2019年度高考.数学-三角函数大题综合训练.doc

2017 三角函数大题综合训练三角函数大题综合训练一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1 （2016白山一模）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知=（1）求角 C 的大小， （2）若 c=2，求使ABC 面积最大时 a，b 的值2 （2016广州模拟）在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A （I）求角 A 的大小； （）若ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值3 （2016成都模拟）已知函数 f（x）= cos2xsinxcosx sin2x（）求函数 f（x）取得最大值时 x 的集合；（）设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ，f（C）= ，求 sinA 的值4 （2016台州模拟）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角 C 的值；（2）若 b=2，ABC 的面积，求 a 的值5 （2016惠州模拟）如图所示，在四边形 ABCD 中，D=2B，且 AD=1，CD=3，cosB=（）求ACD 的面积； （）若 BC=2，求 AB 的长6 （2015山东）ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求 sinA 和 c 的值7 （2015新课标 I）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC （）若 a=b，求 cosB； （）设 B=90°，且 a=，求ABC 的面积8 （2015湖南）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=btanA （）证明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C9 （2015新课标 II）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍（1）求；（2）若 AD=1，DC=，求 BD 和 AC 的长10 （2015湖南）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B 为钝 角（）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围11 （2015四川）已知 A、B、C 为ABC 的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求 C 的大小 （）若 AB=3，AC=，求 p 的值12 （2015河西区二模）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C13 （2015浙江）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A=，b2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值14 （2015陕西）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c向量 =（a，b） 与 =（cosA，sinB）平行 （）求 A； （）若 a=，b=2，求ABC 的面积15 （2015江苏）在ABC 中，已知 AB=2，AC=3，A=60° （1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值16 （2015天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= （）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos（2A+）的值17 （2015怀化一模）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c=asinCccosA（1）求角 A； （2）若 a=2，ABC 的面积为，求 b，c18 （2015甘肃一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求 cosB 的值；（）若，且，求 a 和 c 的值19 （2015衡水四模）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，函数 f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR）在 x=处取得最大值（1）当时，求函数 f（x）的值域；（2）若 a=7 且 sinB+sinC=，求ABC 的面积20 （2015潍坊模拟）已知函数 f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR） （）当 x0，时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，求 a，b 的值21 （2015济南二模）已知向量=（cos（2x） ，cosx+sinx） ，=（1，cosxsinx） ，函数 f（x）=（）求函数 f（x）的单调递增区间； （）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）=，a=2，B=，求ABC 的面积 S22 （2015和平区校级三模）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且a=3，b=4，B=+A（1）求 cosB 的值； （2）求 sin2A+sinC 的值23 （2015洛阳三模）在锐角ABC 中，=（1）求角 A； （2）若 a=，求 bc 的取值范围24 （2015河北区一模）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 2cosAcosC+1=2sinAsinC （）求 B 的大小；（）若，求ABC 的面积25 （2015云南一模）在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC） ， =（sinB，sinB+sinCsinA） ，若（1）求 A 的大小；（2）设为ABC 的面积，求的最大值及此时 B 的值26 （2015历下区校级四模）已知向量，若（） 求函数 f（x）的最小正周期； （） 已知ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且a=3，（A 为锐角） ，2sinC=sinB，求 A、c、b 的值27 （2015高安市校级模拟）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求 A 的大小； （2）若 a=6，求 b+c 的取值范围28 （2015威海一模）ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，sin（BA）=cosC（）求 A，B，C；（）若 SABC=3+，求 a，c29 （2015新津县校级模拟）已知向量，函数 f（x）=（）求函数 f（x）的单调递增区间； （）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（B） =1，b=，sinA=3sinC，求ABC 的面积30 （2015和平区二模）在ABC 中，角 A，B，C 为三个内角，已知cosA= ，cosB= ，BC=5（）求 AC 的长； （）设 D 为 AB 的中点，求 CD 的长三角函数大题综合训练三角函数大题综合训练参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1 （2016白山一模）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知=（1）求角 C 的大小， （2）若 c=2，求使ABC 面积最大时 a，b 的值 【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两 角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出 C 的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值， 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值，以及此时 a 与 b 的值即可【解答】解：（1）A+C=B，即 cos（A+C）=cosB，由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA， sinA0，cosC= ，C 为三角形内角，C=；（）c=2，cosC= ，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即 4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab ， （当且仅当 a=b 时成立） ，S= absinC=ab，当 a=b 时，ABC 面积最大为，此时 a=b=，则当 a=b=时，ABC 的面积最大为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练 掌握定理及公式是解本题的关键2 （2016广州模拟）在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A （I）求角 A 的大小； （）若ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值 【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到 cosA 的值，即可求解 A （II）通过三角形的面积求出 b、c 的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可【解答】解：（I）由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA2=0，（2 