电磁场与电磁波(第四版)谢处方_课后答案5811.pdf

电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案 第一章习题解答 给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee 4yz Bee 52xzCee 求：（1）Aa；（2）AB；（3）A B；（4）AB；（5）A在B上的分量；（6）A C；（7）()A BC和()AB C；（8）()ABC和()ABC。解（1）2222312314141412(3)xyzAxyz eeeAaeeeA（2）AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee（3）A B(23)xyzeee(4)yzee11（4）由 cosAB11111417238 A BA B，得 1cosAB11()135.5238（5）A在B上的分量 BA AcosAB1117 A BB（6）A C123502xyzeee41310 xyzeee（7）由于B C041502xyzeee8520 xyzeee A B123041xyzeee1014xyzeee 所以 ()A BC(23)xyzeee(8520)42xyz eee ()AB C(1014)xyzeee(52)42xz ee（8）()ABC1014502xyzeee2405xyzeee()ABC1238520 xyzeee554411xyzeee 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P。（1）判断123PP P是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个顶点1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为 12yzree，243xyzreee，3625xyzreee 则 12214xzRrree，233228xyzRrreee，311367xyz Rrreee 由此可见 1223(4)(28)0 xzxyzRReeeee 故123PP P为一直角三角形。（2）三角形的面积 12231223111176917.13222S RRRR 求(3,1,4)P 点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解 34Pxyz reee，223Pxyzreee，则 53P PPPxyzRrreee 且P PR与x、y、z轴的夹角分别为 115cos()cos()32.3135xP PxP Pe RR 113cos()cos()120.4735yP PyP PeRR 111cos()cos()99.7335zP PzP Pe RR 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解 A与B之间的夹角为 1131cos()cos()1312977ABA BA B A在B上的分量为 313.53277BA BAB 给定两矢量234xyzAeee和64xyz Beee，求A B在xyzCeee上的分量。解 A B234641xyzeee132210 xyzeee 所以A B在C上的分量为 ()CAB()2514.433 A B CC 证明：如果A B A C和A BA C，则BC；解 由A BA C，则有()()AABAA C，即()()()()A B AA A BA C AA A C 由于A B A C，于是得到 ()()A A BA A C 故 BC 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X而PAX，p和P已知，试求X。解 由PAX，有()()()()pAPAAXA X AA A XAA A X 故得 pAAPXA A 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)3定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中 4cos(23)2x、4sin(23)23y、3z 故该点的直角坐标为(2,2 3,3)。（2）在球坐标系中 22435r、1tan(4 3)53.1、23120 故该点的球坐标为(5,53.1,120)用球坐标表示的场225rrEe，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)处，2222(3)4(5)50r ，故 22512rrEe 133 2cos2205 2xxrxE e EE（2）在直角坐标中点(3,4,5)处，345xyz reee，所以 23345252510 2xyzrreeerE 故E与B构成的夹角为 1119(10 2)cos()cos()153.63 2EBE BE B 球坐标中两个点111(,)r 和222(,)r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为 121212coscoscossinsincos()解 由 111111111sincossinsincosxyzrrrReee 222222222sincossinsincosxyzrrrReee 得到 1212cosR RR R 1122112212sincossincossinsinsinsincoscos 121211212sinsin(coscossinsin)coscos 121212sinsincos()coscos 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：(3sin)drSeS的值。解 (3sin)d(3sin)drrrSSSeSee22200d3sin5 sind75 在由5r、0z 和4z 围成的圆柱形区域，对矢量22rzrzAee验证散度定理。