学案直线与圆锥曲线的位置关系.pptx

考点一考点一考点二考点二考点三考点三名师伴你行第1页/共30页返回目录 1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线 ，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组 ，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.相交、相切、相离 解的个数 名师伴你行第2页/共30页 Ax+By+C=0 f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是 .当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 .当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 .（2）若a0，设=b2-4ac.0时，直线与圆锥曲线相交于 ；=0时，直线与圆锥曲线 ；0得-k ，且k1时，方程（*）有两解，方程组有两解.故直线与双曲线有两个交点.【解析】联立方程组消去y，得名师伴你行返回目录 第6页/共30页（3）当1-k20，由=4(4-3k2)=0得k=时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.（4）当1-k20，由=4(4-3k2)0得k 时，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=1或k=时，直线与双曲线有一个公共点；当-k-1或-1k1或1k 时，直线与双曲线有两个公共点；当k 时，直线与双曲线无公共点.【评析】研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0两种情况.名师伴你行返回目录 第7页/共30页对应演练在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆 +y2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.名师伴你行返回目录 第8页/共30页(1)由已知，得直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程，得 +(kx+)2=1,整理，得(+k2)x2+2 kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4(+k2)=4k2-20,解得k .即k的取值范围为(-,-)(,+).名师伴你行返回目录 第9页/共30页（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程，得x1+x2=.又y1+y2=k(x1+x2)+2 ，而A(2,0),B(0,1),AB=(-,1).所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将代入上式，解得k=.由（1）知k .故没有符合题意的常数k.名师伴你行返回目录 第10页/共30页考点二 弦长问题【例2】已知双曲线C1:=1,抛物线C2的顶点是坐标原点O，焦点是双曲线C1的左焦点F.（1）求抛物线C2的方程；（2）过F作直线（不垂直x轴）交抛物线C2于P，Q两点，使POQ的面积为6（O为原点），这样的直线是否存在？若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.【分析】（1）求出点F从而确定P，求出C2的方程.（2）利用弦长公式求|PQ|的长度，从而计算SPOQ.名师伴你行返回目录 第11页/共30页【解析】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故c=|a|，依题意，抛物线C2的方程为y2=-4|a|x.（2）设存在满足题意的直线PQ，其方程为y=k(x+|a|)(k0),即x=-|a|(k0),又设点P，Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把x=-|a|代入抛物线C2的方程，化简并整理得ky2+4|a|y-12ka2=0,于是y1+y2=,y1y2=-12a2,(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=+48a2=,名师伴你行返回目录 第12页/共30页又原点O到直线PQ的距离为 且SPOQ=6,故 ,化简得 ，即k2(1-a4)=a4.当|a|1时，不成立，|a|1时，直线PQ不存在；当|a|0.名师伴你行返回目录 第22页/共30页【评析】“点差法”使用的前提是以该点为中点的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直线方程必须验证是否与曲线相交，即要验证的符号.（2）假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为2x-y-1=0.2x2-y2=2 2x-y-1=0 =16-432=-80，即n2 ,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=,设AB中点M(x0,y0)，则x0=n,y0=-x0+n=,即M(n,n),又点M在直线y=4x+m上，n=+m,n=m,即(m)2 ,-m .由消去y得名师伴你行返回目录 第26页/共30页 Ax+By+C=0 f(x,y)=0时，ax2+bx+c=0，这时，要考虑a=0 和 a 0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考 虑全面，除a0,=0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点（=0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件）.1.解方程组若消去y，得到关于 x 的方程名师伴你行返回目录 第27页/共30页2.涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法（“平方差法）找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系.3.有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：两点连线与该直线垂直（斜率互为负倒数）；中点在此直线上（中点坐标适合对称轴方程）.4.解决平面几何问题，需将平面几何知识转化为代数式子表示.名师伴你行返回目录 第28页/共30页名师伴你行第29页/共30页谢谢您的观看！第30页/共30页