AU第二十讲 等比数列及其前n项和.doc

高考数学一轮第二十讲 第 1 页共 10 页 第二十讲 等比数列及其前 项和n考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、等比数列的相关概念1一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(0)，qq可表示为（其中，） 1nnaqa2n*nN2等比数列的通项公式：，其中，也可以1 1n naa qn m nmaa qnmnm由于可以整理为因此，等比数列，即中的各项1 1n naa q1()n naaqqna1naqq所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限当时，这些点在曲线(即0q 1xayqq，这里为一不等于 0 的常数)上xycq1acq3等比中项如果在与中间插入一个数，使、成等比数列，那么叫做与的等abGaGbGab比中项如果是与的等比中项，那么，即因此GabGb aG2GabGab 二、等比数列的前项和公式n等比数列的前项和公式（可由错位相减法推得）：n当时，也可得1q 11(1)(1) 11nnnaqa qSqq11 11nn naa qa qaSqq当时，1q 1nSna有关等比数列的求和问题，当不能确定“”时，应分，来讨论1q 1q 1q 一个等比数列，共有 5 个基本元素：、， “知三求二” ，注意前提1ananqnS条件是0q 高考数学一轮第二十讲 第 2 页共 10 页 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、等比数列及通项公式1等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看差不多，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公比的正负号有着密切的关系等等2等比数列的定义表达式形式为(2)，其中为常数，也可以写成生1nnaqanq()，为常数（注意比较两者的区别） 1nnaqa*nNq3通项公式，从函数的角度来看，它可以看做是一个常数与一个11 1nn naaa qqq关于的指数函数的积，其图象是函数的图象上的一群孤立的点n4只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数二、等比数列的前项和公式n1公式的推导分和两种情况分别求解，当时，数列为常数列，易有1q 1q 1q ；当时，采用“错位相减法”进行推导，这种方法具有一定的通性，注意把1nSna1q 握2明确等比数列前项和公式的函数解析式的结构特点，利用这些特点我们可以判断n一个数列是不是等比数列，如果是等比数列，我们还可以据此直接求出数列的首项和公比三、等比数列的性质1若首项，公比，或首项，公比，则数列为递增数到；10a 1q 10a 01q若首项，公比，或首项，公比，则数列为递减数列；公比10a 01q10a 1q ，数列为常数列；公比，数列为摆动数列1q 0q 2若，且，则，其中，mnp*kNmnpkmnpkaaaamana，是数列中的项特别地，当时，有.paka2mnp2 mnpaaa高考数学一轮第二十讲 第 3 页共 10 页 类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多3等比数列的连续非零项的和，仍组成等比nammS2mmSS32mmSS数列4若为正项等比数列，则（且）为等差数列；若为等nalogana0a 1a na差数列，则（且）为等比数列naa0a 1a 四、判定等比数列的常用方法1定义法：（是不为 0 的常数，）是等比数列1nnaqaq*nNna2通项公式法：（，均是不为 0 的常数，）是等比数n nacqcq*nNna列3.中项公式法：(，)是等比数列2 11nnnaaa120nnnaaa*nNna五、解决等比数列有关问题的常见思想方法1方程的思想：等比数列中有五个量，一般可以“知三求二” ，1anaqnnS通过列方程（组）求基本量和问题可迎刃而解1aq2分类思想：在运用等比数列求和公式时，应注意对公比是否为 1 进行讨论q3对称思想：当数列为有限项时，可用“对称设项法”设其通项，当为奇数时，可n设为，；当为偶数时，可设2a qa qaaq2aqn为，3a qa qaq3aq考点分类精讲考点考点 1 等比数列及通项公式等比数列及通项公式1等比数列的判定2求等比数列的通项公式3利用等比数列的通项公式解决问题【例 1】设数列的前项和为，已知nannS11,a 142nnSa高考数学一轮第二十讲 第 4 页共 10 