Q第十五讲 热点聚焦 必备的四种思想方法.doc

名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 1 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk第十五讲第十五讲 热点聚焦热点聚焦 必备的四种思想方法必备的四种思想方法【名师高考导航名师高考导航】数学思想主要指函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想对数学的学习除了要学习专业知识外，还要不断地渗透数学思想，使数学思想根植于脑海之中，这样才能提升数学能力，高考试题十分重视对数学思想的考查，特别是试题的解答过程，无不充满解题的智慧和数学思想的魅力，只有深刻领悟数学思想，才能巧妙破解高考试题【思想方法整合思想方法整合】【函数与方程思想函数与方程思想】使运动与变化巧妙联系(1)函数思想是指运用函数的概念和性质去分析、转化和解决问题，经常利用的是函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等，应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是解题的关键步骤，大体可分为下面两个步骤：根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题，构造函数的思路如下，. 入手 方向把一个代数式看成一个函数 构造函数把方程化为函数. 把参数看作变量，从而构造一个函数来帮助解题(2)方程思想是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 2 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk（方程或方程与不等式的混合） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题获解，对于一个含变量的等式，想到把这个等式看作一个含未知数的方程，通过对这个方程的观察和研究，往往能使问题变得容易解决函数与方程是相互联系的，在一定条件下它们可以相互转化，函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，进行求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值等；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，从而达到化难为易、化繁为简的目的和函数与方程思想密切关联的知识点和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化对于函数，当时，就化为不等式( )yf x0y ，借助函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式( )0f x (2)数列的通项与前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十n分重要(3)解析几何中的许多问题，例如直线与圆锥曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决类型一类型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题利用函数与方程思想求解最值、范围问题【典例 1】(2017 北京)已知，且，则的取值范围是_0x0y1xy22xy【思路点拨】将方程化为函数，代入中变为关于的函1xy1yx 22xyx数，利用二次函数最值求范围【解析】由题意得，所以1yx ，且，又或22222211(1)2212()22xyxxxxx 0,1x0x 时，时，取得最小值，所以取值范围为1x 221xy1 2x 221 2xy22xy1 ,12【典例 2】对于，当非零实数，满足，且使最0c ab224240aabbc|2|ab名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 3 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk大时，的最小值为 345 abc【思路点拨】利用换元法，令，则，代入所给关系式，得关于2abt2atb 的二次方程，结合判别式得 的最大值为代入二次方程得，由此可得bt8 5c10cb ，则所求问题转化为关于的函数式的最值问题，利用函数的性质即可解决3 210ca c【解析】设，则，因为，所以将代2abt2atb 224240aabbc2atb 入整理可得，由解得，当22630btbtc088 55ctc取得最大值时，代入式得，再由得2ab8 5tc10cb 2atb ，所以3 210ca 345 abc2 104 10552 10 ccccc当且仅当时等号成立25(2)22c5 2c 【规律总结】当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决，如本题，若求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域，类型二类型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题利用函数与方程思想研究方程根的问题【典例 1】 （2016 天津）已知函数=（，且）( )f x2(4,0, log (1) 13 ,03)axaxa xxx0a 1a 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程恰有两个不相等的实数解，则的取|( )| 2f xxa值范围是A （0， B， C， D，）2 32 33 41 32 33 41 32 33 4【解析】当时，单调递减，必须满足，故，0x ( )f x4302a 304a名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 4 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，( )f x0,)( )f xR31a即，所以1 3a13 34a当时，函数的图象和直线只有一个公共点，0x|( )|yf x2yx即当时，方程只有一个实数解因此，只需当时，0x|( )| 2f xx0x 方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，|( )| 