经过定点( )A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2)解析 直线 l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2经过定点(0,2)答案 B二、填空题6若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_解析 由Error!得Error!点(1,2)满足方程 mx2y50，即 m×12×250，m9.答案 97设 a、b、c 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 xsin Aayc0 与 bxysin Bsin C0 的位置关系是_解析 由，得 bsin Aasin B0.asin Absin B两直线垂直答案 垂直8若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2，则 m 的倾斜角可以是：215°；30°；45°；60°；75°.其中正确答案的序号是_解析 很明显直线 l1l2，直线 l1，l2间的距离为 d，设直线 m 与直线 l1，l2分别相交于点 B，A，则|AB|2，过点 A 作|13|222直线 l 垂直于直线 l1，垂足为 C，则|AC|d，则在 RtABC 中，sin ABC ，所以ABC30°，又直线 l1的倾斜2|AC|AB|22 212角为 45°，所以直线 m 的倾斜角为 45°30°75°或 45°30°15°.答案 三、解答题9已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求 m 的值，使得：(1)l1与 l2相交； (2)l1l2； (3)l1l2； (4)l1，l2重合解 (1)由已知 1×3m(m2)，即 m22m30，解得 m1 且 m3.故当 m1 且 m3 时，l1与 l2相交(2)当 1·(m2)m·30，即 m 时，l1l2.12(3)当 1×3m(m2)且 1×2m6×(m2)或 m×2m3×6，即 m1 时，l1l2.(4)当 1×3m(m2)且 1×2m6×(m2)，即 m3 时，l1与 l2重合10求过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且到点 P(0,4)的距离为 2 的直线方程解 由Error!解得Error!l1，l2的交点为(1,2)，设所求直线方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0，P(0,4)到直线的距离为 2，2，|2k|1k2解得 k0 或 .直线方程为 y2 或 4x3y20.43能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1设两条直线的方程分别为 xya0 和 xyb0，已知 a，b 是关于 x 的方程 x2xc0 的两个实数根，且 0c ，则这两18条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.， B.， C.， D.，24122222122212解析 d，ab1，abc，又|ab|，从而 dmax，dmin .|ab|214c22，12212答案 D2(2014·武汉调研)已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 与 xay0 上，且 AB 线段的中点为 P，则线段 AB 的(0，10a)长为( )A11 B10 C9 D8解析 由两直线垂直，得 ·21，解得 a2.所以中点 P 的坐标为(0,5)则 OP5，在直角三角形中斜边的长度1aAB2OP2×510，所以线段 AB 的长为 10.答案 B二、填空题3已知 0k4，直线 l1：kx2y2k80 和直线 l2：2xk2y4k240 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k 值为_解析 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,4)，直线 l1的纵截距为 4k，直线 l2的横截距为 2k22，如图，所以四边形的面积S2k2×2(4k4)×2× 4k2k8，故面积最小时，k .1218答案 18三、解答题4(1)在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线 l：3xy10 上求一点 Q，使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小图 1图 1解 (1)如图 1，设点 B 关于 l 的对称点 B的坐标为(a，b)，直线 l 的斜率为 k1，则 k1·kBB1.即 3·1.b4aa3b120.又由于线段 BB的中点坐标为，且在直线 l 上，(a2，b42)3× 10.即 3ab60.a2b42解得 a3，b3，B(3,3)于是 AB的方程为，即 2xy90.y131x434解Error!得Error!即 l 与 AB的交点坐标为 P(2,5)(2)如图 2，设 C 关于 l 的对称点为 C，求出 C的坐标为.(35，245)AC所在直线的方程为 19x17y930，AC和 l 交点坐标为， 图 2(117，267)故 Q 点坐标为.(117，267)第 3 讲 圆的方程最新考纲1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理1圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心 C(a，b)标准(xa)2(yb)2r2(r0)半径为 r充要条件：D2E24F0圆心坐标：(D2，E2)方程一般x2y2DxEyF0半径 r2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2>r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2b>0)x2a2y2b21y2a2x2b2(a>b>0)图 形范 围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率e (0,1)ca性质a，b，cc2a2b2的关系辨 析 感 悟1对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆(×)(2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆(×)2对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆(×)(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)(教材习题改编)椭圆1 的离心率为.