工程制图教程：第1章 点、直线、平面的投影.ppt

1.1 1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识1.2 1.2 点的投影点的投影1.3 1.3 直线的投影直线的投影1.4 1.4 平面的投影平面的投影1.5 1.5 直线直线与与平面及两平面的相对位置平面及两平面的相对位置第第第第1 1 1 1章章章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影11.1 1.1 1.1 1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识投影法的基本知识投影法的基本知识1.1.1 中心投影法中心投影法1.1.2 平行投影法平行投影法1.1.3 投影规律投影规律*2投影法投影法投影法投影法投影中心投影面投影线空间点投影S SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法投影法。投影法。31.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法a ab bc cd dABCDS S特点：特点：投影光线交于一点。投影光线交于一点。4 投投射中心、物体、投影面三者之间的相对射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。距离对投影的大小有影响。度量性较差。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心51.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法ABCDc ca ab bd d特点：特点：投影光线相互平行投影光线相互平行。61.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法ABCDa ab bc cd d特点：特点：投影光线相互平行且垂直投影面投影光线相互平行且垂直投影面。7投投 影影 特特 性性投影：投影：大小与物体和投影面之间的距离大小与物体和投影面之间的距离 无关度量性较好。无关度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法斜投影法正投影法正投影法8投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图画工程图样及正轴样及正轴测图测图9从属性从属性1.1.3 1.1.3 投影规律投影规律投影规律投影规律*10平行性平行性积聚性积聚性11真实性真实性类似性类似性121.2 1.2 1.2 1.2 点的投影点的投影点的投影点的投影1.2.1 1.2.1 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影1.2.2 1.2.2 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影1.2.3 1.2.3 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影1.2.4 1.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系1.2.5 1.2.5 两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点13P Pb A AP P 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。1.2.11.2.11.2.11.2.1 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a 14物体的单面视图物体的单面视图影投方向结论：利用单面视图无法确定物体的空间形状151.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 投影面投影面 正面投影面正面投影面 （简称正面或（简称正面或V面）面）水平投影面水平投影面 （简称水平面或（简称水平面或H面）面）投影轴投影轴 ox轴轴 （简称（简称x轴）轴）V面与面与H面面的交线的交线H HV VO OX X两个投影面两个投影面互相垂直互相垂直1.1.1.1.两投影面体系的建立两投影面体系的建立两投影面体系的建立两投影面体系的建立162.2.2.2.空间点空间点空间点空间点A A在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的正面投影的正面投影X XO OV VH HA Aaa xa注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。17V VH HX XO OV VH HA Aaa 4.4.4.4.点的投影规律点的投影规律点的投影规律点的投影规律:（1 1）a aOXOX轴轴（2）aax a ax xxa=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）=A Aa（A A到到H H面的距离）面的距离）a aaX3.3.投影面展开投影面展开投影面展开投影面展开省略不画绕绕X轴下轴下旋转旋转90不动不动18H HW WV V1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影1.1.投影面投影面投影面投影面正面投影面正面投影面（简称正面或（简称正面或V V面）面）水平投影面水平投影面（简称水平面或（简称水平面或H H面）面）侧面投影面侧面投影面（简称侧面或（简称侧面或W W面）面）2.2.投影轴投影轴投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y193.3.3.3.空间点空间点空间点空间点A A A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a点点A A的的水平水平投影投影a点点A A的的正面正面投影投影a 点点A A的的侧面投影侧面投影X XZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayY20H HW WV VX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay绕绕Z轴轴向右向右旋转旋转90绕绕X X轴向下轴向下旋转旋转9090不动不动4.4.投影面展开投影面展开投影面展开投影面展开aaxazZ Zaa yayaX XY YH H Y YW WO O 省略不画省略不画21X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 5.5.点的投影规律点的投影规律点的投影规律点的投影规律:（1）a aOXOX轴轴（2）a ax=a ax=xaazayY YW WZ Z aza X XY YH HayWO OaaxayHa a a OZOZ轴轴=y=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）a aza ay=22a aax例：已知点A的两个投影a,a,求第三a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa ZOXYWYHZOXYHYW投影a。231.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系A Aa aa aa aaxaya az zVHWOXY YZ ZX Xa aa aa aO Oa ax xa ay ya az zZ Za ay yY YHHY YWWHHWWx xy yz z(a)(b)x xy yz zy y24空间点的重建法空间点的重建法空间点的重建法空间点的重建法(a)(a)坐标法坐标法(b)(b)逆投影线法逆投影线法已知点已知点A A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行251.2.5 1.2.5 1.2.5 1.2.5 两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、点在空间的上下、前后、左右位置关系。左右位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前z 坐标大的在上坐标大的在上A点在点在B点之点之前、之右、之前、之右、之上上。b aa a b bX XY YH HY YW WZ Zo o1.1.两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置26O比较比较A A、B B两点的相对坐标两点的相对坐标xxzzyyA A点在点在B B点之右点之右A A点在点在B B点之后点之后A A点在点在B B点之上点之上27()a cc 2.2.重影点重影点重影点重影点 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的投影重合为一影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该点时，则称此两点为该投影面的重影点。投影面的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点ZXYWOYH28()a bA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayb Bb(b)b a a b ZXYWOYH29d(c)cdCDa(b)abABaba(b)d(c)cdA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点C C、D D为正面投影面的重影点为正面投影面的重影点30 例题例题11 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。a31 例题例题22 已知点已知点A在点在点B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，毫米，之右之右8毫米，求点毫米，求点A的投影。的投影。a a a985321.3 1.3 1.3 1.3 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影1.3.1 1.3.1 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影1.3.2 1.3.