BB第二十七讲 空间几何体 表面积 体积.doc

高考数学一轮第二十七讲 第 1 页共 18 页 第二十七讲 空间几何体、表面积、体积考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、空间几何体的结构特征一、空间几何体的结构特征1多面体的图形与结构特征名称棱柱棱锥棱台图形A'B'C'D'E'EDCBASABCDED' E' A'B'C'DABCE结构特征(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形(2)每相邻两个四边形的公共边都相互平行有一个面（即底面）是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2旋转体的图形与结构特征名称图形母线轴截面侧面展开图圆柱O'O 平行、相等且垂直于底面全等的矩形矩形圆锥OS相交于一点全等的等腰三角形扇形高考数学一轮第二十七讲 第 2 页共 18 页 圆台OO'延长线交于一点全等的等腰三角形扇环球大圆二、三视图与直观图二、三视图与直观图1三视图与直观图(1)三视图三视图就是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体，描绘出的平面图形，分别称为正（主）视图、侧（左）视图、俯视图画三视图的规则：长对正，高平齐，宽相等，即正视图与俯视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线（看不见的线）要画成虚线三视图的排列顺序：先画正（主）视图，俯视图放在正（主）视图的下方，侧（左）视图放在正（主）视图的右方2掌握常见几何体的三视图掌握正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等常见几何体的三视图，3斜二测画法在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，再作轴，使OxOyOz，且90xOz90yOz画直观图时，把、画成对应的轴、，使OxOyOz O x O y O z（或） ，且所确定的平面表示45 x O y13590 x O z90 y O z x O y水平平面在已知图形中，平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、xyzx轴或轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴yz的位置关系相同高考数学一轮第二十七讲 第 3 页共 18 页 已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线xzy段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图【提示】斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”：坐标轴的夹角改变，与轴平行的线段的长度变为原来的半，图形改y变“三不变”：平行性不改变，与，轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改xz变直观图与原图形面积的关系：（或） 2 4SS直观图原图形2 2SS原图形直观图三、空间几何体的侧面积和表面积几何体侧面积表面积圆柱2Srl侧2()Sr rl表圆锥Srl侧()Sr rl表圆台()Srr l侧22()Srrrlr l表直棱柱SCh侧正棱锥SCh侧正棱台1()2SCC h侧SSSS表侧上底下底球24SR表四、几何体的体积几何体体积圆柱2VShr h圆锥2222111 333VShr hrlr圆台22 121 211()()33VSSSShrrrr h下下上上直棱柱VSh高考数学一轮第二十七讲 第 4 页共 18 页 正棱锥1 3VSh正棱台1()3VSSSSh下下上上球34 3VR【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、简单几何体的结构特征1棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形(2)特殊的四棱柱：与 与 与 与 与与 与 与 与与 与 与与 与 与 与 与 与与 与 与与 与与 与 与 与与 与 与与 与 与 与与 与 与与 与 与 与 与 与与 与 与 与 与与 与 与 与 与 与 与 与与 与 与上述四棱柱有以下关系：正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱(3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，则这个棱锥叫做正棱锥(4)正棱锥的性质：各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高都相等，这些高叫做正棱锥的斜高；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形，【提示】(1)棱柱有两个面互相平行（这两个面可以是三角形或其他多边形） ，其余各面都是平行四边形但要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱(2)在正四棱台中，要注意对角面和侧面这两个等腰梯形中关于上底、下底以及梯形的高的计算，有关问题往往要先转化到这两个等腰梯形中然后再进行求解此外还要注意将正四棱台、正三棱台的高、斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来(3)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策高考数学一轮第二十七讲 第 5 页共 18 页 