()x216y28223椭圆的方程(6)若椭圆1 的焦点坐标是 F1(，0)，F2(，0)，则 k2()x24y2k22(7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是1(×)12x23y24感悟·提升1一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，如(1)、(2)2两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意椭圆方程的焦点位置是在 x 轴上还是 y 轴上，当 ab0 时，方程1 的焦点在 x 轴上；当 ba0 时，方程x2a2y2b21 的焦点在 y 轴上，如(7).x2a2y2b2考点一 椭圆定义及标准方程【例 1】 (1)设 F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为椭 圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的x225y216距离为( ) A4 B3 C2 D5(2)求过点(，)，且与椭圆1 有相同焦点的椭圆的标准方程35y225x29(1)解析 由题意知，在PF1F2中，|OM| |PF2|3，12|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.答案 A(2)解 法一 椭圆1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.由椭圆的定义知，y225x292a， 302 542 302 542解得 a2.由 c2a2b2可得 b24.5所以所求椭圆的标准方程为1.y220x24法二 因为所求椭圆与椭圆1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.y225x29设它的标准方程为1(a>b>0)y2a2x2b2因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又点(，)在所求椭圆上，35所以1，即1. 52a2 32b25a23b2由得 b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.y220x24规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By21(A>0，B>0，AB)【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，22且ABF2的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_解析 设椭圆方程为1(a>b>0)，由 e知 ，故 .x2a2y2b222ca22b2a212由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故 a4.b28.椭圆 C 的方程为1.x216y28答案 1x216y28考点二 椭圆的几何性质【例 2】 已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关(1)解 法一 设椭圆方程为1(ab0)，x2a2y2b2|PF1|m，|PF2|n，则 mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60°(mn)23mn4a23mn4a23·24a23a2a2(当且仅当 mn 时取等号) ，即 e .(mn2)c2a21412又 0e1，e 的取值范围是.12，1)法二 如图所示，设 O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于F1PF260°，则只需满足 60°F1AF2即可，又F1AF2是等腰三角形，且|AF1|AF2|，所以 0°F1F2A60°，所以 cosF1F2A1，12又 ecosF1F2A，所以 e 的取值范围是.12，1)(2)证明 由(1)知 mn b2，43SPF1F2 mnsin 60°b2，1233即PF1F2的面积只与短轴长有关规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到 a，c 的关系(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 e ；ca只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)【训练 2】 (1)(2013·四川卷)从椭圆1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，Bx2a2y2b2是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )A. B. C. D.24122232(2)(2012·安徽卷改编)如图，F1，F2分别是椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点，x2a2y2b2A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260°.且AF1B 的面积为 40，3则 a_，b_.解析 (1)左焦点为 F1(c,0)，PF1x 轴，当 xc 时，1y b2yP(负值不合题意，已舍去)，点 P，c2a2y2 Pb22 P(1c2a2)b4a2b2a(c，b2a)由斜率公式得 kAB ，kOP.bab2acABOP，kABkOP bc.bab2aca2b2c22c2， e .c2a212ca22(2)法一 a24c2，b23c2，直线 AB 的方程为 y(xc)，3将其代入椭圆方程 3x24y212c2，得 B，(85c，3 35c)所以|AB|·c.13|85c0|165由 SAF1B |AF1|·|AB|·sinF1AB a·c·a240，解得 a10，b5.1212165322 3533法二 设|AB|t(t>0)因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，t a.85由 SAF1B a· a·a240知，1285322 353a10，b5.3答案 (1)C (2)10 53考点三 直线与椭圆的位置关系【例 3】 (2013·陕西卷)已知动点 M(x，y)到直线 l：x4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率审题路线 (1)根据题意列出等式坐标化整理可得动点 M 的轨迹方程(2)设直线 m 的方程，交点 A，B 的坐标法一：把直线与点 M 的轨迹方程联立，消 y由 0 得 k 的范围由方程得根与系数的关系式再结合 A 是 PB 的中点即 x22x1解得 k 的值；法二：由 A 是 PB 的中点得出 A，B 两点坐标间的关系又点 A，B 在点 M 的轨迹上联立方程组解得 A 或 B 点坐标根据斜率公式求 k.解 (1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意，d2|MN|.