2f xx0x 方程，2(43)32xaxax即在上恰有唯一的实数解22(21)320xaxa(,0)判别式，当时，24(21)4(32)4(1)(43)aaaa 3 4a 0 此时满足题意；令，由题意得，1 2x 2( )2(21)32h xxaxa(0)0h即，即时，方程有一个正根、一个负根，320a 2 3a 22(21)320xaxa满足要求；当，即时，方程有一个为 0、(0)0h2 3a 22(21)320xaxa一个根为，满足要求；当，即，2 3(0)0h320a 即时对称轴，23 34a(21)0a此时方程有两个负根，不满足要求；22(21)320xaxa综上实数的取值范围是a1 23 , 3 34【典例 2】已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与32( )32f xxxax( )yf x轴交点的横坐标为2x(1)求；a(2)证明：当时，曲线与直线只有一个交点1k ( )yf x2ykx【思路点拨】(1)先对函数进行求导，再利用导数的几何意义和已知条件即可求解的a值；(2)将本问转化为证明方程只有一个解，构造函数( )20f xkx，再根据导数与函数的单调性之间的关系，即可证明( )( )2g xf xkx【解析】(1)=，'( )fx236xxa'(0)fa名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 5 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk曲线在点（0,2）处的切线方程为( )yf x2yax由题设得，所以22a 1a (2)由(1)知，32( )32f xxxx设( )g x( )2f xkx323(1)4xxk x由题设知10k当0 时，单调递增，x( )g x23610xxk ( )g x，所以=0 在有唯一实根( 1)10, (0)4gkg ( )g x,0当时，令，则0x 32( )34h xxx( )g x( )(1)( )h xk xh x，在单调递减，在单调递增，2'( )363 (2)h xxxx x( )h x(0,2)(2,)所以( )( )(2)0g xh xh所以在没有实根( )0g x (0,)综上，=0 在 R 有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点( )g x( )yf x2ykx【规律总结】研究此类方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决，类型三类型三 利用函数与方程思想求解不等式问题利用函数与方程思想求解不等式问题【典例 1】关于的不等式，若在时恒成立，则实数的取值范围x44 30kxx0x k是A(0，3) B(0，3 C(3，+) D3，+)【思路点拨】看到题目所给的不等式形式，首先要联想到构造函数，通过两函数的图象有切点得一元二次方程，由判别式等于 0 求得的值，然后再结合两函数的图象解题即k可【解析】将原不等式变形为，可设，44 3kxx(0)x 14( )f xx ，故中参数的几何意义是直线的斜率，由图2( )4 3fxkx2( )fxk4 3ykx名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 6 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk象知，当直线与曲线相切时，关于的方程有4 3ykx4yx x44 3kxx唯一大于 0 的解，将方程整理成关于的一元二次方程，由x24 340kxx=0，求得又直线过定点，故要使恒成立，只3k (0, 4 3)12( )( )f xfx(0)x 需即可，综上，存在实数使不等式恒成立，选 D3k3,)k【规律总结】在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数【典例 2】(2017 全国卷)设函数2( )(1)xf xx e(1)讨论的单调性；( )f x(2)当时，求的取值范围0x( )1f xaxa【解析】(1)2( )(1 2)xfxxx e令得 ，( )0fx12x 12x 当时，；当时，；(, 12)x ( )0fx( 12, 12)x ( )0fx当时，( 12,)x ( )0fx所以在，单调递减，( )f x(, 12) ( 12,) 在单调递增( 12, 12) (2)( )(1)(1)xf xxx e当时，设函数，1a( )(1)xh xx e( )0xh xxe 因此在单调递减，而，故，( )h x0,)(0)1h( )1h x 所以( )(1) ( )11f xxh xxax当时，设函数，01a( )1xg xex( )10(0)xg xex 所以在单调递增，而，故( )g x0,)(0)0g1xex名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 7 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk当时，01x2( )(1)(1)f xxx所以，22(1)(1)1(1)xxaxxaxx 取，则，0541 2ax0(0,1)x 2 000(1)(1)10xxax 故00()1f xax当时,取,则,0a051 2x0(0,1)x 2 0000()(1)(1)11f xxxax综上，的取值范围是a1,)【方法总结】(1)先求，再通过解方程判断函数的单调性；对于(2)，( )fx( )0fx构造函数，借助导函数研究单调性及最值，利用方程的根，从而确定的取值范围a类型四类型四 利用函数与方程思想解决解析几何问题利用函数与方程思想解决解析几何问题【典例】设椭圆()的左、右焦点为，右顶点为，上顶点22221xy ab0ab12,F FA为已知B123 2ABFF=(1)求椭圆的离心率；(2)设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的PPB1FO直线 与该圆相切求直线 的斜率ll【思路点拨】(1)由题设可得，结合，可得离心率的值(2)2223abc222bac由(1)知椭圆方程，设出点的坐标，由题意知，得，P00(,)xy110FP FB 000xyc又由点在椭圆上可得则，求出圆的半径，由 与圆相切得P04 3xc 03cy 5 3cr l的值，问题得解k【解析】(1)设椭圆的右焦点的坐标为由，2F( ,0)c123 