略2圆柱、圆锥、圆台一般地，由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，由封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体，圆柱、圆锥、圆台、球都属于旋转体(1)圆柱的底面是两个平行且全等的圆面，圆锥的底面是一个圆面，圆台的底面是两个平行且相似的圆面(2)圆柱的所有母线平行、相等且垂直于底面，圆锥的母线相交于一点，圆台的母线延长后相交于一点(3)圆柱的轴截面是全等的矩形，圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，圆台的轴截面是全等的等腰梯形(4)圆柱的平行于底面的截面是与底面全等的圆面，圆锥和圆台的平行于底面的截面是写底面相似的圆面(5)圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是扇环3球(1)球的截面的性质：球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：dRr22rRd(2)球的任何截面都是圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆，小圆的半径小于球的半径(3)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离，【提示】(1)球面与球是两个不同的概念，球面只是球的表面，可视为是“空心的” ，而球则是几何体，是“实心的” (2)球面距离实质上是弧长，所以要求两点的球面距离，应找到过这两点的大圆，确定劣弧所对的圆心角，再运用弧长公式即可求得lR(3)在解决球的问题时，常常选取球的一个大圆，化“球”为“圆” ，应用平面几何的知识进行解决二、平行投影与中心投影1平行投影与中心投影高考数学一轮第二十七讲 第 6 页共 18 页 (1)在立体几何中，投影是光线（投射线）通过物体向选定的面（投射面）投射，并在该面上得到图形的一种方法(2)中心投影：投射线交于一点的投影叫做中心投影(3)平行投影：投射线互相平行的投影叫做平行投影2平行投影的性质(l)直线或线段的平行投影仍是直线或线段或一个点(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线或是两个点(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等【提示】(1)平行投影与中心投影的区别在于：平行投影的投射线互相平行，而中心投影的投射线交于一点(2)中心投影主要用于绘图，而平行投影主要用于工程制图，且在做平行投影时，必须给出投射线的方向三、三视图1画几何体的三视图时，可以把垂直投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线（包括被遮挡住，但可以经过想象透视到的光线）的投影就是要画出的视图，可见的轮廓线要画成实线，不可见的轮廓线要画成虚线2对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体是由哪些几何体组成，弄清楚它们的生成方式，另外应特别注意它们的交线的位置四、直观图1斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成或，长度画成原长度45135的一半（仍表示原长度） 2要根据图形的特点选取适当的坐标系，这样可以简化作图步骤3对于图形中与轴、轴、轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，xyz即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置五、表面积高考数学一轮第二十七讲 第 7 页共 18 页 1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积3如果直棱柱的底面周长是，高是，那么它的侧面积是.ch直棱柱侧Sch4圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两条边分别等于圆柱的母线长和圆柱的底面圆的周长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于底面圆的周长；圆台的侧面展开图是扇环5球的表面积等于其大圆面积的 4 倍【提示】(1)应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的等腰三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用(2)如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它们的侧面展开图的面积，因此应熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长度与原几何体中线段长度的关系，这是掌握侧面积公式以及进行计算求解的关键(4)在解决台体的有关计算问题时，注意运用“还台为锥”的处理策略六、体积计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题，【提示】(1)计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些求点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题，考点分类精讲高考数学一轮第二十七讲 第 8 页共 18 页 考点考点 1 几何体的结构特征几何体的结构特征1判定某一几何体是否为棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，以及某一特殊的几何体2判定某一几何体是否具有某些特殊性质3计算某一几何体的特征量【例 1】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解析】如图所示，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线上可以找到一个点，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即OD 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补（若为正四棱锥则成立） 故仅命题 B 为假命题选 BDCBAOP点拨：解决这类问题需准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合考查线面位置关系，需要有较强的空间想象能力，当需要否定一个命题时，举一个反例即可作为选择题，利用四选一的特点，排除三个，可确定第四个为答案【例 