由此得|4x|2，x12y2化简得1，x24y23所以，动点 M 的轨迹方程为1.x24y23(2)法一 由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykx3 代入1 中，有(34k2)x224kx240，x24y23其中，(24k)24×24(34k2)96(2k23)>0，解得 k2> .32由根与系数的关系得，x1x2，24k34k2x1x2.2434k2又因 A 是 PB 的中点，故 x22x1，将代入，得 x1，x ，8k34k22 11234k2可得2，且 k2> ，(8k34k2)1234k232解得 k 或 k ，3232所以，直线 m 的斜率为 或 .3232法二 由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A 是 PB 的中点，x1，x22y1.3y22又1，x2 14y2 131，x2 24y2 23联立，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线 m 的斜率为 或 .3232规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形【训练 3】 (2014·山东省实验中学诊断)设 F1，F2分别是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，过 F1倾斜角为 45°的直线 l 与该椭x2a2y2b2圆相交于 P，Q 两点，且|PQ| a.43(1)求该椭圆的离心率；(2)设点 M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程解 (1)直线 PQ 斜率为 1，设直线 l 的方程为 yxc，其中 c，a2b2设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 P，Q 两点坐标满足方程组Error!化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x2，x1x2.2a2ca2b2a2c2b2a2b2所以|PQ|x2x1| a，22x1x224x1x243化简，得 a，故 a22b2，434ab2a2b2所以椭圆的离心率 e .caa2b2a22 (2)设 PQ 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0 c，x1x22a2ca2b223y0x0c .c3由|MP|MQ|，得 kMN1，即1，得 c3，从而 a3，b3.y01x02故椭圆的方程为1.x218y291椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2m1(m0，n0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为 Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中更简便y2n3椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量 a，b，c，e 之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式答题模板 11直线与椭圆的综合问题【典例】 (13 分)(2013·天津卷)设椭圆1(a>b>0)的左焦点为 F，离心率为，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长x2a2y2b233为.4 33(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点若··8，求 k 的值ACDBADCB规范解答 (1)设 F(c,0)，由 ，知 ac.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 xc，ca333代入椭圆方程1，解得 y±b， (2 分)c2a2y2b263于是b ，解得 b，(3 分)2 6343 32又 a2c2b2，从而可得 a，c1， (4 分)3所以椭圆的方程为1.(5 分)x23y22(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(1,0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)， (6 分) 由方程组Error!消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260. (8 分)因为直线过椭圆内的点，无论 k 为何值，直线和椭圆总相交由根与系数的关系可得则 x1x2，x1x2， (9 分)6k223k23k2623k2因为 A(，0)，B(，0)，所以33··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)ACDBADCB333362x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.(12 分)2k21223k2由已知得 68，2k21223k2解得 k±. (13 分)2反思感悟 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题答题模板 直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根的判别式 0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出第五步：根据题设条件求解问题中的结论【自主体验】已知椭圆 C1：y21，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率x24(1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，2，求直线 AB 的方程OBOA解 (1)由已知可设椭圆 C2的方程为1(a>2)y2a2x24其离心率为，故，解得 a4.32a24a32故椭圆 C2的方程为1.y216x24(2)A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.OBOA将 ykx 代入y21 中，得(14k2)x24，x24所以 x .2 A414k2将 ykx 代入1 中，得(4k2)x216，y216x24所以 x .又由2 ，得 x 4x ，即，解得 k±1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.2 B164k2OBOA2 B2 A164k21614k2基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是x23( ) A2 B6 C4 D1233解析 由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a(F 是椭圆的另外一个焦点)，周长为 4a4.3答案 C2(2014·广州模拟)椭圆1 的离心率为 ，则 k 的值为( )x29y24k45A21 B21 C或 21 D.或 2119251925解析 若 a29，b24k，则 c，5k由 ，即 ，解得 k；ca455k3451925若 a24k，b29，则 c，k5由 ，即 ，解得 k21.ca45k54k45答案 C3(2014·韶关模拟)已知椭圆1，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则 m 等于( )x210my2m2A4 B5 C7 D8解析 将椭圆的方程转化为标准形式为1，y2 m22x2 10m2显然 m210m，即 m6，且()2()222，解得 m8.m210m答案 D4(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆3方程为( )A.1 B.1 C.1 D.1x28y26x216y26x28y24x216y24解析 设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.x2a2y2b234a23b2又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a2·2c， ，ca12又 c2a2b2，联立解得 a28，b26.