分歧拟周期与混沌现象.pptx

第七章第七章 分歧、拟周期与混沌现象分歧、拟周期与混沌现象7.1 7.1 引言引言7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.3 7.3 非线性电路中的拟周期现象非线性电路中的拟周期现象7.4 7.4 非线性电路方程中的混沌现象非线性电路方程中的混沌现象第1页/共25页7.1 7.1 引言引言1 1、非线性电路的稳态解、非线性电路的稳态解 平衡点平衡点 周期解周期解 拟周期解拟周期解 混沌解混沌解传统的认识：传统的认识：一个确定的电路（指电路中一个确定的电路（指电路中所有元件参数都是确定的，不所有元件参数都是确定的，不包含任何随机因素包含任何随机因素），其解也是确定的），其解也是确定的即在两组相近的初始条件即在两组相近的初始条件下，其解也是相近的。下，其解也是相近的。近近2020年的发现：年的发现：确定的非线性电路存在一种特殊稳态解确定的非线性电路存在一种特殊稳态解这这种形式的种形式的解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的振荡行为。这种非线性电路的解就称为混沌。振荡行为。这种非线性电路的解就称为混沌。7.1 7.1 引言引言第2页/共25页7.1 7.1 引言引言2 2、分歧或分岔、分歧或分岔 一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解变为周期振荡解例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧这种解的质的变化就称为分歧(bifurcation)(bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。电路参数变化电路参数变化解的性质发生质的变化解的性质发生质的变化发生质的变化称为分歧。发生质的变化称为分歧。7.1 7.1 引言引言第3页/共25页第七章第七章 分歧、拟周期与混沌现象分歧、拟周期与混沌现象7.1 7.1 引言引言7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.3 7.3 非线性电路中的拟周期现象非线性电路中的拟周期现象7.4 7.4 非线性电路方程中的混沌现象非线性电路方程中的混沌现象第4页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧主要内容主要内容1 1、鞍结分歧鞍结分歧2 2、过临界分歧过临界分歧3 3、叉形分歧叉形分歧4 4、霍普夫霍普夫分歧分歧第5页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 1 1、分歧、分歧 由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。能引起分歧的参数称能引起分歧的参数称分歧参数分歧参数，而此参数值称为，而此参数值称为分歧点分歧点。静态分歧：静态分歧：平衡点的个数和稳定性的变化。平衡点的个数和稳定性的变化。动态分歧：动态分歧：相平面轨道定性性质的变化。相平面轨道定性性质的变化。局部分歧：局部分歧：讨论讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。全局分歧：全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。研究大范围内拓扑结构的变化。静态分歧：静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。鞍结分歧、跨临界分歧等。动态分歧：动态分歧：霍普夫（霍普夫（HopfHopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、）分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。同宿或异宿分歧等等。无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf)(Hopf)分歧，只有平衡点分歧，只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。路对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。第6页/共25页电路如图所示，非线性电阻的电路如图所示，非线性电阻的u-i特性为特性为i=u2 2，以，以uC为状态变量，则方程为为状态变量，则方程为7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧令令 时，有时，有 第7页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧可见该电路的平衡点随参数可见该电路的平衡点随参数 的变化而变化。特的变化而变化。特别当别当 0 0时，时，x=0 x=0是该电路的一个非双曲平衡点。是该电路的一个非双曲平衡点。平衡点随参数平衡点随参数 变化，由式变化，由式 给出，可给出，可以用平衡点随分歧参数变化的图以用平衡点随分歧参数变化的图7-27-2表示。这种平表示。这种平衡点或方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。衡点或方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。由图由图7-27-2可见，当可见，当 000时，有二个平衡点，分别为时，有二个平衡点，分别为 。容易判断。容易判断 是稳定的，是稳定的，是不稳定的。这表示参数是不稳定的。这表示参数 产在产在 =0=0的的附近变化时，电路平衡点的个数和轨道都发生了定附近变化时，电路平衡点的个数和轨道都发生了定性的变化，即发生了分歧，分歧点是（性的变化，即发生了分歧，分歧点是（x x，）=（0 0，0 0）。这种分歧称为鞍结分歧。）。这种分歧称为鞍结分歧。第8页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 从图从图7-3(b)7-3(b)可以看出，当电可以看出，当电流源电流流源电流IS0IS0IS0时，有两个工作点。且工时，有两个工作点。且工作点作点Q1Q1处的动态电阻为正值，所处的动态电阻为正值，所以，该工作点是稳定的；工作点以，该工作点是稳定的；工作点Q2Q2处的动态电阻为负值，该工作处的动态电阻为负值，该工作点是不稳定的。点是不稳定的。第9页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧为了能清楚地表明鞍结分歧相图为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化，考虑图的变化，考虑图7-47-4所示二阶电路。所示二阶电路。此电路是图此电路是图1-11-1所示一阶电路增加所示一阶电路增加了一个了一个RLRL电路，仍设非线性电阻电路，仍设非线性电阻的伏安特性为的伏安特性为i iv2v2，以电容电压，以电容电压和电感电流为状态变量列出状态和电感电流为状态变量列出状态方程：方程：取归一化值，设取归一化值，设 则有：则有：(1-2)第10页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 当当 0 0时，式（时，式（1-21-2）有非双曲平衡点。