2ABFF=可得，又，则2223abc+=222bac=-221 2c a=名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 8 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk所以，椭圆的离心率2 2e=(2)由(1)知，故椭圆方程为222ac=22bc=222212xy cc+=设由，有，()00,P xy()1,0Fc-()0,Bc()100,FPxc y=+()1,FBc c=由已知，有，即110FP FB×= ()000xc cy c+=又，故有 0c ¹000xyc+=又因为点在椭圆上，故 P22 00 2212xy cc+=由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得2 00340xcx+=P04 3cx = -，即点的坐标为03cy =P4(, )33c c-设圆的圆心为，则，进而圆的11( ,)T x y14023 23c xc-+ = -123 23cc yc+ =半径()()22 11503rxycc=-+-=设直线 的斜率为，依题意，直线 的方程为lklykx=由 与圆相切，可得，即，l1121kxyr k-= +222()533 31cck c k- = +整理得，解得2810kk-+=415k =±所以，直线 的斜率为或l415+415-【规律总结】在解析几何中，把直线与圆锥曲线的相交弦问题利用根与系数的关系和函数思想进行整体处理，可简化解题的运算量，对于曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量之间构成函数与方程关系，此时，用函数与方程思想方法处理起来十分方便【数形结合思想数形结合思想】沟通数与形的关系名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 9 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk数形结合思想通过“以形助数，以数辅形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维其应用大致分两种情形：(1)借助“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的联系，即以“形”为手段， “数”是目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质(2)借助“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”为手段，“形”是目的，比如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质遵循的三个原则遵循的三个原则(1)等价性原则代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会出现漏洞(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参，建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线高考中考查数形结合思想的题目常有如下类型高考中考查数形结合思想的题目常有如下类型(1)利用图形求值(2)利用图形求交点个数问题或函数的最值(3)利用曲线与方程的对应关系求轨迹方程(4)利用图形求参数的范围(5)利用图形解决所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义的问题(6)利用图形解不等式具体操作时，应注意以下几点：具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数的图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是：首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先做适当调整，以便于作图） ，然后作出两个函数的图象，由图求解类型一类型一 利用数形结合解决方程的根、函数的零点问题利用数形结合解决方程的根、函数的零点问题【典例 1】(2016 山东)已知函数2|,( )24 ,xxmf xxmxm xm，其中若存在实数0m b，使得关于 x 的方程有三个不同的根，则的取值范围是_( )f xbm名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 10 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk【解析】由题意，当时，其顶点为xm222( )24()4f xxmxmxmmm；当时，函数的图象与直线的交点为2( ,4)mmmxm( )f xxm( ,)Q m m当，即时，函数的图象如图 1 所示，此时直线20 4m mmm 03m( )f x与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；yb( )f x当，即时，函数的图象如图 2 所示，则存在实数满24 0mmm m3m ( )f xb足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合24mmbmyb( )f x题意综上，的取值范围为m(3,)xyx=my=bOxyx=my=bO图 1 图 2【方法探究】此类问题解决要注意：一是准确作出函数的图象；二是根据直线与函数的图象有三个不同交点确定参数所满足的条件yb( )f xm【典例 2】已知函数，若方程有两个不相等的( )21f xx( )g xkx( )( )f xg x实根，则实数的取值范围是kABCD），（210），（121），（ 21），（2【思路点拨】同时作出两函数的图象，观察图象即可解决【解析】在同一坐标系中分别画出函数，的图象如图所示，( )f x( )g x名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 11 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结( )( )f xg x合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线ykx的斜率时符合题意，故选 