答案 A5(2013·辽宁卷)已知椭圆 C：1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若x2a2y2b2|AB|10，|BF|8，cosABF ，则 C 的离心率为( )45A. B. C. D.35574567解析 如图，设|AF|x，则 cosABF .82102x22 × 8 × 1045解得 x6，AFB90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，FAF1FABFBA90°，FAF1是直角三角形，所以|F1F|10，故 2a8614,2c10， .ca57答案 B二、填空题6(2014·青岛模拟)设椭圆1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为_x2m2y2n212解析 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，m2n24，e ，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.122mx216y212答案 1x216y2127已知 F1，F2是椭圆 C：1(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且.若PF1F2的面积为 9，则x2a2y2b2PF1PF2b_.解析 由题意知|PF1|PF2|2a，PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|4c2，2|PF1|·|PF2|4a24c24b2.|PF1|·|PF2|2b2，SPF1F2 |PF1|·|PF2| ×2b2b29.1212b3.答案 38(2013·福建卷)椭圆 ：1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足x2a2y2b23MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析 因为直线 y(xc)过椭圆左焦点，且斜率为，所以MF1F260°，MF2F130°，F1MF290°，33故|MF1|c，|MF2|c3由点 M 在椭圆上知，cc2a.3故离心率 e 1.ca2313答案 13三、解答题9已知椭圆的两焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆上一点，且 2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点 P 在第二象限，F2F1P120°，求PF1F2的面积解 (1)依题意得|F1F2|2，又 2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.x24y23(2)设 P 点坐标为(x，y)，F2F1P120°，PF1所在直线的方程为 y(x1)·tan 120°，即 y(x1)3解方程组Error!并注意到 x0，y0，可得Error!SPF1F2 |F1F2|·.123 353 3510(2014·绍兴模拟)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)已知点 M在椭圆上，x2a2y2b2(3，22)且点 M 到两焦点距离之和为 4.(1)求椭圆的方程；(2)设与 MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A，B(A，B 不重合)，求·的取值范围OAOB解 (1)2a4，a2，又 M在椭圆上，(3，22) 1，解得 b22，3412b2所求椭圆方程1.x24y22(2)由题意知 kMO，kAB.666设直线 AB 的方程为 yxm，6联立方程组Error!消去 y，得 13x24mx2m240，6(4m)24×13×(2m24)8(12m213m226)0，6m226，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1x2，x1x2，4 6m132m2413则·x1x2y1y27x1x2m(x1x2)m2.OAOB63m228132813，5013)·的取值范围是.OAOB2813，5013)能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014·潍坊模拟)已知椭圆：1(0b2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的x24y2b2最大值为 5，则 b 的值是( )A1 B. 2C. D.323解析 由题意知 a2，所以|BF2|AF2|AB|4a8，因为|BF2|AF2|的最大值为 5，所以|AB|的最小值为 3，当且仅当 ABx 轴时，取得最小值，此时 A，B，代入椭圆方程得1，又 c2a2b24b2，所以1，即(c，32)(c，32)c2494b24b2494b211，所以，解得 b23，所以 b.b2494b2b2494b23答案 D2设 F1，F2是椭圆 E：1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x上一点，F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心x2a2y2b23a2率为( ) A. B. C. D.12233445解析 令 c.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF230°，F1F2P120°，a2b2PF2x60°，|F2P|23a2c.(3a2c)|F1F2|2c，3a2c2c，3a4c， ，ca34即椭圆的离心率为 .34答案 C二、填空题3(2014·陕西五校联考)椭圆1(a 为定值，且 a)的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B.若FAB 的周长的最大x2a2y255值是 12，则该椭圆的离心率是_解析 设椭圆的右焦点为 F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB 的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当 AB 过右焦点 F时等号成立此时 4a12，则 a3.故椭圆方程为1，所以 c2，x29y25所以 e .ca23答案 23三、解答题4(2014·河南省三市调研)已知圆 G：x2y22xy0 经过椭圆1(ab0)的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外一点 M(m,0)2x2a2y2b2(ma)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点56(