黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷+.docx

黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=xN|1<x4 ， B=1,1,3,5 ，则 AB= （） A0,4B1,3C1,1,2,3,4,5D1,0,1,2,3,4,52一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A12B13C14D23已知cos=513，且为第四象限角，则tan=（）A125B512C125D5124函数f(x)=2x3e|x|的图象大致是（）ABCD52021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除现已知3H的质量M(kg)随时间t（年）的指数衰减规律是：M=M020.008t（其中M0为3H的初始质量）则当3H的质量衰减为最初的38时，所经过的时间为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A125年B175年C255年D1050年6在（0，）内，使tanx>3成立的x的取值范围为（）A（3，2）B(0,2)(23,)C(0,2)(2,23)D(0,23)7享有“数学王子称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一y=x被称为“高斯函数”，其中xR，x表示不超过x的最大整数，例如2.1=2，3=3，1.5=2，设x0为函数f(x)=log3x+x5的零点，则x0=（）A3B4C5D68已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x)，当x(0，1时，f(x)=2x+lnx，则f(2021)=（）A2B2C12D12二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（）Atan(6)=tan(56+)Bsin(3+)=cos(6)Ctan2sin2=tan2sin2Dsin4cos4=2sin2110下列命题正确的是（）Aa>1，b>1是a2+b2>2的充分不必要条件Bx>0是2x>x2的充分条件Cx(3,+)，2x<3x1Dx(0,+)，2x>x3+x211已知函数f(x)=12(cosx+|cosx|)，则下列说法正确的是（）Af(x)的最小正周期为2Bf(x)为偶函数Cf(x)的值域为12,1Dff(x)>12恒成立12已知1>a>b>0，则下列不等关系一定正确的是（）Alogb(ab)>2B1+ab2>1+ba2Ca1b>b1aDln3ab>2b8a三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若函数y=(m2m1)xm是幂函数，且是偶函数，则m .14已知角的终边经过点(1,2)，则2sin+cos= 15函数f(x)=(xa)2,x02x+12x,x>0，若f(x)a2恒成立，则实数a的取值范围是 16以下各式的值都等于同一个常数a，请你观察，写出这个常数a的值 ；根据你的理解，写出一个符合这些式子规律的等式 sin210°+cos270°+3sin10°cos70°=asin215°+cos275°+3sin15°cos75°=asin225°+cos285°+3sin25°cos85°=asin230°+cos290°+3sin30°cos90°=a四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17化简求值：（1）(278)230+log223log4169+eln2；（2）已知tan=2，求2sin()+sin(2+)cos()+sin(3)的值18设全集U=R，集合A=x|x(x5)<0，非空集合B=x|12a2x1+2a，其中a0（1）当a=1时，求(UA)(UB)（2）若“xA”是“xB”的_条件，求a的取值范围（请在“充分；必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）19已知函数f(x)=2sin(2x6)，xR（1）若f(x0)=3，求x0的值；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）当x6,512时，求f(x)的最大值和最小值20在市场调研的基础上，某工厂今年1月、2月、3月份分别生产了A产品100件、120件、130件为了估测该产品以后各月所需的生产量，甲、乙两人均以这三个月的生产量为依据进行了模拟试验甲选择的数学模型是：y=px2+qx+r，乙选择的数学模型是：y=abx+c，（其中y为A产品的生产量，x为月份数，p，q，r，a，b，c都是常数），现已知4月份和5月份实际需要生产A产品136件和138件据此，你认为谁选择的模型更符合实际？（请写出选择的结果和理由）21设函数f(x)=ax2+bx2，g(x)=x+1用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=maxf(x),g(x)已知关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,2)（1）求实数a，b的值，并写出M(x)的解析式；（2）若x0R，使得M(x0)log12(2k1k+1)成立，求实数k的取值范围22已知函数f(x)=ln(axx+1b)（a>b，a0）的图象关于原点对称（1）求实数a，b的值；（2）判断f(ex)在区间(0,+)上的单调性（只写出结论即可）；若关于x的方程f(ex)+ln(m+3)x=0在区间(0,ln5上有两个不同的解，求实数m的取值范围答案解析部分1【答案】D【考点】并集及其运算【解析】【解答】因为 A=0,1,2,3,4 ， B=1,1,3,5 ，所以 AB=1,0,1,2,3,4,5 . 故答案为：D.【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出集合A，再利用并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。2【答案】C【考点】扇形的弧长与面积【解析】【解答】设该扇形的圆心角的弧度数为，因为扇形所在半径为4的扇形，其弧长为1，可得×4=1，解得=14。