由于式（）有非双曲平衡点。由于式（1-21-2）的第二式特）的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清楚地表示出来，如图结点变化过程可以清楚地表示出来，如图7-57-5所示。所示。第11页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧主要内容主要内容1 1、鞍结分歧鞍结分歧2 2、过临界分歧过临界分歧3 3、叉形分歧叉形分歧4 4、霍普夫霍普夫分歧分歧第12页/共25页2 2、过临界分歧、过临界分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 过临界分歧可以用图过临界分歧可以用图7-67-6所示一阶电路来说所示一阶电路来说明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且 i iv2v2，以电容电压为状态变量的方程为，以电容电压为状态变量的方程为即即令令 ，则有，则有（1-3）第13页/共25页2 2、过临界分歧、过临界分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧式（式（1-31-3）在）在 0 0时，时，x=0 x=0的点是一个具有零的点是一个具有零特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式由式 给出，如图给出，如图1-71-7所示。所示。从图中可见，从图中可见，000时，与时，与 000时，有工作点时，有工作点Q0Q0和和QlQl，且，且QlQl处的动态电阻为处的动态电阻为正值；当正值；当 0 0时，有工作点时，有工作点Q2Q2和和Q0Q0，且，且Q2Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡点稳定处的动态电阻为负值。这说明了平衡点稳定性质转变的本质。性质转变的本质。第15页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧主要内容主要内容1 1、鞍结分歧鞍结分歧2 2、过临界分歧过临界分歧3 3、叉形分歧叉形分歧4 4、霍普夫霍普夫分歧分歧第16页/共25页3 3、叉形分歧、叉形分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 讨论叉形分歧的电路仍如图讨论叉形分歧的电路仍如图7-67-6所示，所示，但非线性电阻的伏安特性为但非线性电阻的伏安特性为i iv3v3；以电容；以电容电压为状态变量时，状态方程为电压为状态变量时，状态方程为同时令同时令 ，有如下方程，有如下方程 第17页/共25页3 3、叉形分歧、叉形分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 可以验证点（可以验证点（x x，）=（0,0)0,0)是具有零特征值是具有零特征值的非双曲平衡点。当的非双曲平衡点。当 时电路的平衡点随参时电路的平衡点随参数数 变化，由式变化，由式 给出，如图给出，如图7-97-9所所示。当示。当 0 0时，电路有一个平衡点，时，电路有一个平衡点，x x0 0，且是，且是稳定平衡点；当稳定平衡点；当 0 0时，时，x x0 0也是一个平衡点，也是一个平衡点，仍是稳定的；当仍是稳定的；当 00时，电路有时，电路有3 3个平衡点，这个平衡点，这3 3个平衡点分别是个平衡点分别是 和和 ；此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化，此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化，时的时的x=0 x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生了两个的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随 的变化，稳定的的变化，稳定的平衡点在平衡点在x-x-平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。对平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-101-10所示。所示。第18页/共25页3 3、叉形分歧、叉形分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧 当当 时时，仅仅有有工工作作点点Q0Q0；当当 00时时，有有3 3个个工工作作点点，即即Q0Q0，QlQl和和Q2Q2。由由于于Q1Q1和和Q2Q2处处的的动动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。第19页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧主要内容主要内容1 1、鞍结分歧鞍结分歧2 2、过临界分歧过临界分歧3 3、叉形分歧叉形分歧4 4、霍普夫霍普夫分歧分歧第20页/共25页4 4、HopfHopf分歧分歧:移相式移相式RC振荡电路振荡电路7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图7-11所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放大器的电压放大倍数k29时，该电路中将产生稳定的正弦振荡，振荡频率 ，荡幅度大小由放大器的饱和特性决定。第21页/共25页4 4、HopfHopf分歧分歧:移相式移相式RC振荡电路振荡电路设放大器的转移特性为设放大器的转移特性为令令7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧第22页/共25页7.2 7.2 非线性电路的分歧非线性电路的分歧系数矩阵的特征方程为：系数矩阵的特征方程为：当当k=29k=29时，时，有一对实部为零的共扼复特征值。即，有一对实部为零的共扼复特征值。即k=29k=29时，时，平衡点为非双曲平衡点；当平衡点为非双曲平衡点；当k29k29时，时，且，且a(k)0a(k)0w(k)0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；当，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；当k29k29时，时，但，但a a（k k）0,0,即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k k2929是一个分歧点，当是一个分歧点，当k k从从k29k29k 29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分歧称为歧称为HopfHopf分歧。分歧。放大器放大倍数放大器放大倍数k k是分歧参数，当是分歧参数，当k 29k 29时出现周期振荡，振荡的周期时出现周期振荡，振荡的周期 。式中的。式中的 为特征方程式在为特征方程式在k=29k=29时的纯虚根的模值。时的纯虚根的模值。第23页/共25页THANK YOU第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页