AI第九讲 导数的概念及其运算.doc

高考数学一轮第九讲 第 1 页共 7 页 第九讲 导数的概念及其运算考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、导数的概念1曲线的切线设函数的图象 C 上一点及邻近一点，过( )yf x00(,)P xy00(,)Q xx yyP、Q 作 C 的割线 PQ，那么割线 PQ 的斜率为，当点沿着曲线逐y x 00(,)Q xx yy渐向接近时，割线 PQ 将绕着点 P 逐渐转动，当 Q 沿曲线无限地接近于点，00(,)P xyP即时，如果割线有一个极限位置 PT，那么直线 PT 称为曲线在 P 点的切线，割线0x PQ 的斜率的极限就是曲线在点 P 处的切线的斜率：即切线斜率，切线方程为0000()()limlim xxf xxf xykxx 00()yyk xx2瞬时速度物体做直线运动时，设物体的运动方程（位移公式）为：如物体在时刻( )ss t时位于，在时刻时位于，相应地，从到这段时间内，物0t0( )s t0tt0()s tt0t0tt体的位移是：，那么，位移增量与时间增量的比，就是这段00()( )ss tts t st时间内物体的平均速度，即当时，的极限就是物体在时刻的瞬时vsvt0t v0t速度，即00000()( )limlimlim ttts tts tsvvtt 3导数的概念一般她，函数在处的瞬时变化率是，( )yf x0xx0000()()limlim xxf xxf xy xx 我们称它为函数在处的导数，记作或，即( )yf x0xx0()fx 0|x xy00 00()()()lim xf xxf xfxx 如果函数在开区间内的每一点处都有导数，此时对于每一个，( )yf x( , )a b( , )xa b都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函( )fx( )fx( )fx数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即( )yf xy高考数学一轮第九讲 第 2 页共 7 页 00 000()()()limlim xxf xxf xyfxyxx 4导数的几何意义函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处( )yf x0xx( )yf x00(,()P xf x的切线的斜率，即相应地，切线方程为.0()kfx000()()()yf xfxxx二、导数公式常用函数的导数公式：（为常数） ；()；0c c1()mmxmx m*Q(sin )cosxx (cos )sinxx ；()xxee ()lnxxaaa 1(ln )xx 1(log)logaaxex 三、和、差、积、商的导数导数的运算法则：1； ( )( )( )( )f xg xfxg x2； ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x32( )( ) ( )( )( )( )( )f xfx g xf x g x g xgx ( )0g x 由积的导数公式可得（为常数） ，因此对函数进行求导时，可把函数()cc c的常数因子提到导数运算外来，四、复合函数的导数1求复合函数的导数法则复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即：设，则( )yf u( )ug x( )( )yf ug x2掌握复合函数的求导方法，关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】1若函数在处可导，则图象在处一定有切线，但若函数在处0xx00(,()xf x0xx不可导，则图象在处也可能有切线如函数在处不可导，但其函00(,()xf x3yx0x 数图象在处的切线是轴0x y高考数学一轮第九讲 第 3 页共 7 页 2注意区分曲线在点处的切线和曲线过点的切线，前者点为切点；后者点PPPP不一定为切点一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点3用导数定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁，利用常用函数的导数公式以及导数运算法则，可以大大简化求导过程，降低运算难度4函数具有特殊的性质：xe( )( )fxf x5准确记忆常用函数的导数公式，防止出现记忆不准，导致运算失误6在复合函数求导问题中，要注意区分与的不同含义，前面是先( ( )f u x ( ( )f u x对求导，再在导函数中用代替，后者是先在中用代，再对求( )f x( )u xx( )f x( )u xxx导，一般情况下，两者不相等考点分类精讲考点考点 1 导数的概念导数的概念1利用导数求有关变化率2利用导数的概念，解决有关实际问题【例 1】某日中午 12 时整，甲船自处以 16 km/h 的速度向正东行驶，乙船自的正北AA18 km 处以 24 km/h 的速度向正南行驶，则当 12 时 30 分时两船之间距离对时间的变化率是_ km/h【解析】由题意易知，设时刻 时，甲到 C 处，乙到 D 处，此时两船的距离为，ty则，22224(12) 1816(12)ytt两边同时求导可得：2224(12) 18 242 16(12) 