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第十八讲 数列的概念与简单表示法真题精练答案部分1 【解析】当n=1 时，1a=1S=121 33a ，解得1a=1，当n2 时，na=1nnSS=21 33na (121 33na)=122 33nnaa，即na=12na，na是首项为 1，公比为2 的等比数列，na=1( 2)n.23018【解析】因为的周期为 4；由cos2ncos12nnannN， 12346aaaa56786aaaa2012503 63018S3 【解析】由于，解得，由，112112214 21aa aa 11a 1121nnnnaSSS所以，所以是以为首项，3 为公比的等比数列，1113()22nnSS12nS 3 2所以，所以113322n nS5121S 4【解析】当时，所以，因为，1 n-1n =111Sa=-111S=-111nnnnnaSSS S+=-=所以，即，所以是以为首项，为公差的等差1111nnSS+-=1111nnSS+-=-1nS1-1-数列，所以，所以1( 1)(1)( 1)nnnS= -+-=-1nSn=-5(1)5030；(2)【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,的一个通项公式551 2kk 为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其(1) 2nn na中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,110,故.142539410514615,ba ba ba bababa从而由上述规律可猜想：（为正整数） ，255 (51) 2kkkkbak，2151(51)(51 1)5 (51) 22kkkkkkba 故,即是数列中的第 5030 项.20122 10065 10065030baaa2012bna6(1)，(2)【解析】(1)1 1610011(1)3 21( 1)2n nnnSa 时， 3n 12331 8aaaa 时，4n 123441 16aaaaa1231 16aaa 由知31 16a (2)时，1n 11 111( 1)( )2nn nnSa 11( 1)( 1)( )2nnn nnnaaa 当为奇数时，；n1 111( )22n nnaa 当为偶数时，n11( )2n na 故，11( ),2 1( ) ,2nn nn a n 为奇数为偶数11,2 0,n nnS n 为奇数为偶数121002461001111()2222SSS 10010010011(1)111142(1)(1)1323 214 7【解析】(1)依题意,12122133Sa ,又111Sa,所以24a ；(2)当2n 时,32 112233nnSnannn,32 1122111133nnSnannn两式相减得2 112213312133nnnananannn整理得111nnnanan n,即111nnaa nn,又21121aa故数列na n是首项为111a,公差为1的等差数列,所以111nannn ,所以2 nan.(3)当1n 时,11714a ；当2n 时,12111571444aa ；当3n 时,211111 11nannnnn,此时222 123111111111434naaaan 11111111()()()423341nn 11171714244nn 综上,对一切正整数n,有121117 4naaa.8 【解析】(1)由，得12a 12nnaa2nna 当时，故1n 121,bb22b 当时，整理得所以n211,nnnbbbn11,nnbn bnnbn(2)由(1)知，2nnna bn故，2322 23 22nnTn ，2341222 22 21 22nn nTnn 所以11 22n nTn9 【解析】(1)由条件，对任意*nN，有，2133nnnaSS*()nN因而对任意*,2nNn，有，1133nnnaSS*()nN两式相减，得2113nnnnaaaa，即23,(2)nnaan，又121,2aa，所以3121121333()33aSSaaaa，故对一切*nN，23nnaa(2)由(1)知，0na ，所以23nna a，于是数列21na是首项11a ，公比为 3 的等比数列，数列2na是首项12a ，公比为 3 的等比数列，所以11 2123,2 3nn nnaa ，于是21221321242()()nnnnSaaaaaaaaa 1113(31)(1 33)2(1 33)3(1 33)2n nnn 从而12 21223(31)32 3(5 31)22n nn nnnSSa ，综上所述，2 *2*23(5 31),(21,)2 3(31),(2 ,)2nnnnkkN Snk kN 10 【解析】(1)由已知，有12nnSaa=(n2)，即(n2)，1nnnaSS122nnaa12nnaa从而，212aa32124aaa又因为，+1，成等差数列，即2(1)，1a2a3a1a3a2a所以42(21)，解得21a1a1a1a所以，数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 na2nna (2)由(1)得，11 2nna所以nT2111 ( ) 111122.11222212nnn