多元微分偏导微分.pptx

一.复数内容:1.域的扩充2.复数的定义,复数域3.复数实部,虚部,模,共轭复数4.复数的四种表示5.复数的运算(四则运算，复数的方根)6.圆的复数方程第1页/共72页二.复变函数1.复变定义2.复变函数几何意义第2页/共72页第3页/共72页多元函数微分学习题课第4页/共72页内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)第5页/共72页内容小结内容小结3.微分定义:4.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续方向导数存在第6页/共72页内容小结内容小结5.复合函数求导的链式法则例如,6.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,第7页/共72页内容小结内容小结1.隐函数存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.代公式思考与练习设求第8页/共72页函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.一.选择题第9页/共72页2.第10页/共72页3.第11页/共72页4.第12页/共72页5.第13页/共72页二.偏导,全微分问题23第14页/共72页4.第15页/共72页56第16页/共72页设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解:7.第17页/共72页内容小结内容小结1.方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为第18页/共72页2.梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为 函数在某点处方向导数的最大，最小值问题 第19页/共72页1三.方向导数,梯度问题第20页/共72页3最小，最小值为4第21页/共72页1.空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结第22页/共72页空间光滑曲面曲面 在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线第23页/共72页空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况显式情况.法向量第24页/共72页多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上可能的极值点)第25页/共72页1四.几何应用问题线方程第26页/共72页43第27页/共72页五.多元极值应用1.2.第28页/共72页3.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面第29页/共72页令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故第30页/共72页为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.4.求平面上以第31页/共72页5.求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大的圆的内接三角形中面积最大者者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则所对应的三角形面积为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 第32页/共72页已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.6.第33页/共72页第34页/共72页第35页/共72页第36页/共72页第37页/共72页第38页/共72页第39页/共72页第40页/共72页第41页/共72页第42页/共72页第43页/共72页第44页/共72页第45页/共72页第46页/共72页第47页/共72页第48页/共72页第49页/共72页第50页/共72页第51页/共72页第52页/共72页第53页/共72页第54页/共72页第55页/共72页第56页/共72页第57页/共72页第58页/共72页第59页/共72页第60页/共72页第61页/共72页第62页/共72页第63页/共72页第64页/共72页第65页/共72页第66页/共72页第67页/共72页第68页/共72页第69页/共72页第70页/共72页第71页/共72页感谢您的观看！第72页/共72页