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合弧长公式，进而求出该扇形的圆心角的弧度数。3【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】由题意，在第四象限，则sin=1cos2=1213tan=sincos=125。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值。4【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】由f(x)=2(x)3e|x|=2x3e|x|=f(x)，可知f(x)为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B；令f(x)=0，可知x=0，可知图象与x轴只有一个交点，排除C .故答案为：D【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，再结合当f(x)=0，可知x=0，从而推出图象与x轴只有一个交点，再利用排除法找出函数的大致图象。5【答案】B【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】设所经过的时间为t年，根据题意M020.008t=38M00.008t=log238=lg38lg2=lg33lg2lg2=lg3lg23=0.480.303=1.4，所以t=1.40.008=175。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合换底公式和对数的运算法则，从而求出当3H的质量衰减为最初的38时所经过的时间。6【答案】B【考点】正切函数的图象【解析】【解答】画出y=tanx(0<x<)和直线y=3的图象，由图象可得tanx>3,在(0,)上解集为(0,2)(23,)。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合正切函数的图像，从而求出在（0，）内，使tanx>3成立的x的取值范围。7【答案】A【考点】函数单调性的性质；函数零点的判定定理【解析】【解答】因为函数f(x)=log3x+x5在(0,+)上单调递增，且f(3)=1<0,f(4)=log341>0，则存在唯一零点x0(3,4)，使得f(x0)=0，由高斯函数的定义可知，x0=3。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出x0的值。8【答案】A【考点】奇函数；函数的周期性；函数的值【解析】【解答】依题意，函数f(x)的周期为3，故f(2021)=f(3×673+2)=f(2)，又因为f(2)=f(1)=f(1)=(2+ln1)=2，f(2021)=2。故答案为：A【分析】利用已知条件结合周期函数的定义，从而推出函数f(x)的周期，再利用函数的周期性和奇函数的定义，从而求出函数值。9【答案】B,C,D【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值【解析】【解答】对于A，tan(6)=tan(56+)=tan(56+)，A不符合题意；对于B，sin(3+)=sin2+(6)=cos(6)，B符合题意；对于C，tan2sin2=sin2cos2sin2=1cos2cos2sin2=(1cos21)sin2=sin2cos2sin2=tan2sin2，C符合题意；对于D，sin4cos4=(sin2+cos2)(sin2cos2)=sin2cos2=sin2(1sin2)=2sin21，D符合题意.故答案为：BCD.【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而找出恒成立的选项。10【答案】A,C,D【考点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】对于A中，由a>1，b>1，可得a2+b2>2，所以充分性成立，反之：例如a=1,b=2时，满足a2+b2>2，但a>1不成立，所以必要性不成立，所以a>1，b>1是a2+b2>2的充分不必要条件，所以A符合题意；对于B中，当x=2时，可得2x=x2=4，所以充分性不成立，所以B不正确；对于C中，令f(x)=(23)x,x(3,+)，根据指数函数的性质，可得函数f(x)在(3,+)上为单调递减函数，所以f(x)<(23)3=827<13，可得(23)x<13，所以x(3,+)，2x<3x1，所以C符合题意；对于D中，当x=14时，可得214=1,(14)3+(14)2=564，此时1>564，所以命题“x(0,+),2x>x3+x2”为真命题.故答案为：ACD.【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再结合全称命题和特称命题真假性判断方法，从而找出命题正确的选项。11【答案】A,B,D【考点】函数的值域；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；三角函数的周期性及其求法【解析】【解答】由题意，若cosx0，则f(x)=cosx，若cosx<0，则f(x)=0，函数图象如下：由图可知，函数的最小正周期为2且为偶函数，值域为0,1，则A,B符合题意,C不符合题意；对D，设t=f(x),t0,1，所以f(t)=12(cost+|cost|)=cost，因为函数f(t)在0,3上单调递减，所以f(t)cos1>cos3=12.D符合题意.故答案为：ABD.【分析】由题意结合分类讨论的方法和绝对值的定义，得出分段函数f(x)的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像结合周期函数的定义和偶函数图象的对称性，得出函数的最小正周期为2且为偶函数，再利用分段函数的图像求出分段函数的值域；再利用换元法，设t=f(x),t0,1，所以f(t)=12(cost+|cost|)=cost，再利用余弦函数的图象判断出余弦函数f(t)在0,3上的单调性，再结合余弦函数的单调性，从而得出 ff(x)>12恒成立，进而找出说法正确的选项。