页 (1)设，证明数列是等比数列； 12nnnbaa nb(2)求数列的通项公式na【解析】(1)由，及，有，11a 142nnSa12142aaa21325aa所以12123baa由， 则当时，有 142nnSa2n142nnSa得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又，是首项，公比为的等比数列12nnnbaa12nnbb nb13b (2)由(1)可得，1 123 2nnnnbaa 1 13 224nn nnaa 数列是首项为，公差为的等比数列2n na1 23 4，1331(1)22444n nann所以2(31) 2nnan点拨：判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看对于任na1nna a意正整数是否恒为常数但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件（各项均不为零）n是否成立【例 2】已知两个等比数列，满足，na nb()aa a baba ba (1)若，求数列的通项公式；a na(2)若数列唯一，求的值naa【解析】(1)设的公比为，则，naq112ba 222baqq，22 333baqq由成等比数列得，123,b b b22(2)2(3)qq即，2 12420,22,22qqqq解得高考数学一轮第二十讲 第 5 页共 10 页 所以的通项公式为na11(22)(22).nn nnaa或(2)设的公比为，则由，naq22(2)(1)(3)aqaaq得，24310(*)aqaqa 由得，故方程（*）有两个不同的实根，0a 2440aa 由唯一，知方程（*）必有一根为 0，代入（*）得na1 3a 【例 3】已知数列与满足：， na nb1120nnnnnb aaba3( 1) 2nnb ，且，*nN12a 24a (1)求的值；345,a a a(2)设，证明：是等比数列* 2121,nnncaanN nc【解析】(1)由可得*3( 1),2nnbnN 1,nnb 为奇数2, n为偶数又1120,nnnnnb aaba当时，由，可得；1n 12320aaa12a 24a 33a 当时，可得；2n 23420aaa45a 当时，可得3n 34520aaa44a (2)证明：对任意*,nN2122120,nnnaaa2212220,nnnaaa21222320,nnnaaa，得223.nnaa将代入，可得21232121()nnnnaaaa 即* 1()nncc nN 高考数学一轮第二十讲 第 6 页共 10 页 又，故1131caa 0,nc 因此，所以是等比数列.11nnc c nc考点考点 2 等比数列的前等比数列的前项和公式项和公式n1求等比数列的前项和n2利用等比数列的前项和公式解决问题n【例 4】设是等比数列，公比，为的前项和记，na2q nSnan2117nn n nSSTa设为数列的最大项，则= *nN 0nTnT0n【解析】2 11117 1 ( 2) 1 ( 2) 1212 ( 2)nnnnaaTa21( 2)17( 2)16 12( 2)nnn116( 2)1712( 2)n n因为8，当且仅当=4，即时取等号，所以当时16( 2)( 2)n n( 2)n4n 04n 有最大值nT【例 5】已知数列的前项和，其中nan1nnSa 0(1)证明是等比数列，并求其通项公式；na(2)若，求531 32S 【解析】(1)由题意得，故，.1111aSa111 1a01a由，得，即.由nnaS1111nnaSnnnaaa11nnaa) 1(1，且得，所以.01a010na11 nn aa因此是首项为，公比为的等比数列，于是na11 11)1(11 n na (2)由(1)得，由得，即，n nS)1(1 3231 5S3231)1(155)1(321高考数学一轮第二十讲 第 7 页共 10 页 解得1 【例 6】已知数列满足，且na2nnaqa()qq 为实数，且1*Nn11a 22a 成等差数列233445,aa aa aa+(1)求的值和的通项；qna(2)设，求数列的前项和2221logn n naba*nN nbn【解析】(1)由已知，有，()()()()34234534aaaaaaaa+-+=+-+即，所以4253aaaa23(1)(1)a qa q又因为，故，由，得，1q 322aa31aa q2q 当时，21(*)nknN1 12 2122n k nkaa 当时，2 (*)nk nN2 222n k nkaa所以的通项公式为na1 222,2 ,nnnnan 为奇数为偶数(2)由(1)得，设数列的前项和为，则22 1 21log 