BO第三十九讲 数系的扩充与复数的引入.doc

高考数学一轮第三十九讲 第 1 页共 5 页 第三十九讲 数系的扩充与复数的引入考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】1复数的有关概念(1)复数的概念：形如(，R)的数叫复数，其中，分别是它的实部和虚iababab部若，则为实数，若，则为虚数，若且，则0b iab0b iab0a 0b 为纯虚数iab (2)复数相等：，(，R)iabicdacbdabcd(3)共轭复数：与共轭，(，R)iabicdacbd abcd(4)复数的模：向量的模叫做复数的模，即|.OZ rziabziab22ab(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面(6)实轴、虚轴：在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；xy除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设，R.1ziab2zicdabcd±()±()1z2ziabicd()()iacbd·()()1z2ziabicd()()iacbdbcad()1 2222 2iiizabacbdbcad zcdcdcd0cdi(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图所示给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即12OZ ZZ，OZ 12OZOZ 1221Z ZOZOZ 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】高考数学一轮第三十九讲 第 2 页共 5 页 一、复数的基本概念1共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称特别地，实数的共轭复数仍是它本身a2虚数单位 具有幂的周期性i,().4i1n41iin42i1n 43iin 123iiii0nnnnnZ3复数是实数的充要条件(l)；izab( ,)a bR0b (2)；zRzz(3).zR20z 4复数是纯虚数的充要条件是纯虚数且izab( ,)a bR0a 0b 0zz20z 【提示】(1)注意复数的代数形式中这一条件，否则，就不一定是复数的izab, a bRab实部与虚部(2)复数是实数的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分(3)数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等(4)是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看做整体22|z zzz进行运算的主要依据，在解题中要注意加以运用并逐渐体会(5)注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系实数集与虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集二、复数的代数形式运算1复数的加法、乘法满足交换律、结合律以及乘法对加、减法的分配律；实数的正整数指数幂运算也能推广到复数中，即,mnm nzzz,(,).()mnmnzz1212()nnnzzzzmn*N高考数学一轮第三十九讲 第 3 页共 5 页 2复数模的运算性质设，则且有izab( ,)a bR22| zab(1)；121212| | |zzzzzz(2)；2| zz z(3)；| 1z 1z z(4)2222| |zzzzz z【提示】(1)在进行复数计算时，要灵活利用 、（）的性质，适当变形，创i13i22 造条件，从而转化为关于 、的计算问题，并注意对以下结论的灵活应用：i；2(1 i)2i ,；1 ii1 i1 ii1 i ,()；4i1n41iin42i1n 43iin nZ；，2131i22 31210(2)在进行复数运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当时不总是成立的：Cz（，为分数） ；()mnmnzzmn()；mnzzmn1z ；22 120zz120zz22| zz考点分类精讲考点考点 1 复数的概念复数的概念1与复数概念有关的命题的真假判定2复数的几何意义高考数学一轮第三十九讲 第 4 页共 5 页 【例 1】(1)设，其中是实数，则i =xy(1 i)1ixy , x yA1 B C3D22(2)已知（ 为虚数单位） ，则复数=21 i1 iz izA B C D1 i1 i1 i 1 i (3)已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则,ia bRia2i b2iab（）A B C D54i54i34i34i(4)若复数满足，则的虚部为z(34i)|43i|zzA4 B C4 D4 54 5(5)复数（ 为虚数单位）的实部等于_23i ii【解析】(1)因为,所以,选(1 i)i1ixxxy 1xy22|i| |1 i|122xy B(2)由题意得，iii iiz112 1)1 (2 ，故选 D(3)由已知得， 2,1ab22i(2i)34iab（）(4)由题知z=|43 | 34i i =2243 (34 ) (34 )(34 )i ii =34 55i，故 z 的虚部为4 5，故选 D(5)=实部为23i i3i 3考点考点 2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算1复数代数形式的四则运算2利用性质简化复数的运算3复数运算的综合问题【例 2】(1) 为虚数单位，i3571111 iiiiA0 B2 C D4i2ii(2)若复数( 为虚数单位) 是 z 的共轭复数 ， 则的虚部为1 iz iz22zz高考数学一轮第三十九讲 第 5 页共 5 页 A0 B1 C1 D2 (3)设 是虚数单位，z表示复数z的共轭复数若，则i1 iz iizz A B C D22i22i(4)已知 i 是虚数单位，_.81 i()1 i 20182()1 i【解析】(1)，2i1 3571111 iiii11110iiii (2)因为，=01 iz 1 iz 22zz(3)1 iii (1 i)(i 1)(i1)2iizz (4)原式11 81 i()1 i 2 10092() 1 i810092i()2i81009ii4 252 1ii本专题试题训练详见试题精练