解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rrzrr rzA 所以 425000ddd(32)d1200zrrrA 又 2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSSASeeeee 4 25 220 00 055dd2 4 d d1200zrr 故有 d1200AdSAS 求（1）矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度；（2）求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）2222232222()()(24)2272xx yx y zxx yx y zxyzA（2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 222221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z A （3）A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2221 21 21 21 211d()dd()dd22Sy zy z AS 1 21 21 21 222221 21 21 21 2112()d d2()d d22xx zxx z 1 2 1 21 2 1 22232231 2 1 21 2 1 211124()d d24()d d2224x yx yx yx y 故有 1d24AdSAS 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 r对球体积的积分。解 22300dddsind4rSSSaaa rSr e 又在球坐标系中，221()3r rrrr，所以 2230 0 0d3sind dd4arra r 求矢量22xyzxxy zAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解 222220000ddd2 d0d8CxxxxyyAl 又 2222xyzxzyzxxyzxxy zeeeAee 所以 2 20 0d(22)d d8xzzSyzxxyASeee 故有 d8CAldS AS 求矢量2xyxxyAee沿圆周222xya的线积分，再计算 A对此圆面积的积分。解 2dddCCxxxyyAl2424220(cossincossin)d4aaa d()dyxzzSSAASxyASee242220 0dsindd4aSaySrrr 证明：（1）3R；（2）R0；（3）()A RA。其中xyzxyzReee，A为一常矢量。解（1）3xyzxyzR（2）xyzxyzxyyeeeR0（3）设xxyyzzAAAAeee，则xyzA xA yA zA R，故()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA Ree()zxyzA xA yA zzexxyyzzAAAeeeA 一径向矢量场()rf rFe表示，如果0F，那么函数()f r会有什么特点呢 解 在圆柱坐标系中，由 1 d()0drf rrrF 可得到()Cf rr C为任意常数。在球坐标系中，由 221 d()0dr f rrrF 可得到 2()Cf rr 给定矢量函数xyyxEee，试求从点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P的线积分dEl：（1）沿抛物线2xy；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗 解（1）dddxyCCExEyElddCyxxy 2221d(2)2dyyyy2216d14yy （2）连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为 2812xxyy 即 640 xy 故 21dddd(64)(64)dxyCCExEyyyyyEl21(124)d14yy 由此可见积分与路径无关，故是保守场。求 标 量 函 数2x yz的 梯 度 及在 一 个 指 定 方 向 的 方 向 导 数，此 方 向 由 单 位 矢 量345505050 xyzeee定出；求(2,3,1)点的方向导数值。解 222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee 222xyzxyzx zx yeee 故沿方向345505050lxyzeeee的方向导数为 22645505050lxyzx zx yle 点(2,3,1)处沿le的方向导数值为 36166011250505050l 试采用与推导直角坐标中yxzAAAxyzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()zrAArAr rrzA。解 在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的表面的通量为()d dd dzzzzrrrrrrzzArrrArr ()(,)(,)rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同理 d dd drr zzrr zzrzrzArzArz (,)(,)A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzzrrArrArr (,)(,)zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为()1rzrzArAArrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1limrzArAArrrz A 方程222222xyzuabc给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解 由于 222222xyzxyzuabc eee 2222222()()()xyzuabc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222222222()()()()xyzuxyzxyzabcabcuneee 现有三个矢量A、B、C为 r r z o x y r z z 题图 sincoscoscossinrAeee 22sincos2sinrzzzrzBeee 22(32)2xyzyxxzCeee（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中 22111()(sin)sinsinrAr AArrrr A 22111(sincos)(sincoscos)(sin)sinsinrrrrr 2cos2sincoscossincos0sinsinrrrr 2sin1sinsinrrrrrrArArAeeeA 2sin10sinsincoscos cossinsinrrrrrrreee 