第13章动能定理精.ppt

第13章动能定理第1页，本讲稿共42页 返回首页Theoretical Mechanics第十三章第十三章 动能定理动能定理目目 录录 13-1 13-1力的功力的功力的功力的功 13-2 13-2质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理13-313-3质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能 13-4 13-4质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理 13-5 13-5功率功率功率功率 功率方程功率方程功率方程功率方程 13-6 13-6势力场势力场势力场势力场 势能势能势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律第2页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表达式功的一般表达式力的元功:在一无限小位移中力所做的功。在一无限小位移中力所做的功。或写成直角坐标形式在一般情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号W而不用dW。返回首页第3页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。功的量纲为13.1 力的功力的功13.1.1 功的一般表达式功的一般表达式 返回首页第4页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功常力的功 当 时功为正；当 时，功为负；当 时s不作功。由此可知，功为代数量。返回首页第5页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics重力的功重力的功重力的功仅与质点运动开始重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关而与运动轨迹无关13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第6页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics弹性力的功弹性力的功弹性力可表示为弹性力可表示为13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第7页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics弹性力的功弹性力的功 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。位置的变形量，而与质点的运动路径无关。13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第8页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 物体沿粗糙轨道滑动时，动滑动摩擦力 ，其方向总与滑动方向相反，所以，功恒为负值 13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第9页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 当物体纯滚动时，圆轮与地面之间没有相对滑动，其滑动摩擦力属于静滑动摩擦力。轮与地面的接触点C是圆轮在此瞬时的速度瞬心，得 圆轮沿固定轨道滚动而无滑动时，滑动摩擦力不作功。13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第10页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力的元功为作用于定轴转动刚体上的力的元功为13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第11页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics如图所示，刚体上任意一点的无限小位移可写为作用于点 M i上的力的元功为作用于刚体上的全部力的元功为平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第12页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics其中FR为力系的主矢量，Mc为力系对质心的主矩。13.1 力的功力的功13.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 返回首页第13页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.1.3 质点系内力的功质点系内力的功当质系内质点间的距离变化时，内力的元功之和不为零。因此刚体内力的功之和恒等于零。如图所示，两质点间有相互作用的内力13.1 力的功力的功 返回首页第14页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.1 力的功力的功13.1.4 约束力的功约束力的功光滑铰链或轴承约束光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。常见的理想约束有：常见的理想约束有：光滑固定面和辊轴约束光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。理想约束：理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。约束力的元功的和等于零的约束。返回首页第15页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics 刚性连接的约束刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。联结两个刚体的铰联结两个刚体的铰:两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即，两力在点的微小位移上的元功之和等于零.柔性而不可伸长的绳索柔性而不可伸长的绳索 绳索两端的约束力,大小相等，即，由于绳索不可伸长，所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。具有理想约束的质点系具有理想约束的质点系，有WN=0 13.1 力的功力的功13.1.4 约束力的功约束力的功 返回首页第16页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理质系内所有质点在某瞬时动能质系内所有质点在某瞬时动能的算术和为该瞬时质系的动能的算术和为该瞬时质系的动能 动能是描述质系运动强度的一个物理量任一质点在某瞬时的动能为 返回首页第17页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理牛顿第二定律牛顿第二定律 质点动能定理的质点动能定理的微分形式微分形式由于 ，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 返回首页第18页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.2 质点的动能定理质点的动能定理作用于质点上的力在有限路程上的功作用于质点上的力在有限路程上的功积分积分 返回首页第19页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.1 质点系的动能质点系的动能 质点系的动能为组成质点系的各质点动能的算术和 返回首页第20页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.2 平移刚体的动能平移刚体的动能 当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为 返回首页第21页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.3 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 于是绕定轴转动刚体的动能为于是绕定轴转动刚体的动能为刚体绕定轴z转动的角速度为，任一点mi的速度 返回首页第22页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能13.3.4 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动 返回首页第23页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理n个方程相加，得质点系由n个质点组成，其中某一质量为质量为mi质点主动力和约束力作用。