2】(1)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为A B C D3 169 163 89 32(2)已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于高考数学一轮第二十七讲 第 9 页共 18 页 A1 B C D223【解析】(1)如图所示，设球的半径为，RR2RO则所得球的截面圆的半径，球的截面圆的面积223()22RrRR2Sr ，因为球的表面积，于是有，选 A2 233()24RR24SR3 16S S(2)设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，其中点为，则1O2OOABE为矩形，于是对角线，而21EOOOOEOO21，3122222AEOAOE321OOEBAO2OO1点拨：球的截面问题是高考的一个热点内容，解决球的截面问题，关键就是从球的截面的性质出发，充分利用其中的垂直关系，在直角三角形中运用勾股定理进行求解一般地，若球的半径为截面圆的半径为，球心到截面圆的距离为，则有.Rrd222Rrd类似地，在有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题中，应注意画好轴截面，借助轴截面及其性质，寻求各个量之间的关系，进行计算，特别要注意将上、下底面中心的连线进行平移，构造出相关的直角三角形，利用三角形中的边角关系进行计算求解【例 3】已知点、在同一个球面上，平面，若ABCDABBCDBCCD，则、两点间的球面距离是_6AB2 13AC8ADBC【解析】依题意可将、四点视为某一长方体的四个顶点，它们同在该长方ABCD高考数学一轮第二十七讲 第 10 页共 18 页 体的外按球的表面上，如图所示，OABCD则，球的半径，则所对应的球心角为，所以224BCACABO4RBC60、两点间的球面距离为或为BC601422436063 R4 33R点拨：球面距离是指在球面上，经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，不能在过两点的小圆中求计算球面距离的实质是求一段弧的长度，而要求孤的长度，关键是求出弧所对的圆心角的弧度数，然后再借助弧度制扇形的弧长公式计算进一步地，要求弧所对的圆心角，经常要先求出该弧所对的弦的长度，再求圆心角的大小考点考点 2 直观图与三视图直观图与三视图1直观图的画法2三视图的画法与识图3与直观图、三视图有关的计算4以三视图为载体的综合问题【例 4】已知正三角形的边长为，那么的平面直观图的面积为ABCaABC A B CA B C D23 4a23 8a26 8a26 16a【解析】如图(1)(2)所示的实际图和直观图yx(1)COBAx'y'(2)O'A'B'C'D'由斜二测画法可知， A BABa13 24 O COCa高考数学一轮第二十七讲 第 11 页共 18 页 在图（2）中作于，则 C DA BD26 28 C DO Ca，故选 D21166 22816 A B CSA B C Daaa点拨：求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成角且长度为原来的一半的45线段，以此为依据来求出相应的高线即可将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于轴的线段的长度不变，而平行于轴的线段长度变为原来的 2 倍xy【例 5】一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积（单位：）为2cmA B C D48 12 24824 236 12 23624 2【解析】由三视图可知：底面为等腰直角三角形，腰长为 6，面积为 18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为；16 2412 22其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为16 5152 所以全面积为答案为 A48 12 2点拨：高考对三视图的要求是会画简单组合体的三视图，能根据三视图想象简单几何体，其中由三视图想象几何体是近几年新课标地区高考的热点问题解决这类问题，只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等” ，同时应熟悉一些常见几何体的三视图高考数学一轮第二十七讲 第 12 页共 18 页 【例 6】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为A B C D【解析】被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项 D 符合故选 D点拨：在画由基本几何体拼接而成的组合体的三视图时，除了要注意三视图的排列规则和特点外，最重要的是看清该组合体由哪几个基本几何体拼接而成，并找准其表面的交线，即分界线考点考点 3 表面积表面积1求几何体的表面积2几何体表面积展开图的有关问题【例 7】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm，母线长最短 50 cm、最长 80 cm，则斜截圆柱侧面面积= S2cm【解析】假设还有一个同样的斜截圆柱，拼在其上面，则构成了一个圆柱，于是（） 1140(8050)260022圆柱侧面积SS2cm故填2600点拨：高考中对几何体表面积以及侧面积的考查题目较容易，一般利用公式即可求解，需要注意的是应用公式前，相关量的求解要准确，但也要注意割补法的灵活运用【例 8】斜三棱柱的底面是边长等于的正三角形，侧棱长等于，一条侧111ABCABCab棱和底面相邻的两条边、都成角，求这个斜三棱柱的侧面积1AAABAC45高考数学一轮第二十七讲 第 13 页共 18 页 C1B1A1ODCBA【解析】如图所示，由于侧棱和底面相邻的两条边、都成角，所以点1AAABAC451A在底面内的射影在的平分线上，由于底面是正三角形，ABCOBACAD所以，即，又，因此平面，BCADBCAO1AOBCBC1A AO所以，因而，故侧面是矩形，1BCAA1BCBB1BCCC11BBC C其面积等于，又因为侧棱和底面相邻的两条边、都成角，ab1AAABAC45所以， 1 11 12sin452AA B BAAC CSSabab 四边形四边形故这个斜三棱柱的侧面积22( 