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中 11()zrBBrBr rrzB=2211(sin)(cos)(2sin)rzzrzrrrz 22sinsin2 sin2 sinzzrrrr 22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrzBrBBzrzrzeeeeeeB 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 yxzCCCxyzC=22(32)()(2)0yxxzxyz 22(26)322xyzzxyxyzyxxzeeeCe 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为 0A，0A；2 sinr B=，0B；0C，(26)zxyCe 利用直角坐标，证明()fffAAA 解 在直角坐标中 ()()yxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz AA()()()yxzxyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz A 证明()AHHAAH 解 根据算子的微分运算性质，有()()()AHAHAHAH 式中A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。由()()a b cc a b，可得()()()AA AHHAHA 同理 ()()()HH AHAHAH 故有 ()AHHAAH 利用直角坐标，证明 ()fff GGG 解 在直角坐标中 ()()()yyxxzzxyzGGGGGGffyzzxxyGeee f G()()()xzyyxzzyxffffffGGGGGGyzzxxyeee 所以 ff GG()()yzxzyGGffGfGfyyzze()()xzyxzGGffGfGfzzxxe()()yxzyxGGffGfGfxxyye()()yzxfGfGyze()()xzyfGfGzxe()()yxzfGfGxye()fG 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u 及()0 A，试证明之。解（1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有()dddd0SCCCuuululSl 由于曲面S是任意的，故有 ()0u （2）对于任意闭合曲面S为边界的体积，由散度定理有 12()d()d()d()dSSS AASASAS 其中1S和2S如题图所示。由斯托克斯定理，有 11()ddSCASAl，22()ddSCASAl 由题图可知1C和2C是方向相反的同一回路，则有 12ddCC AlAl 所以得到 1222()ddddd0CCCC AAlAlAlAl 由于体积是任意的，故有 ()0 A 1n 1C 2C 2S 1S 2n 题图 第二章习题解答 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 32 30049U dx，式中阴极板位于0 x，阳极板位于xd，极间电压为0U。如果040VU、1cmd、横截面210cmS，求：（1）0 x 和xd区域内的总电荷量Q；（2）2xd和xd区域内的总电荷量Q。解（1）4 32 30004d()d9dQU dxSx 110044.72 10C3U Sd （2）4 32 30024d()d9ddQU dxSx 1100341(1)0.97 10C32U Sd 一个体密度为732.32 10C m的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质量271.7 10kgm、电量191.6 10Cq。由 212mvqU 得 621.37 10vmqU m s 故 0.318Jv 2A m 26(2)10IJd A 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为 sinrvre 球内的电荷体密度为 343Qa 故 333sinsin434QQrraaJvee 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为 sinavre 球面的上电荷面密度为 24Qa 故 2sinsin44SQQaaaJvee 两点电荷18Cq 位于z轴上4z 处，24Cq 位于y轴上4y 处，求(4,0,0)处的电场强度。解 电荷1q在(4,0,0)处产生的电场为 111330014424(4 2)xzqeerrErr 电荷2q在(4,0,0)处产生的电场为 222330024414(4 2)xyq eerrErr 故(4,0,0)处的电场为 120232 2xyzeeeEEE 一个半圆环上均匀分布线电荷l，求垂直于圆平面的轴线上za处的电场强度(0,0,)aE，设半圆环的半径也为a，如题 图所示。解 半圆环上的电荷元ddllla在轴线上za处的电场强度为 30dd4(2)laarrE 0(cossin)d8 2zxylaeee 在半圆环上对上式积分，得到轴线上za处的电场强度为 (0,0,)da EE 220(cossin)d8 2lzxyaeee0(2)8 2lzxaee 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为1 l、2l和3l地线电荷构成等边三角形。设1 l22l32l，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 3tan3026LdL 则 111003(cos30cos150)42llyydLEee 2120033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee 3130033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee 故等边三角形中心处的电场强度为 123EEEE 题 图 题图 111000333(3)(3)288lllyxyxyLLLeeeee1034lyLe 点电荷q位于(,0,0)a处，另点电荷2q位于(,0,0)a处，空间有没有电场强度0E的点 解 电荷q在(,)x y z处产生的电场为 1222 3 20()4()xyzxayzqxayzeeeE 电荷2q在(,)x y z处产生的电场为 2222 3 20()24()xyzxayzqxayz eeeE(,)x y z处的电场则为12EEE。