无穷级数习题课.PPTx

常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄 氏条件在收敛 级数与数条件下 相互转化 一、主要内容一、主要内容第1页/共45页1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散第2页/共45页性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质第3页/共45页常数项级数审敛法常数项级数审敛法正 项 级 数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛第4页/共45页定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法第5页/共45页(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式第6页/共45页第7页/共45页第8页/共45页定义定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法第9页/共45页定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法第10页/共45页5 5、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域第11页/共45页(3)(3)和函数和函数第12页/共45页(1)(1)定义定义6 6、幂级数、幂级数第13页/共45页(2)(2)收敛性收敛性第14页/共45页推论推论第15页/共45页定义定义:正数R称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.第16页/共45页a.代数运算性质:加减法加减法(其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算第17页/共45页乘法乘法(其中除法除法第18页/共45页b.和函数的分析运算性质:第19页/共45页7 7、幂级数展开式、幂级数展开式(1)定义定义第20页/共45页(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性第21页/共45页(3)展开方法展开方法a.a.直接法(泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.第22页/共45页(4)常见函数展开式常见函数展开式第23页/共45页第24页/共45页(5)应用应用a.近似计算b.欧拉公式第25页/共45页(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数第26页/共45页(2)(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数傅里叶级数.第27页/共45页(3)(3)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)第28页/共45页(4)(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数第29页/共45页第30页/共45页奇延拓奇延拓:(5)(5)周期的延拓周期的延拓第31页/共45页偶延拓偶延拓:第32页/共45页第33页/共45页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原级数发散(必要条件)第34页/共45页解解根据比较判别法，原级数收敛第35页/共45页例例解解即原级数非绝对收敛第36页/共45页由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛第37页/共45页例例解解两边逐项积分第38页/共45页第39页/共45页例例4 4解解第40页/共45页第41页/共45页由上式得第42页/共45页例例5 5解解第43页/共45页第44页/共45页谢谢您的观看！第45页/共45页