不等式3726.pdf

22loglog1ab则39ab的最小值为_ 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室 D谁先到教室不确定【求函数225xyx的最大值【答案】24 答案】B 2不等式 log2x1x1 的解集为()A(，1 B1，)C1,0)D(，1(0，)解析：不等式 log2x1x1 可转化为 log2x1xlog22，即x1x2，即x1x20，所以x12xx0，即x1x0，所以1x0，即 x2 时，不等式可化为(x2)24，x4；当 x20，即 x2 时，不等式可化为(x2)24，0 x1 的解集为()A(，1)(0，)B(，0)(1，)C(1,0)D(0,1)解析：f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数 f(x)ax2(a2)x1 必有两个不同的零点 因此 f(2)f(1)0，(6a5)(2a3)0.32a1 即为x2x0，解得1x0 恒成立，则m 的取值范围是()A22 2m22 2 Bm2 Cm1)，则由已知得函数 f(t)t2mtm1(t(1，)的图象恒在 x 轴的上方，即(m)24(m1)0 或 0m21f11mm10 解得 m0 的解集为12x13，则不等式 2x2bxa0 的解集是_ 解析：由题意，知12和13是一元二次方程 ax2bx20 的两根且 a0，所以 1213ba12132a，解得 a12b2.则不等式 2x2bxa0 即 2x22x120，其解集为x|2x0，则不等式 f(x)x2 的解集是_ 解析：当 x0,2x21x2，12x0；当 x0，2xx2，x0.综上所述 x12，)答案：12，)9已知函数 f(x)x2ax1 在区间0,3上有最小值2，则实数 a 的值为_ 解析：当a20，即 a0 时，函数 f(x)在0,3上为增函数，此时，f(x)minf(0)1，不符合题意，舍去；当a23，即 a6 时，函数 f(x)在0,3上为减函数，此时，f(x)minf(3)2，可得 a103，这与 a6 矛盾；当 0a23，即6a0 时，f(x)minf(a2)2，可解得 a2，符合题意综上 a 的值为2.答案：2 10 已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析：要满足 f(x)x2mx10 对于任意 xm，m1恒成立，只需 fm0，fm10，即 2m210，m12mm110，解得22m0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围为235，1.解析：设 f(x)x2ax2，由 a280，知方程 f(x)0 恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根 于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是 f(5)0，f(1)0，解得 a235，且 a1，故 a 的取值范围为235，1.12.若m2x1mx10(m0)对一切 x4 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 答案(，12)解析 依题意，对任意的 x4，)，有 f(x)(mx1)(m2x1)0 恒成立，结合图象分析可知 m0，1m4，1m24，由此解得 m12，即实数 m 的取值范围是(，12)12.不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_ 解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案：x|0 x2 13.已知 1 a+b4,-1 a-b 2,求 4a-2b 的取值范围.14.已知 aR，试比较11a与 1a 的大小 解析 11a(1a)a21a.当 a0 时，a21a0，11a1a.当 a1 且 a0 时，a21a0，11a1a.当 a1 时，a21a0，11a1a.综上所述，当 a0 时，11a1a；当 a1 且 a0 时，11a1a；当 a1 时，11a1a.14.已知函数 f(x)x2axb(a，b 为常数)，且方程 f(x)x120有两个实根为 x13，x24.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 k1，解关于 x 的不等式 f(x)k1xk2x.解析：(1)将 x13，x24 分别代入方程x2axbx120，得 93ab9，164ab8，解得 a1，b2.所以 f(x)x22x(x2)；(2)不等式即为x22xk1xk2x，可化为x2k1xk2x0，即(x2)(x1)(xk)0.当 1k2 时，解集为x|1xk 或 x2；当 k2 时，不等式为(x2)2(x1)0，解集为x|1x2，或 x2；当 k2 时，解集为x|1x2，或 xk 已知函数 f(x)x22ax1a，aR.(1)若 a2，试求函数 yfxx(x0)的最小值；(2)对于任意的 x0,2,不等式 f(x)a 成立，试求 a 的取值范围 解析：(1)依题意得 yfxxx24x1xx1x4.因为 x0，所以 x1x2.当且仅当 x1x时，即 x1 时，等号成立 所以 y2.所以当 x1 时，yfxx的最小值为2.(2)因为 f(x)ax22ax1.所以要使得“任意 x0,2，不等式 f(x)a 成立”只要“x22ax10 在0,2上恒成立”不妨设 g(x)x22ax1，则只要 g(x)0 在0,2上恒成立即可所以 g00，g20，即 0010，44a10，解得 a34.11设 a0，对于函数 f(x)log3(ax2xa)，(1)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围 解：(1)f(x)的定义域为 R 等价于 ax2xa0 对一切实数 x 都成立，即 a014a212.