令0E，则有 222 3 2()()xyzxayzxayzeee222 3 22()()xyzxayzxayzeee 由上式两端对应分量相等，可得到 222 3 2222 3 2()()2()()xaxayzxaxayz 222 3 2222 3 2()2()y xayzy xayz 222 3 2222 3 2()2()z xayzz xayz 当0y 或0z 时，将式或式代入式，得0a。所以，当0y 或0z 时无解；当0y 且0z 时，由式，有 33()()2()()xa xaxa xa 解得(32 2)xa 但32 2xaa 不合题意，故仅在(32 2,0,0)aa处电场强度0E。29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上0zz 处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。解 半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz 处的电场强度为 022 3 200dd2()zr zrrzEe 故整个导电带电面在z轴上0zz 处的电场强度为 0022 3 222 1 20000000d12()2()2zzzr zrzrzrzEeee 而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz 处的电场强度为 00330022 3 222 1 20000000d112()2()42zzzzzr zrzrzrzEeeeE 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题图所示。求球心处的磁感应强度B。题图 解 球面上的电荷面密度为 24Qa 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rare点处的电流面密度为 Szra Jv ree sinsin4Qaaee 将球面划分为无数个宽度为ddla的细圆环，则球面上任一个宽度为ddla细圆环的电流为 ddsind4SQIJl 细圆环的半径为sinba，圆环平面到球心的距离cosda，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 20223 2dd2()zbIbdBe23022223 2sind8(sincos)zQaaa e30sind8zQa e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3000sind86zzQQaa Bee 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度xxBBe；（2）证明：在中点处ddxBx等于零；（3）求出b与d之间的关系，使中点处22ddxBx也等于零。解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2022 3 22()zIaazBe 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 20223 2(4)xNIbbdBe（2）两线圈的电流在其轴线上x)0(dx 处的磁感应强度为 220022 3 222 3 22()2()xNIbNIbbxbdxBe 所以 220022 5 222 5 2d33()d2()2()xBNIb xNIbdxxbxbdx 故在中点2dx 处，有 2200225 2225 2d32320d2424xBNIb dNIb dxbdbd （3）222200222 7 222 5 2d153d2()2()xBNIb xNIbxbxbx 2220022 7 222 5 215()32()2()NIb dxNIbbdxbdx 令 0dd222dxxxB，有 041445252227222dbdbd 即 445222dbd 故解得 bd 题图 题 图 一条扁平的直导体带，宽为a2，中心线与z轴重合，通过的电流限内的磁感应强度为 04xIBa，021ln4yIrBar 为I。证明在第一象图所示。式中、1r和2r如题解 将导体带划分为无数个宽度为xd的细条带，每一细条带的电流xaIId2d。由安培环路定理，可得位于x处的细条带的电流Id在点),(yxP处的磁场为 00ddd24IIxBRaR022 1 2d4()Ixa xxy 则 022dddsin4()xIyxBBa xxy 022()dddcos4()yI xxxBBa xxy 所以 022d4()axaIyxBa xxy 0arctan4aaIxxay 0arctanarctan4Iaxaxayy 0arctanarctan4Ixaxaayy 021()4Ia04Ia 022()d4()ayaI xxxBa xxy220ln()8aaIxxya22022()ln8()Ixayaxay021ln4Irar 如题图所示，有一个电矩为1p的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 121212403(sin sincos2cos cos)4rp pFr 式中11,r p，22,r p，是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大 解 电偶极子1p在矢径为r的点上产生的电场为 1115303()14rrp r rpE 所以1p与2p之间的相互作用能为 1212215303()()14eWrrp r p rp pp E 因为11,r p，22,r p，则 111cosprp r 222cosp rp r 又因为是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角，所以有 2121212()()sinsincosr p prprp 另一方面，利用矢量恒等式可得 题 图 1212()()()rprprprp2112()rpr p rp21212()()()rp pr pr p 因此 12121221()()()()()rp prprpr pr p1212sinsincosp p1212coscosp p 于是得到 eW12304p pr(12sinsincos122cos cos)故两偶极子之间的相互作用力为 erq constWFr1204p p(12sinsincos122cos cos)3d1()dr r 124034p pr(12sinsincos122cos cos)由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。