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置1.3.3 1.3.3 属于直线的点属于直线的点属于直线的点属于直线的点1.3.4 1.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置331.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影OO 两点确定一条直线，将两点的同面投影用两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线连接，就得到直线的同名投影。34 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 abab=AB=AB 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短投影不反映线段实长投影不反映线段实长 abab=AB*=AB*coscos A AM MB Ba（m）（）（b）A AB Bab 35 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面水平线（平行于面)正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。影面间的相对位置。36 投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面平行线V VW WH HY YX XZ Z侧平线侧平线水平线水平线正平线正平线37水平线水平线ABHABH38X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影面上的在其平行的那个投影面上的投影反映实长投影反映实长,并反映直线与另并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。两投影面倾角的真实大小。另两个投影面上的投影平行另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WZXYoABHABHab=AB=ABa b OX OX a b OYOYW W39正平线正平线ABVABV40正平线正平线 在其平行的那个投影面上的在其平行的那个投影面上的投影反映实长投影反映实长,并反映直线与另并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。两投影面倾角的真实大小。另两个投影面上的投影平行另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：ABVABVa b =ABABabOXOX a b OZOZZV VH HabAaa BbbW W oXY X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W实长实长41侧平线侧平线ABWABW42侧平线侧平线V VH HAaBbW W aba bZoXY 在其平行的那个投影面上的在其平行的那个投影面上的投影反映实长投影反映实长,并反映直线与另并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。两投影面倾角的真实大小。另两个投影面上的投影平行另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：ABWABWa b =ABABa b OZ OZ abOYOYH H bY YW W实长实长Y YH HX XZ ZbaaabO O43 投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线V VW WH HY YX XZ Z铅垂线铅垂线AB H正垂线正垂线AD V侧垂线侧垂线AC WC CD DB BA A44铅垂线铅垂线ABAB H Ha b a(b)a b ZXYHYW2.另外两个投影，另外两个投影，反映线反映线 段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的H投影面投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:45正垂线正垂线ABVABV2.另外两个投影，另外两个投影，反映线反映线 段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的V投影面投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a(c)acc a ZOXYHYW46侧垂线侧垂线ABAB W W2.另外两个投影，另外两个投影，反映线反映线 段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的W投影面投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a d ada(d)ZXYHYW47V VW WH HY YX XZ ZB BA A 一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线48 一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线Z Z Y YH HaO OX XabbaY YW Wb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性投影特性:H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y491.3.3 1.3.3 属于直线的点属于直线的点属于直线的点属于直线的点l点在直线上点在直线上,点的投影在直线的同名点的投影在直线的同名投影上投影上.l点分线段成比例点分线段成比例50例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?X XX XZ ZX XO OY YH HY YW W51521.3.4 1.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行 两直线相交两直线相交两直线相交两直线相交空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）平行、相交、交叉（异面）平行、相交、交叉（异面）平行、相交、交叉（异面）两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线交叉53 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各同面投影必空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX XO OX X54例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两组同面线，只要有两组同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直对于特殊位置直线，只有两组同面投线，只有两组同面投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。a b c d b d c a dZ ZO O(1)abcc a b d X XY YH HY YW WZ Zcbad d b a c(2)X XO OY YH HY YW W55 两直线相交两直线相交两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。影特性。ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk X X56cd k kd例例1 1：过：过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c X X57例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一点的合空间一点的投影特性。投影特性。判断方法？判断方法？应用定比原理应用定比原理 利用侧面投影利用侧面投影X X58c abdabcdX X解法一：解法一：（应用定比定理）（应用定比定理）解法二：解法二：（应用侧面投影）（应用侧面投影）cabdabcda b d c 59 两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点不符合点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbX X60accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性：投影特性：同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合不符合空间一点的投影规律。空间一点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一对重影点的投影，是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43 3(4(4)3 33(4)3(4)3 34 4 611.4 1.4 1.4 1.4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影1.4.1 1.4.1 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法1.4.2 1.4.2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置1.4.3 1.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线平面上的点和直线平面上的点和直线621.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交直线两相交直线平面图形平面图形c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X6364 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面65侧垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面V VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面铅垂面铅垂面66c c 铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面abca b b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：及：水平投影积聚成直线。