根据质点动能定理的微分形式有根据质点动能定理的微分形式有零零 返回首页第24页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 质系动能定理的微分形式质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移中，在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和。即 质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和在这段路程中所做功的和。返回首页第25页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题例13-1 图示系统中，滚子A、滑轮B 均质，重量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC。解法一 求加速度宜用动能定理的微分形式 系统在任意位置的动能A轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以 返回首页第26页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics由 ，得 主动力Q、P的元功 因纯滚动，滑动摩擦力F不作功 代入式 ，两边再除以dt，且知 ，得 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第27页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics解法二 此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。系统的初始动能为T0任意位置的动能 设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第28页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics设圆轮质心C走过距离s，动能定理的积分形式vC和s均为变量，将上式两边对时间求一阶导数，得 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第29页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics例13-2 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和AB都是均质杆，重量分别为P和2P，且OCACBCl，滑块A和B重量均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设0时系统静止，求曲柄角速度和角加速度(以转角表示)。I解：由几何条件，OCBC，因此OC=AB=，系统由静止开始运动，当转过角时，系统的动能瞬心为，有运动关系为 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第30页，本讲稿共42页Theoretical MechanicsI系统中力做的功为 由动能定理的积分形式 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第31页，本讲稿共42页Theoretical MechanicsI由动能定理的微分形式，得 13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题 返回首页第32页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理1 1具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。2 2应用动能定理解题的步骤：应用动能定理解题的步骤：（1 1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；（2 2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功；的情况下约束力不做功；小小 结结 返回首页第33页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics3.分析系统的运动分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能；4.应用动能定理建立系统的动力学方程应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；5.对问题的进一步分析与讨论。动能定理最适用于动力学的第二类基本问题：动能定理最适用于动力学的第二类基本问题：已知主已知主动力求运动动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。，即求速度、加速度或建立运动微分方程。13.4 质点系的动能定理质点系的动能定理小小 结结 返回首页第34页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.1 功率功率 力在单位时间内所作的功，称为功率。它是用来衡量机器性能的一项重要指标，P表示功率力偶或转矩M的功率 功率的量纲为功率的单位是焦耳/秒，称为瓦特（W）。1 W=1 J/s=1 Nm/s。返回首页第35页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.5 功率功率 功率方程功率方程13.5.2 功率方程功率方程由动能定理 等号两边除以dt，即 表明机器的输入、消耗的功率与动能变化率的关系。功率方程 返回首页第36页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.1 势力场势力场 如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。如质点在如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为关，则这种力场称为势力场或保守力场势力场或保守力场。质点在势质点在势力场内所受的力称为势力或保守力力场内所受的力称为势力或保守力。如重力、弹性力及万有引力都是势力。返回首页第37页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.2 势能势能 势势能：在势力场中，质点由某一位置M运动到选定的参考点M0的过程中，有势力所作的功。以V表示，即重力场中的势能重力场中的势能零位置选在z0=0处 返回首页第38页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics对于质点系或刚体对于质点系或刚体弹性力场中的势能弹性力场中的势能0是势能零点时弹簧的变形量，若选择弹簧自然长度为势能零位置，即0=0，于是弹性力势能 13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.2 势能势能 返回首页第39页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质系称为保守系统。对于保守系统，动能定理势力的功与路径无关，可通过势能计算。如以0点为零势点，则 返回首页第40页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics机械能守恒定律机械能守恒定律，即保守系统在运动过程中，其机械能保持不即保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和。因为势力场具有机械能守恒的特性，因此势力场又称为保守力场，而势力又称为保守力。质系在非保守力作用下运动时，则机械能不守恒。例如摩擦力做功时总是使机械能减少，但是减少的能量并未消失，而是转化为另一形式的能量.13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 返回首页第41页，本讲稿共42页Theoretical Mechanics13.6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律13.6.4 有势力与势能的关系有势力与势能的关系 势能的大小因其在势力场中的位置不同而异，可写作坐标的单值连续函数 ，称为势能函数。势力的功与路径无关，其元功必是函数V的全微分，即 作用在质点系上各有势力在坐标轴上的投影，等于势能函数对相应坐标的偏导数冠以负号。由高等数学知，V的全微分 返回首页第42页，本讲稿共42页