B1yx112k【规律总结】研究方程的根的相关问题时，经常采用数形结合的方法，一般地，方程的根就是函数的零点，方程的根，就是函数和的( )0f x ( )f x( )( )f xg x( )f x( )g x图象的交点的横坐标类型二类型二 利用数形结合解不等式或求参数范围问题利用数形结合解不等式或求参数范围问题【典例 1】(2017 天津)已知函数设，若关于的不等式| 2,1, ( )2,1.xx f xxxxaRx在上恒成立，则的取值范围是( )|2xf xaRaA B C D 2,2 2 3,2 2,2 3 2 3,2 3【解析】 函数的图象如图所示，当的图象经过点时，可( )f x|2xya(0,2)知2a 当的图象与的图象相切时，由，2xya2yxx2 2xaxx得，由，并结合图象可得，2240xax0 2a 要使恒成立，当时，需满足，即，( )|2xf xa0a2a 20a 当时，需满足，所以0a 2a22a 名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 12 页共 22 页 微信公众号：sxgkzkxy12341234 1123456O【典例 2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，( )f xR0x21( )(|)2f xxa若，则实数的取值范围为22|2| 3)xaaxR (1)( )f xf xaA B C D 1 1, 6 666,661 1, 3 333,33【思路点拨】在已知条件下，将函数表示成分段函数的形式，作出函数的x( )f x图象，结合图象，问题即可解决【解析】当时，又为奇函数，可得的图0x222222,0( ),23,2xxaf xaaxaxaxa ( )f x( )f x象如图所示，由图象可得，当时，当时，令22xa2 max( )f xa22xa，得，又，可知223xaa24xa,(1)( )xf xf x R，选 B22664( 2)1,66aaa 【规律总结】解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围类型三类型三 利用数形结合解决解析几何问题利用数形结合解决解析几何问题【典例】已知椭圆 C：，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称22 194xy点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |ANBN名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 13 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk【思路点拨】画出图形，由三角形中位线定理，可知，11|2GFAN，则问题可求解21|2GFBN【解析】由题意画出图形如图所示，取的中点，在椭圆上，因为点关于MNGGCM的焦点，的对称点分别为，故有，C1F2FAB11|2GFAN21|2GFBN所以12| 2(|)412ANBNGFGFa【方法技巧】在圆锥曲线的相关试题中经常用其定义来解题，如本题就是将所求转化为椭圆上的点到其两个焦点的距离之和解决的【规律总结】在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的，注意：利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确作图【分类与整合思想分类与整合思想】化整体为局部分类与整合思想就是在研究问题时，若不能用同一种方法去处理，就往往将这个问题恰当地划分成若干个小问题，在解决了这些若干个小问题后，整个问题就得到了解决 本质：本质：“化整为零，积零为整化整为零，积零为整” 分类的原则分类的原则(1)标准要统一，层次要分明(2)不重复，不遗漏(3)分层次，不越级讨论 操作过程操作过程明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集） 名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 14 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk 常见的分类讨论问题常见的分类讨论问题(1)集合：注意集合中空集的讨论(2)函数：对数或指数函数中的底数，一般应分和两种情况进行讨论；a1a 01a函数应分和两种情况进行讨论；对称轴位置的讨论；判别式2yaxbxc0a 0a 的讨论(3)数列：由求分和两种情况进行讨论；等比数列中分公比和nSna1n 1n 1q 两种情况进行讨论1q (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解含参不等式时对参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论(7)平面解析几何：直线点斜式中分存在和不存在的讨论，直线截距式中分和k0b 的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论0b (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 引起分类的原因引起分类的原因(1)某些概念、定理、性质、法则、公式分类定义或分类给出(2)在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定） ，引起问题结果有多种可能(3)含参数的函数、方程、不等式等问题中，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变” 类型一类型一 由数学概念、运算引起的分类讨论由数学概念、运算引起的分类讨论【典例 1】若且，则函数的值域为0x 1x lglog 10xyxAR B2，+) C （，2 D （，22，+）【解析】当时，=（当且仅当1x lglog 10xyx11lg2 lg2lglgxxxx时等号成立） ；10x 当时，=01xlglog 10xyx11( lg )()2 ( lg ) ()2lglgxxxx 名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 15 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk(当且仅当时等号成立)1 10x 所以函数的值域为选 D(, 22,) 【典例 2】已知数列的前项和（是常数） ，则数列是nan1n