21)2Sababab点拨：由于给出的棱柱不是正棱柱，所以在求侧面积时，应对每一个侧面的面积分别进行计算本题的关键是判断侧面的形状，其中应用了非常重要的结论：从角的11BBC C顶点出发的一条射线，如果它和角的两边所成的角相等，那么这条射线在平面内的射影在角的平分线上【例 9】三棱锥的各个面都是正三角形，棱长为 2，点在棱上移动，点ABCDPAB在棱上移动，则沿三棱锥外表面从到的最短距离等于_QCDPQ高考数学一轮第二十七讲 第 14 页共 18 页 QPABCDB1C1【解析】如图所示，将三棱锥沿侧棱剪开，将各个侧面展开成为一个平面，ABCDAB由于三棱锥的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中是一个菱ABCD1ABDC形，边长为 2，当点在棱上移动，点在棱上移动时，沿三棱锥外表面从PABQCD到的最短距离应该是菱形的对边和之间的距离，PQ1ABDCAB1DC等于3232点拨：在许多数学问题和实际生活中经常遇到一些沿几何体表面路径最短问题，这也就成为新课标高考的一个命题热点根据平面几何知识，沿三棱锥外表面从到的最短PQ距离就是展开图中菱形的对边和之间的距离，显然应该是和之1ABDCAB1DCAB1DC间的垂线段的长度这类求沿几何体表面路径最短的问题，通常采用将几何体表面展开化为平面问题的方法处理，解决展开与折叠问题时关键是搞清展开与折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有变化，一般说来，折痕同侧的点，折叠前后其相对位置不变，而折痕两侧的点，折痕前后其相对位置发生变化考点考点 4 体积体积1求柱、锥、台、球的体积2求几何组合体的体积3求不规则几何体的体积【例 10】(1)如图(1)所示，在多面体中，已知是边长为 1 的正方形，且ABCDEFABCD、均为正三角形，=2，则该多面体的体积为ADEBCFEFABEF高考数学一轮第二十七讲 第 15 页共 18 页 (1)FEABCDA B C D2 33 34 33 2(2)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 2A B C D 2 62 33 32 3【解析】(1)本题中的多面体是一个不规则的几何体，因此可考虑对其进行分割或补形，如图(2)所示，分别过、作的垂线，垂足分别为、，连接、，ABEFGHDGCH(2)HGDCBAEF容易求得，1 2EGHF3 2AGGDBHHC，1221224AGDBHCSS 选12112122134234243E ADGF BHCAGD BHCVVVV A(2)正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，111222223223V 点拨：本题中所用的方法实际就是求不规则几何体体积的基本方法，首先对不规则几何体进行分割，分割后的每一部分都成为规则几何体，套用公式求出体积后相加就是所求高考数学一轮第二十七讲 第 16 页共 18 页 不规则几何体的体积不规则几何体的体积求解是新课标高考的热点内容，这是因为在不规则几何体的体积求解中，需要我们对空间图形有深刻的认识，此外，还要掌握一定的思想方法，如：分割法、补体法、转化法等，因此这类问题更能考查学生的空间想象能力以及综合解决问题的能力，在复习中要注意对这类题型的研究【例 11】如图，体积为的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面V有且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点为1V小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，2V则下列关系中正确的是AB CD12VV 22VV 12VV12VV【解析】记大球、小球的体积分别为、，半径分别为、，V大球V小球Rr根据图可以得到根据已知条件可得，1 2rR214VVVV小球大球即，333 2144244()03323RVVVVRR 小球大球所以，故选 D21VV【例 12】已知在半径为 2 的球面上有、四点，若，则四面体ABCD2ABCD的体积的最大值为ABCDA B C D2 3 34 3 32 38 3 3【解析】设球心为，如图，过、三点作球的截面，交于点，由条件知，OOCDABM、均为边长为 2 的等边三角形，设到的距离为，到面OABOCDMCDhA的距离为，到面的距离为，则MCD1hBMCD2hA BCDA MCDB MCDVVV，因此，当面时，1212111()()332MCDShhCD hhh AB MCD高考数学一轮第二十七讲 第 17 页共 18 页 最大，故选 B114 32 2 3(1 1)323A BCDV 点拨：球与多面体的位置关系问题突出考查了立体几何的核心能力空间想象能力，在其求解过程中，除了用到球体与多面体的性质外，还要用到平面几何的知识，综合性很强，是高考试题命题者青睐的一个考点求球体与多面体的组合体问题的关键是，将空间问题转化为平面问题解决【例 13】某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示，墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体图(2)、图(3)分别是该标识墩的正PEFGHABCDEFGH(主)视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明:直线平面BDPEG【解析】(1)侧视图同正视图，如图 4 所示.(2)该安全标识墩的体积为：P EFGHABCD EFGHVVV（） 2214060402032000320006400033cm图 4 图 5(3)如图 5，连结，及，与相交于，连结EGHFBDEGHFOPO由正四棱锥的性质可知，平面，PO EFGHPOHF高考数学一轮第二十七讲 第 18 页共 18 页 又，平面，EGHFHFPEG又，平面BDHFBDPEG点拨：以三视图代替几何体的直观图，或者将三视图与直观图结合，作为背景给出几何模型，以几何体的体积与表面积的计算以及直线与平面的平行和垂直为载体，来考查空间想象力，是近几年新课标地区高考的热点问题解决这类问题的关键在于：由三视图想象直观图，发现其中的位置关系和数量关系再利用直观图来解决有关问题本专题试题训练详见试题精练