12【答案】B,D【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小；不等式的基本性质【解析】【解答】对A，取b=14,a=12，则log1418=log48=log2223=32<2，A不符合题意；对C，取b=14,a=12，则a1b=124=72,b1a=142=74，C不符合题意；对B，由题意，1>a2>b2>01<1a2<1b2，易知1<1+b<1+a<2，所以1+ba2<1+ab2，B符合题意；对D，问题等价于ln3alnb>2b23a23a+ln3a>2b+lnb，易知函数y=2x+lnx在(0,+)上是增函数，而3a>b>0，则23a+ln3a>2b+lnb成立，D符合题意.故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合赋值法结合对数的运算法则，从而得出选项A、C正确；再利用已知条件结合不等式的基本性质得出不等式1+ba2<1+ab2成立；再利用已知条件结合对数的运算法则，将问题等价于ln3alnb>2b23a23a+ln3a>2b+lnb，再利用增函数定义易知函数y=2x+lnx在(0,+)上是增函数，而3a>b>0，再利用函数的单调性，则23a+ln3a>2b+lnb成立，从而找出不等关系一定正确的选项。13【答案】2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【解答】因为函数是幂函数，所以m2m1=1，解得：m=2或m=1，当m=2时，函数y=x2是偶函数，成立，当m=1时，函数y=x1是奇函数，不成立。故答案为：2。【分析】利用已知条件结合幂函数的定义得出m的取值，再结合分类讨论的方法结合偶函数的定义，进而求出满足要求的m的值。14【答案】355【考点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】因为角的终边经过点(1,2)，所以sin=21+4=255，cos=11+4=55，所以2sin+cos=355。故答案为：355。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而求出角的正弦值和余弦值，进而求出2sin+cos的值。15【答案】0,2【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用【解析】【解答】由题意，函数f(x)=(xa)2,x02x+12x,x>0，当x>0时，f(x)=2x+12x22x12x=2，当且仅当2x=12x时，即2x=1，即x=0时，等号成立，因为x>0，所以f(x)>2，又由f(x)a2恒成立，所以a22，即2a2；当x0时，由f(x)a2恒成立，即(xa)2a2恒成立，即x(x2a)0恒成立，因为x0，所以x2a0恒成立，即ax2恒成立，即a0，综上可得，实数a的取值范围是0,2。故答案为：0,2。【分析】由题意，函数f(x)=(xa)2,x02x+12x,x>0，再利用分类讨论的方法，当x>0时结合均值不等式求最值的方法得出分段函数f(x)的最小值，再利用x>0，所以f(x)>2，又由f(x)a2恒成立，从而结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围，当x0时，由f(x)a2恒成立，即x(x2a)0恒成立，再利用x0，所以x2a0恒成立，即ax2恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。16【答案】14；sin2+cos2(+60°)+3sincos(+60°)=14【考点】归纳推理；任意角三角函数的定义【解析】【解答】sin230°+cos290°+3sin30°cos90°=14+0+3×12×0=14，所以a=14；根据题中四个等式，猜想sin2+cos2(+60°)+3sincos(+60°)=14，下面证明猜想：sin2+cos2(+60°)+3sincos(+60°)=1cos22+1+cos(2+120°)2+3sin(12cos32sin)=1cos22+112cos232sin22+32sincos32sin2=12cos22+1214cos234sin2+34sin232×1cos22=(12+1234)(12+1434)cos2+(34+34)sin2=14，所以sin2+cos2(+3)+3sincos(+3)=14。故答案为：14；sin2+cos2(+60°)+3sincos(+60°)=14。【分析】利用已知条件sin230°+cos290°+3sin30°cos90°结合特殊角的三角函数值，从而求出a的值；根据题中四个等式，从而找出规律，进而猜想出sin2+cos2(+60°)+3sincos(+60°)=14，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及两角和的余弦公式，从而证出猜想出的等式。17【答案】（1）解：原式=(23)21+log223log243+2=491+log212+2=49（2）解：原式=2sin+coscossin=2tan+11tan=2×(2)+11(2)=1【考点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，从而化简求值。 （2）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而求出 2sin()+sin(2+)cos()+sin(3)的值 。18【答案】（1）解：a=1时，B=x|1x3，所以UB=(,1)(3,+)， 因为A=x|x(x5)<0，A=(0,5)，所以UA=(,05,+)，(UA)(UB)=(,1)5,+)（2）解：因为a0，所以12a21+2a，故B若选，则AB，所以12a201+2a5a0，解得a2所以，选时，a2若选，则BA，所以12a2>01+2a<5a0，解得0a<22所以，选时，0a<22【考点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合B，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 (UA)(UB)。