分）即（2cosA1） （cosA+2）=0解得 cosA= 或 cosA=2（舍去） （4 分）因为 0A，所以 A=（6 分）（II）由 S= bcsinA= bc=bc=5，得 bc=20又 b=5，所以 c=4（8 分）由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故 a=（10 分）又由正弦定理，得 sinBsinC= sinA sinA=sin2A=× = （12 分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想 以及计算能力3 （2016成都模拟）已知函数 f（x）= cos2xsinxcosx sin2x（）求函数 f（x）取得最大值时 x 的集合；（）设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ，f（C）= ，求 sinA 的值 【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形 【分析】 （）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函 数 f（x）取得最大值时 x 的集合（）由条件求得 cos（2C+）=，C=，求出 sinB 的值，再根据 sinA=sin（B+C）求得它的值 【解答】解：（）函数 f（x）= cos2xsinxcosx sin2x=cos2xsinxcosx+ （cos2xsin2x ）=sin2x+ cos2x= +cos（2x+） ，故函数取得最大值为，此时，2x+=2k 时，即 x 的集合为 x|x=k，kZ（）设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ，f（C）= +cos（2C+）= ，cos（2C+）=，又 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，2C+=，C=cosB= ，sinB= ，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于 中档题4 （2016台州模拟）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角 C 的值；（2）若 b=2，ABC 的面积，求 a 的值【考点】余弦定理；三角形的面积公式菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （1）利用余弦定理，可求角 C 的值； （2）利用三角形的面积公式，可求 a 的值【解答】解：（1）c2=a2+b2ab，cosC= ，0°C180°，C=60°；（2）b=2，ABC 的面积，=，解得 a=3【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键5 （2016惠州模拟）如图所示，在四边形 ABCD 中，D=2B，且 AD=1，CD=3，cosB=（）求ACD 的面积； （）若 BC=2，求 AB 的长【考点】余弦定理的应用；正弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （）利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求ACD 的面积； （）利用余弦定理求出 AC，通过 BC=2，利用正弦定理求解 AB 的长 【解答】 （共 13 分）解：（）因为D=2B，所以 （3 分）因为D（0，） ，所以 （5 分）因为 AD=1，CD=3，所以ACD 的面积（7 分）（）在ACD 中，AC2=AD2+DC22ADDCcosD=12所以 （9 分）因为 ，（11 分）所以 所以 AB=4（13 分） 【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查6 （2015山东）ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求 sinA 和 c 的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得； 利用正弦定理解之【解答】解：因为ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以 sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以 sinA+cosA=，结合平方关系 sin2A+cos2A=1，得 27sin2A6sinA16=0，解得 sinA=或者 sinA=（舍去） ；由正弦定理，由可知 sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以 a=2c，又 ac=2，所以 c=1 【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三 角函数的基本关系式、正弦定理等知识7 （2015新课标 I）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC （）若 a=b，求 cosB； （）设 B=90°，且 a=，求ABC 的面积 【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形【分析】 （I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出 （II）利用（I）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck， b2=2ac， a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB= （II）由（I）可得：b2=2ac， B=90°，且 a=，a2+c2=2ac，解得 a=c=SABC=1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题8 （2015湖南）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=btanA （）证明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C【考点】正弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形【分析】 （）由正弦定理及已知可得=，由 sinA0，即可证明 sinB=cosA（）由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B= ，结合范围可求 B，由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C 【解答】解：（）证明：a=btanA =tanA，由正弦定理：，又 tanA=，=，sinA0， sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，sin2B= ，0B，sinB=，B 为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用， 属于基础题9 （2015新课标 II）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍（1）求；（2）若 AD=1，DC=，求 BD 和 AC 的长【考点】正弦定理；三角形中的几何计算菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （1）如图，过 A 作 AEBC 于 E，由已知及面积公式可得 BD=2DC，由 AD 平分BAC 及正弦定理可得 sinB=，sinC=，从而得解（2）由（1）可求 BD=过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，由 AD 平分 BAC，可求 AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长 【解答】解：（1）如图，过 A 作 AEBC 于 E，=2BD=2DC， AD 平分BAC BAD=DAC在ABD 中，=，sinB=在ADC 中，=，sinC=；= 6 分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N， AD 平分BAC， DM=DN，=2，AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x， BAD=DAC， cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：=，x=1， AC=1， BD 的长为，AC 的长为 1【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本 知识的考查10 （2015湖南）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=btanA，且 B 为钝 角（）证明：BA=；（）求 sinA+sinC 的取值范围 【考点】正弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （）由题意和正弦定理可得 sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得 A（0，） ，可得 0sinA，化简可得 sinA+sinC=2（sinA ）2+，由二次函数区间的最值可得【解答】解：（）由 a=btanA 和正弦定理可得= =，sinB=cosA，即 sinB=sin（+A）又 B 为钝角，+A（，） ，B=+A，BA=；（）由（）知 C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，） ，sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA ）2+ ，A（0，） ，0sinA，由二次函数可知2（sinA ）2+ sinA+sinC 的取值范围为（， 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础 题11 （2015四川）已知 