水平投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W67c c 正垂面正垂面正垂面正垂面abca b b a 积聚性积聚性正垂面正垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：及：正面投影积聚成直线。正面投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性X XO OY YH HY YW W类似性类似性68c c 侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面abca b b a 积聚性积聚性侧垂面侧垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：及：侧面投影积聚成直线。侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W69X XY YZ ZH HV VW W侧平面侧平面正平面正平面水平面水平面投影面平行面投影面平行面投影面平行面投影面平行面70a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。它在水平投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。Z ZX XO OY YH HY YW W71积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性正正平面平面投影特性：投影特性：它在正面投影面上的投影反映实形。它在正面投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W72积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性侧侧平面平面投影特性：投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。它在侧面投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W73X XY YZ ZH HV VW W一般位置平面一般位置平面一般位置平面一般位置平面三个投影都为类似形。三个投影都为类似形。投影特性：投影特性：a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面与三个投影面都倾斜。平面与三个投影面都倾斜。74a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？4545 Z ZX XO OY YH HY YW W754.1.3 4.1.3 平面上的点和直线平面上的点和直线平面上的点和直线平面上的点和直线位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线平面上取任意直线平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。P PQ Q76abcb c a d d例例1 1：已知平面由直线已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a X XX X77例例2 2：在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10 10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？78 平面上取点平面上取点平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1：已知已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取首先面上取线线kabca b k c kX XX X79bckada d b c k b例例2 2：已知已知AC为正平线，补全平行四为正平线，补全平行四边形边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X80dede10 1010 10mm例例3 3：在在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到并使其到H H面面V V面的面的 距离均为距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O811.5 1.5 1.5 1.5 直线与平面及两平面直线与平面及两平面直线与平面及两平面直线与平面及两平面 的相对位置的相对位置的相对位置的相对位置*1.5.1 1.5.1 平行问题平行问题平行问题平行问题 1.5.2 1.5.2 相交问题相交问题相交问题相交问题821.5.1 1.5.1 平行问题平行问题平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行83 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。b bB Ba aA AP P若：若：ABABab则：则：ABABPP84n a c b m abcmn例例1 1：过过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解d dX X85正平线正平线例例2 2：过过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX X86直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。必定平行。87 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另一若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ABAB；ACAC；则：则：P PQ Q88 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 89c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行 90acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac,故两平面故两平面不平行。不平行。例：例：判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，已知已知ABCDEFMHABCDEFMH911.5.2 1.5.2 相交问题相交问题相交问题相交问题 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交92 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。共有点。直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1)(1)求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。(2)(2)判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。处于特殊位置的情况。93例：例：求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析:平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影还可通过重影点判别可见性。点判别可见性。平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1(2 2)2 21 1X X94km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析:直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 2 1 11 (2)X X95 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：方法：方法：确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。96abcdefc f d b e a m(n)例：例：求两平面的交线求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析：求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们的交线为一正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OX轴。轴。还可通过重影点还可通过重影点判别可见性判别可见性97a abd(e)ebdh(f)cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析：平面平面DEFH是一铅垂是一铅垂面，它的水平投影有积聚面，它的水平投影有积聚性，其与性，其与ac、bc的交点的交点m、n 即为两个共有点的水即为两个共有点的水平投影，故平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影。的水平投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点在前，点在前，点在在后，故后，故m c 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2)mn98bc d e f a b acdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，说明点的外面，说明点N位位于于DEF所确定的平面内，所确定的平面内，但不位于但不位于DEF这个图形这个图形内。内。所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。mkk nn 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图m DEF的正面投影积聚的正面投影积聚99本 章 结 束100