（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出 “xA”是“xB”的充分条件或必要条件，进而求出实数a的取值范围。19【答案】（1）解：由题意：f(x0)=2sin(2x06)=3，即sin(2x06)=32，2x06=2k+3，kZ，或2x06=2k+23，kZ，即x0=k+4，kZ，或x0=k+512，kZ（2）解：由题意，2k22x62k+2，kZ，k6xk+3，kZ，即f(x)的单调递增区间为k6,k+3，kZ（3）解：当x6,512时，设t=2x6，则6t23，由三角函数的图象与性质可知：当t=6，即x=6时，ymin=1，当t=2，即x=3时，ymax=2.【考点】函数的值；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出 x0 的值。（2）利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数的单调递增区间。 （3)利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，从而求出正弦型函数在 x6,512时的最大值和最小值 。20【答案】解：甲选择模型f(x)=px2+qx+r时，则p+q+r=1004p+2q+r=1209p+3q+r=130，解得p=5q=35r=70，故y=5x2+35x+70，所以，当x=4时，y=5×42+35×4+70=130件；当x=5时，y=5×52+35×5+70=120件乙选择模型g(x)=abx+c时，则ab+c=100ab2+c=120ab3+c=130，解得a=80b=0.5c=140，故y=80×0.5x+140，所以，当x=4时，y=80×0.54+140=135件；当x=5时，y=80×0.55+140=137.5件因为4月份和5月份实际需要生产A产品136件和138件，而甲选择的模型4月份和5月份生产A产品分别为130件、120件；乙选择的模型4月份和5月份生产A产品分别为135件、137.5件所以，乙选择的数学模型比较符合实际【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合代入法，从而解方程组求出函数的模型，进而找出更符合实际的函数模型。21【答案】（1）解：f(x)=ax2+bx2<0的解集为(1,2)，方程ax2+bx2=0的两根分别为1和2，由韦达定理可得：1+2=ba1×2=2a，解得a=1b=1，f(x)=x2x2令x+1=x2x2，解得x=1或x=3，作出M(x)的图象如下图所示：则M(x)=x2x2,x1x+1,1<x3x2x2,x>3（2）解：由（1）得，当x=1时，M(x)有最小值，即M(x)min=0，x0R，使得M(x0)log12(2k1k+1)，只需M(x)min=0log12(2k1k+1)即可，log121log12(2k1k+1)，2k1k+1>02k1k+11，得k>12或k<11<k2，故k(12,2【考点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义；对数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】（1）利用 f(x)=ax2+bx2<0的解集为(1,2)结合一元二次不等式求解集的方法，再结合韦达定理得出a,b的值，从而求出函数 f(x)=ax2+bx2的解析式， 令x+1=x2x2，解得方程的解，再利用 M(x)=maxf(x),g(x)作出分段函数 M(x)的图象，进而求出分段函数 M(x)的解析式。（2） 由（1）结合分段函数的图像得出当x=1时，M(x)有最小值，即M(x)min=0，再利用x0R，使得M(x0)log12(2k1k+1)，所以只需M(x)min=0log12(2k1k+1)即可，再利用对数的运算法则得出log121log12(2k1k+1)，再利用对数函数的单调性和对数型函数的定义域，从而解不等式组结合交集的运算法则，从而求出实数k的取值范围。22【答案】（1）解：因为f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0，整理得ln(ab)x+bx1×(ab)xbx+1=0，即(ab)2x2b2=x21，对于定义域内任意x都成立，(ab)2=1b2=1，解得a=2b=1（或a=2b=1舍去）（2）解：由（1）得f(x)=ln(2xx+11)=lnx1x+1，y=f(ex)=ln(12ex+1)，设t=12ex+1，则y=lnt，t=12ex+1与y=lnt在(0,+)上均单调递增，y=f(ex)在区间(0,+)上的单调递增（只要写出结论即可）由知lnex1ex+1x+ln(m+3)=0，可得lnex1ex+1lnex+ln(m+3)=0，即m+3=ex(ex+1)ex1在区间(0,ln5上有两个不同的解，令u=ex1，u(0,4，m+3=ex(ex+1)ex1=(u+1)(u+2)u=u+2u+3，m=u+2u，u(0,4，由基本不等式：u+2u22，当且仅当u=2时等号成立，m=u+2u在(0,2上单调递减，在2,4上单调递增，且u=4时m=92m(22,92使原方程有两个不等的实数解【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】（1）利用函数 f(x)的图象关于原点对称结合奇函数的图像的对称性，所以函数f(x)为奇函数，再利用奇函数的定义，整理得(ab)2x2b2=x21，对于定义域内任意x都成立，再利用等式恒成立问题求解方法，进而解方程组求出满足要求的a,b的值。（2） 由（1）得f(x)=lnx1x+1，y=f(ex)=ln(12ex+1)，设t=12ex+1，则y=lnt，再利用增函数的定义得出函数t=12ex+1与函数y=lnt在(0,+)上均单调递增，从而判断出函数y=f(ex)在区间(0,+)上的单调递增。由知lnex1ex+1x+ln(m+3)=0，可得m+3=ex(ex+1)ex1在区间(0,ln5上有两个不同的解，令u=ex1，u(0,4，所以m=u+2u，u(0,4，由均值不等式求最值的方法得出u+2u22，再利用m=u+2u在(0,2上单调递减，在2,4上单调递增，且u=4时，m=92，从而得出关于x的方程f(ex)+ln(m+3)x=0在区间(0,ln5上有两个不同的解时的实数m的取值范围 。