nSppnaA等差数列 B等比数列 C等差数列或等比数列 D以上都不对【解析】，1n nSp，()，11ap1nnnaSS1(1)npp2n当且时，是等比数列；1p 0p na当时，是等差数列；1p na当时，()，此时既不是等差数列也不是等比数列，0p 11a 0na 2nna选 D【规律总结】由数学定义引发的分类讨论一般由概念的内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解一元二次不等式涉及两根的大小等类型二类型二 由图形或图象引起的分类讨论由图形或图象引起的分类讨论【典例 1】(2017 浙江)若函数在区间0，1上的最大值是，最小值是2( )f xxaxbM，则mMmA 与有关，且与有关 B 与有关，但与无关ababC 与无关，且与无关 D 与无关，但与有关abab【解析】函数的对称轴为，( )f x2ax 当，此时，；02a(1)1Mfab (0)mfb1Mma 当，此时，；12a(0)Mfb(1)1mfab 1Mma 当，此时，或，012a 2 ()24aamfb(0)Mfb(1)1Mfab 或综上，的值与有关，与无关选24aMm2 14aMma MmabB名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 16 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk【方法探究】求解二次函数在闭区间上的最值，主要看三个点：顶点与两个端点，如果二次函数的对称轴位置不确定，在求解过程中，要对二次函数的图象的对称轴进行分类讨论【典例】若满足且的最小值为4，则的值为, x y20 20 0xy kxy y zyxkA2 B2 C D1 21 2【思路点拨】作出所给约束条件的可行域，由于为参数，结合图形可知，需对k，四种情形进行分析，从图中找出取得最小0k 10k 1k 1k zyx值时经过可行域中的点，则的值即可求解k【解析】作出线性约束条件，的可行域当时，如图(1)所示，此时20 20 0xy kxy y 0k可行域为轴上方、直线的右上方、直线的右下方的区域，x20xy20kxy显然此时无最小值当时取得最小值 2；当时，zyx1k zyx1k 取得最小值2，均不符合题意，当时，如图(2)所示，此时可行域zyx10k 为点 A(2，0)，B(，0)，C(0，2)所围成的三角形区域，当直线经过2 kzyx点 B(，0)时，有最小值，即，所以得故选 D2 k2()4k 1 2k 图(1) 图(2)【规律总结】求解有关几何问题时，由于图形的不确定(位置不确定、形状不确定)，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数图象对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 17 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk类型三类型三 由参数引起的分类讨论由参数引起的分类讨论【典例 1】(2017 浙江)已知，函数在区间1，4上的最大值是aR4( ) |f xxaax5，则的取值范围是 a【解析】，1,4x44,5xx当时，5a444( )22224f xaxaaxaxaxxx所以的最大值，即（舍去）( )f x245a9 2a 当时，此时命题成立4a44( )5f xxaaxxx当时，则45amax( )max|4|,|5|f xaaaa或，|4|5|4|5aaaaaa |4|5|5|5aaaaaa 解得或，9 2a 9 2a 综上可得，实数的取值范围是a9(, 2【典例 2】设函数 ，曲线在点处的21( )ln2af xaxxbx(1)a ( )yf x(1,(1)f切线斜率为 0(1)求；b(2)若存在，使得，求的取值范围01x 0()1af xaa【解析】(1)，由题设知，解得( )(1)afxa xbx(1)0f 1b (2)的定义域为，由(1)知，( )f x(0,)21( )ln2af xaxxx1( )(1)1()(1)1aaafxa xxxxxa （）若，则，1 2a11a a故当时，在单调递增，(1,)x( )0fx( )f x(1,)所以存在，使得的充要条件为，01x 0()1af xa(1)1afa即，解得1121aa a 2121a 名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十五讲 第 18 页共 22 页 微信公众号：sxgkzk（ii）若，则，故当时，；112a11a a(1,)1axa( )0fx当时，在单调递减，在单调递(,)1axa( )0fx( )f x(1,)1a a(,)1a a增所以，存在，使得的充要条件为，01x 0()1af xa()11aafaa而，所以不合题意2 ()ln112(1)11aaaaafaaaaaa（iii）若，则1a 11(1)1221aaafa 综上，的取值范围是a(21,21)(1,)【思路点拨】(1)对函数求导，令其在处的导数值为 0 进行求解；(2)对进行分1x a类讨论，只需使在上的最小值小于即可( )f x(1,)1a a【规律总结】函数与导数解答题中始终贯穿数学思想方法的考查，在解含有参数的试题时分类与整合思想是常用的数学思想方法，另外，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根的问题转化为函数的零点问题等也是解决函数与导数试题常用的方法【转化与化归思想转化与化归思想】变未知为已知转化与化归思想就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题，把变化的问题用函数的观点去研究，把数量关系用方程去刻画，把题设文字条件图形化，把几何问题代数化，这些都是转化，因此数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，上述三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现 应遵循的原则应遵循的原则(1)熟悉化原则陌生的问题已知的问题(2)简单化原则复杂的问题简单的问题，如三维空间问题二维空间问题(3)直观化原则抽象的问题直观化(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题， 常见的转化与化归的方法常见的转化与化归的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读