2n nn nanba- -= nbnnS，01111112222nnSn-= ´+ ´+× × ×+ ´，121111122222nnSn= ´+ ´+× × ×+ ´两式相减得，211111111221212222222212nnnnnnnnnS- = +× × ×+-=-=- -整理得，1242nnnS-+=-所以数列的前项和为， nbn1242nn-+-*nNÎ考点考点 3 等比数列的性质等比数列的性质1利用等比数列性质简化解题过程2等比数列性质的探求高考数学一轮第二十讲 第 8 页共 10 页 【例 7】设是由正数组成的等比数列，是其前项的和·试比较nanSn与的大小0.50.52loglog 2nnSS0.51lognS【解析】依题意可知2 211111()()nnnnnnnS SSSaqSSaqS11()nna SS ，110na a 2 21nnnS SS，即2 0.520.51log()lognnnSSS0.50.52loglog 2nnSS0.51lognS点拨：在解决与等比数列前项和的有关问题（特别是证明和比较大小）时，若能灵n活地运用性质，能简化解题过程（如本例） ，不仅避免了繁琐的计算，更n n mnmSSq S避免运用等比数列求和公式时对公比的分类讨论q【例 8】(1)设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，nan2n3nX，则下列等式中恒成立的是( )YZA B2XZYY YXZ ZXC D2YXZY YXX ZX(2)已知各项均为正数的等比数列，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a=naA5 2 B7 C6 D4 2【解析】(1)设数列的首项为，公比为，则，na1aq12nXaaa，(1)nYXq2(1)nnZXqq，2()(1)(1)nnnnY YXXqq XX qq，22()()nnX ZXXqq()()Y YXX ZX(2)解法一 由等比数列的性质知，3 1231322()5a a aa aaa，所以1 3 2850a a ,3 7897988()10a a aa aaa所以1 3336 456465528()()(50 )5 2a a aa aaaa aA，解法二 123a a a=53 25a；789a a a=103 810,a6333 5284565505 2aa aa a aa，考点考点 4 等比数列与等差数列的综合问题等比数列与等差数列的综合问题1等差数列与等比数列的相互转化问题高考数学一轮第二十讲 第 9 页共 10 页 2等差数列与等比数列的交汇问题【例 9】(1)已知为等差数列，其公差为，且7a是3a与9a的等比中项，为na2nS的前n项和，*nN，则的值为na10SA110 B90 C90 D110(2)设，其中成公比为的等比数列，成7211aaa7531,aaaaq642,aaa公差为 1 的等差数列，则的最小值是_q【解析解析】(1),，)16)(4()12(112 1aaa，解之得201a，2 739aaa2d .1010 910 20( 2)1102S(2)由题意知，且，且，3aq2 5aq3 7aq1q421aa622aa21a 那么有且22q 33q 故，即的最小值为33qq33【例 10】设数列的前项为，已知nanS2(1)n nnbabS(1)证明：当时，是等比数列；2b 12n nan (2)求的通项公式na【解析】由题意知，且，12a 2(1)n nnbabS1 112(1)n nnbabS 两式相减得11()2(1)n nnnb aaba即 12nnnaba(1)当时，由知2b 122nnnaa于是1(1) 222(1) 2nnn nnanan12(2)n nan 又，所以是首项为 1，公比为 2 的等比数列1 11 210na 12nnan(2)当时，由(1)知，即2b 1122nn nan11 2nnan当时，由得2b 11 11122222nnn nnababb 22n nbbab1(2 )2n nb ab高考数学一轮第二十讲 第 10 页共 10 页 因此11 11112(2 )22nn nababb 2(1) 2nbbb+11 12(1)1122(22 )222nnnn nbabb bbbb 则112(22 )2nn nab bb(2)n当时，适用于此式1n 12a 112(22 )2nn nab bb*()nN点拨：解决等差数列与等比数列的综合问题的关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题，也就是涉及哪个数列问题就灵活运用相关知识解决本专题试题训练详见试题精练