16y ytt 即，24(12) 18 24 16(12) 16ttyy 即故填1.612.5|1.6ty 点拨：导数的实际意义有：路程关于时间的函数的导数就是瞬时速度，而速度关于时间的函数的导数就是瞬时加速度，即有关变化率的问题考点考点 2 导数的计算导数的计算1利用导数公式及导数运算法则求导数2求复合函数的导数高考数学一轮第九讲 第 4 页共 7 页 【例 2】(1)，若，则的值为( )32( )32f xaxx( 1)4f aA B C D10 313 316 319 3(2)设函数若是奇函数，则( )cos( 3)f xx(0)( )( )f xfx=_【解析】(1)，2( )36fxaxx，故选 A( 1)364fa 10 3a (2)由于，( )3sin( 3)fxx =，( )( )f xfx5cos( 3)3sin( 3)2sin( 3)6xxx若是奇函数，则，( )( )f xfx(0)(0)0ff 即，所以52sin()065 6k()kZ又因为，所以06点拨：求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数法则以及复合函数的导数法则，转化为常见函数的导数问题，再利用导数公式来求解即可考点考点 3 导数的几何意义导数的几何意义1求曲线的切线方程2求曲线的切线倾斜角的取值范围3与曲线的切线有关的综合问题【例 3】(1)已知直线与曲线相切，则的值为( )1yxln()yxaaA1 B2 C1 D2(2)设曲线()在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令1nyx*nN(1,1)xnx，则的值为_lgnnax1299aaa【解析】(1)设切点坐标是，依题意有，00(,1)x x 000111ln()xaxxa 由此得，故选 B010x 01x 2a 高考数学一轮第九讲 第 5 页共 7 页 (2)由题意可得，则所求切线为：1|1xyn(1)nynxn令，得，由对数运算法则可知0y 1nnxn=.1299aaa123991lg()lg2100xxxx 【例 4】已知函数，(0)若曲线与曲线2( )f xxx( )(2ln )g xaxa( )yf x在处的切线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一条直( )yg x1x a线【解析】根据题意有，22( )1fxx ( )ag xx 曲线在处的切线斜率为，( )yf x1x (1)3f 曲线在处的切线斜率为，所以，即.( )yg x1x (1)ga (1)(1)fg3a 曲线在处的切线方程为，( )yf x1x (1)3(1)yfx所以，即切线方程为13(1)yx 340xy曲线在处的切线方程为，( )yg x1x (1)3(1)ygx所以，即切线方程为，63(1)yx390xy所以，两条切线不是同一条直线点拨：导数的几何意义就是函数图象在某点处切线的斜率，它是导数与解析几何的一个交汇处，因而是高考命题的热点考点考点 4 导数的综合问题导数的综合问题1以导数作为条件背景的综合问题，2以导数几何意义作为条件背景的综合问题【例 5】已知函数，将满足的所有正数从小到大排成( )(cossin )xf xexx( )0fxx数列证明：数列为等比数列；nx ()nf x【解析】解答本题的思路是求出的解，进而求出数列的通项公式，其中( )0fx ()nf x突破口在于找出数列的通项公式nx( )(cossin )( sincos )2sinxxxfxexxexxex 高考数学一轮第九讲 第 6 页共 7 页 由，得解出，为正整数( )0fx2sin0xexxnn从而，=l，2，3，nxnn，即()( 1)nn nf xe 1() ()nnf xef x 数列是公比的等比数列，且首项 ()nf xqe 1()f xq【例 6】设函数，曲线在点处的切线方程为( )bf xaxx( )yf x(2,(2)f74120xy(1)求的解析式；( )f x(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形( )yf x0x yx面积为定值，并求此定值【解析】(1)方程可化为当时，74120xy734yx2x 1 2y 又，于是解得，故2( )bfxax1222 7 44baba ，13.ab ，3( )f xxx(2)设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程00()P xy，231yx 00()P xy，为，即002 031()yyxxx002 00331()yxxxxx令得，从而得切线与直线的交点坐标为0x 06yx 0x 060x，令得，从而得切线与直线的交点坐标为yx02yxxyx00(22)xx，所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为00()P xy，0x yx016262xx故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定( )yf x0x yx值，此定值为6高考数学一轮第九讲 第 7 页共 7 页 点拨：解决与导数有关的综合问题，其关键在于灵活的运用导数知识（求导方法以及导数的几何意义）以及函数、数列、不等式、解析几何的有关知识分析解决问题本专题试题训练详见试题精练