(2)f(x)的值域为R等价于ax2xa能取遍大于 0的所有实数值，即 a014a20，解得 0a12.12设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为m，n(m0 的解集；(2)若 a0，且 0 xmn0，即 a(x1)(x2)0.当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|x2；当 a0 的解集为x|1x0，且 0 xmn1a，xm0.f(x)m0，即 f(x)m.B 级 知能提升 1在 R 上定义运算“*”：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1对一切实数 x 恒成立，则实数 y 的取值范围是()A(12，32)B(32，12)C(1,1)D(0,2)解析：由题意知，(xy)*(xy)(xy)1(xy)1 对一切实数 x 恒成立，x2xy2y10 对于 xR 恒成立，124(1)(y2y1)0，4y24y30，解得12y0 或 g(x)0，则 k 的取值范围是_ 解析：易知 g(x)的图象过点 A(1,0)、B(1,0)、f(x)的图象过点(0,1)，当 f(x)的图象过 A、B 时的斜率为参考临界值，通过数形结合可得 k(1,1)答案：(1,1)3对于满足 0a4 的实数 a，使 x2ax4xa3 恒成立的 x取值范围是_ 解析：原不等式等价于 x2ax4xa30，a(x1)x24x30，令 f(a)a(x1)x24x3，则函数 f(a)a(x1)x24x3 表示直线，要使 f(a)a(x1)x24x30，则有 f(0)0，f(4)0，即 x24x30 且 x210，解得 x3 或 x0 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax2(ab)xc.(1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m，n，求|mn|的取值范围；(3)是否存在这样的实数 a，b，c 及 t 使得函数 yf(x)在2,1上的值域为6,12？若存在，求出 t 的值及函数 yf(x)的解析式；若不存在，请说明理由 解：(1)证明：由题意知 abc0，且b2a1，a1，ac0，对于函数 f(x)ax2(ab)xc 有(ab)24ac0，函数 yf(x)必有两个不同零点(2)|mn|2(mn)24mnba24aca22ac24aca2(ca)28ca4，由不等式 ax2bxc0 的解集为(1，t)可知，方程 ax2bxc0 的两个解分别为 1 和 t(t1)，由根与系数的关系知cat，|mn|2t28t4，t(1，)|mn|13，|mn|的取值范围为(13，)(3)假设存在满足题意的实数 a，b，c 及 t，f(x)ax2(ab)xcax2(1ba)xca ax2(1aca)xca ax2(2t)xt(t1)，f(x)的对称轴为 x1t22，1t14，左边的最小值在 x14处取得，此时 x212x11618116，不成立，综上 的取值范围是 1，即(，1 6.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为 G(x)万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入 R(x)满足 R(x)0.4x24.2x0.8 0 x5，10.2 x5，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？解析：依题意得 G(x)x2，设利润函数为 f(x)，则 f(x)R(x)G(x)，所以 f(x)0.4x23.2x2.8 0 x5，8.2x x5，(1)要使工厂有盈利，则有 f(x)0，因为 f(x)0 0 x5，0.4x23.2x2.80或 x5，8.2x0 0 x5，x28x70或 5x8.2 0 x5，1x7或 5x8.2 1x5 或 5x8.21x8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内(2)当 0 x5 时，f(x)0.4(x4)23.6，故当 x4 时，f(x)有最大值 3.6.而当 x5 时，f(x)8.253.2，所以当工厂生产 400 台产品时，盈利最大，又 x4 时，R442.4(万元/百台)240(元/台)故此时每台产品的售价为 240 元 7.若 a1，解关于 x 的不等式axx21.解析 a0 时，不等式的解集为 axx21a1x2x20(a1)x2(x2)0.a1，a10.化为(x21a)(x2)0，当 0a2，不等式的解为 2x21a；当 a1，21a2，不等式解为21ax2，当 0a1 时，不等式解集为x|2x21a；当 a0 时，不等式解集为x|21ax2；当a0 时，解集为.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知3AB 米，2AD 米（1）要使矩形AMPN的面积大于 32 平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值 【答案】（1）20,6,3；（2）当DN的长为 2 米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米【解析】（1）设DN的长为0 x x 米，则()2ANx米 DNDCANAM，32xAMx，232AMPNxSAN AMx，由32AMPNS，得23232xx 又0 x，得2320120 xx，解得：203x或6x，即DN长的取值范围是20,6,3（2）矩形花坛AMPN的面积为 22323121212123122 31224xxxxxxxyxx，当且仅当123xx，即2x 时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值 24 故DN的长为 2 米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为 24 平方米