两平行无限长直线电流1I和2I，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力mF。解 无限长直线电流1I产生的磁场为 0 112IrBe 直线电流2I每单位长度受到的安培力为 10 1 21221120d2mzI IIzd FeBe 式中12e是由电流1I指向电流2I的单位矢量。同理可得，直线电流1I每单位长度受到的安培力为 0 1 22112122mmI Id FFe 一根通电流1I的无限长直导线和一个通电流2I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为 0 1 2(sec1)mFI I 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流1I产生的磁场为 0 112IrBe 圆环上的电流元22dIl受到的安培力为 0 1 22212ddd2myI IIxFlBle 由题图可知 2d(sincos)dxza lee cosxda 所以 201 20(sincos)d2(cos)mzxaI IdaFee 201 20cosd2(cos)xaI Idae01 20 1 22222()(sec1)2xxaI IdI Iaada ee 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为()rpEp E。解 如题图所示，设dqpl(d1)l，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为 2211()()qq TrE rrE r dddd()()()()2222qqllllrE rrE r dddd()()d()()22222qq llllrE rE rlE rE r 题图 当d1l 时，有 dd()()()()22llE rE rE r dd()()()()22llE rE rE r 故得到(d)()d()qq TrlE rlE r()rpEpE 题 图 第三章习题解答 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题图所示)。解 由点电荷q和q共同产生的电通密度为 334qRRRRD 22 3 222 3 2()()4()()rzrzrzarzaqrzarzaeeee 则球赤道平面上电通密度的通量 0ddzzSSSDSD e 22 3 222 3 20()2d4()()aqaar rrara 22 1 201(1)0.293()2aqaqqra 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为ar的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314raZerrrDe，试证明之。解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 124rZerDe 原子内电子云的电荷体密度为 333434aaZeZerr 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344rrarZe rrr Dee 故原子内总的电通量密度为 122314raZerrrDDDe 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c)(abc，如题图()a所示。求空间各部分的电场。解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布，如题图()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在br 区域中，由高斯定律0dSqES，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 2200120022rbbrrrEe 2200120022raarr rEe q q a 赤道平面 题 图 题 3.3 图()a a b c 0 点P处总的电场为 2211220()2barrrrEEE 在br 且ar 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 220022rrrrEe 22220022raarr rEe 点P处总的电场为 202220()2arrEEEr 在ar 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 20030022rrrrEe 20030022rrr rEe 点P处总的电场为 003300()22EEErrc 半径为a的球中充满密度()r的体电荷，已知电位移分布为 32542()()rrArraDaAarar 其中A为常数，试求电荷密度()r。解：由D，有 221 d()()drrr DrrD 故在ra区域 23220021 d()()(54)drrrArrArrr 在ra区域 5420221 d()()0daAarrrrr 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为4()rr aEe，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 20021 d()dr ErrE432002441 d()6drrrrraa（2）球体内的总电量Q为 3220040d64d4arQrraa 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为 2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 02224Qa 两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb()ba，圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷。（1）计算各处的电位移0D；（2）欲使rb区域内00D，则1和2应具有什么关系 题 3.3 图()b a b c 0 a b c 0 a b c 0 解（1）由高斯定理0dSqDS，当ra时，有 010D 当arb时，有 02122rDa ，则 102rarDe 当br时，有 0312222rDab ，则 1203rabrDe （2）令 12030rabrDe，则得到 12ba 计算在电场强度xyyxEee的电场中把带电量为2 C的点电荷从点1(2,1,1)P移到点2(8,2,1)P时电场所做的功：（1）沿曲线22xy；（2）沿连接该两点的直线。解（1）ddddxyCCCWqq ExEyFlEl 2221ddd(2)2dCq yxxyq yyyy22616d1428 10()qyyqJ （2）连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为 2812xxyy 即 640 xy 故W 21ddd(64)(64)dCq yxxyq yyyy261(124)d1428 10()qyyqJ 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用 E核对。解（1）建立如题图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为 202220d(,0)4LlLzrrz 222020ln()4LlLzrz 220220(2)2ln4(2)2lrLLrLL 2200(2)2ln2lrLLr（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为 0220dddcos2lrrrzErzEee0223 20d2()lrr zrze 故长为L的线电荷在点P的电场为 20223 200dd2()Llrr zrzEEe202200()2Llrzrrze02204(2)lrLrrLe 由 E求E，有 22002(2)ln2lLrLr E 2L 2L P z r o 0l 题图 022220122(2)(2)lrrrLrLrLe02204(2)lrLrrLe 已知无限长均匀线电荷l的电场02lrrEe，试用定义式()dPrrrEl求其电位函数。其中Pr为电位参考点。解 000()ddlnln222PPPrrrlllPrrrrrrrrrEl 由于是无限长的线电荷，不能将Pr选为无穷远点。一点电荷q位于(,0,0)a，另一点电荷2q位于(,0,0)a，求空间的零电位面。解 两个点电荷q和2q在空间产生的电位 222222012(,)4()()qqx y zxayzxayz 令(,)0 x y z，则有 222222120()()xayzxayz 即 2222224()()xayzxayz 故得 222254()()33xayza 由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a为球心、43a为半径的球面。证明习题的电位表达式为 2013()()422aaZerrrrr 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZerDe 电子云在原子外产生的电通量密度则为 32224344arrrZerr Dee 所以原子外的电场为零。故原子内电位为 230011()d()d4aarrarrZerrD rrrr2013()422aaZerrrr 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2()0()()cosrraarA rrar （1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的表面有电荷分布吗试求之。解（1）由E，可得到 ra时，0 E ra时，E22()cos ()cos raaA rA rrrrree 2222(1)cos(1)sinraaAArree（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 0002cosrr ar aA n Ee E 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20（1）sin()sin()hzkxly e 其中222hkl；（2）cos()sin()nrnAn 圆柱坐标；（3）cos()nrn 圆柱坐标；（4）cosr 球坐标；（5）2cosr 球坐标。解（1）在直角坐标系中 2222222xyz 而 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly ekkxly exx 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly elkxly eyy 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly ehkxly ezz 故 2222()sin()sin()0hzklhkxly e （2）在圆柱坐标系中 2222221()rr rrrz 而 11()cos()sin()nrrrnAnr rrr rr22cos()sin()nn rnAn 222221cos()sin()nn rnAnr 2222cos()sin()0nrnAnzz 故 20（3）2211()cos()cos()nnrrrnn rnr rrr rr 222221cos()nn rnr 2222cos()0nrnzz 故 20（4）在球坐标系中 22222222111()(sin)sinsinrrrrrr 而 2222112()(cos)cosrrrrrrrrrr 2211(sin)sin(cos)sinsinrrr 2212(sin)cossinrrr 2222222211(cos)0sinsinrrr 故 20（5）222222112()(cos)cosrrrrrrrrrr 22211(sin)sin(cos)sinsinrrr 222412(sin)cossinrrr 22222222211(cos)0sinsinrrr 故 20 已知0y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解 （1）coshyex；（2）xeycos；（3）2cos sinyexx（4）zyxsinsinsin。解（1）222222(cosh)(cosh)(cosh)yyyexexexxyz2cosh0yex 所以函数xeycosh不是0y空间中的电位的解；（2）222222(cos)(cos)(cos)yyyexexexxyzcoscos0yyexex 所以函数xeycos是0y空间中可能的电位的解；（3）22