A、B、C 为ABC 的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求 C 的大小 （）若 AB=3，AC=，求 p 的值 【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用；解三角形【分析】 （）由判别式=3p2+4p40，可得 p2，或 p ，由韦达定理，有 tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由两角和的正切函数公式可求 tanC=tan（A+B）=，结合 C 的范围即可求 C 的值（）由正弦定理可求 sinB=，解得 B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求 p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程 x2+pxp+1=0 的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以 p2，或 p 由韦达定理，有 tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而 tan（A+B）=所以 tanC=tan（A+B）=，所以 C=60°（）由正弦定理，可得 sinB=，解得 B=45°，或 B=135°（舍去） 于是，A=180°BC=75°则 tanA=tan75°=tan（45°+30°）=2+所以 p=（tanA+tanB）=（2+）=1【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能 力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题12 （2015河西区二模）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦 定理表示出 cosB，将关系式代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三 角函数值即可求出 B 的度数；（II）由（I）得到 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos（AC） ，变形后将 cos（A+C）及 2sinAsinC 的值代入求出 cos（AC）的值，利用特殊角的三角函数值求出AC 的值，与 A+C 的值联立即可求出 C 的度数【解答】解：（I）（a+b+c） （ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB= ，又 B 为三角形的内角， 则 B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，sinAsinC=，cos（A+C）= ，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，AC=30°或 AC=30°，则 C=15°或 C=45° 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握余弦定理是解本题的关键13 （2015浙江）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A=，b2a2= c2（1）求 tanC 的值； （2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值 【考点】余弦定理菁优网版权所有 【专题】解三角形【分析】 （1）由余弦定理可得：，已知 b2a2= c2可得，a=利用余弦定理可得 cosC可得 sinC=，即可得出 tanC=（2）由=×=3，可得 c，即可得出 b【解答】解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又 b2a2= c2bcc2= c2b= c可得，a2=b2=，即 a=cosC=C（0，） ，sinC=tanC=2（2）=×=3，解得 c=2=3【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （2015陕西）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c向量 =（a，b） 与 =（cosA，sinB）平行 （）求 A； （）若 a=，b=2，求ABC 的面积 【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A； （）利用 A，以及 a=，b=2，通过余弦定理求出 c，然后求解ABC 的面积【解答】解：（）因为向量 =（a，b）与 =（cosA，sinB）平行，所以 asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为 sinB0，所以 tanA=，可得 A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得 7=4+c22c，解得 c=3，ABC 的面积为：=【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力15 （2015江苏）在ABC 中，已知 AB=2，AC=3，A=60° （1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值 【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （1）直接利用余弦定理求解即可 （2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+92×2×3× =7，所以 BC=（2）由正弦定理可得：，则 sinC=，ABBC，C 为锐角，则 cosC=因此 sin2C=2sinCcosC=2×=【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围 的解题的关键16 （2015天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3，bc=2，cosA= （）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos（2A+）的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用菁优网版权所有 【专题】解三角形 【分析】 （）通过三角形的面积以及已知条件求出 b，c，利用正弦定理求解 sinC 的值；（）利用两角和的余弦函数化简 cos（2A+） ，然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形 ABC 中，由 cosA= ，可得 sinA=，ABC 的面积为 3，可得：，可得 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4，由 a2=b2+c22bccosA，可得 a=8，解得 sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算 能力17 （2015怀化一模）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c=asinCccosA（1）求角 A； （2）若 a=2，ABC 的面积为，求 b，c 【考点】正弦定理；余弦定理的应用菁优网版权所有 【专题】计算题 【分析】 （1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据 sinC 不为 0，得到一个关系式，再利 用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出 A 的 度数即可； （2）由 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值，由三角形 ABC 的面积，利用面积公式及 sinA 的值，求出 bc 的值，记作；由 a 与 cosA 的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平 方公式变形后，把 bc 的值代入求出 b+c 的值，记作，联立即可求出 b 与 c 的值【解答】解：（1）由正弦定理=化简已知的等式得：sinC=sinAsinCsinCcosA，C 为三角形的内角，sinC0，sinAcosA=1，整理得：2sin（A）=1，即 sin（A）= ，A=或 A=，解得：A=或 A=（舍去） ，则 A=；（2）a=2，sinA=，cosA= ，ABC 的面积为， bcsinA=bc=，即 bc=4；由余弦定理 a2=b2+c22bccosA 得：4=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）212，整理得：b+c=4， 联立解得：b=c=2 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函 数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18 （2015甘肃一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求 cosB 的值；（）若，且，求 a 和 c 的值 【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想【分析】 （1）首先利用正弦定理化边为角，可得 2RsinBcosC=3×2RsinAcosB2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可（2）由向量数量积的定义可得 accosB=2，结合已知及余弦定理可得 a2+b2=12，再根据完 全平方式易得 a=c= 【解答】解：（I）由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinCcosB，故 sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB，可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB， 即 sin（B+C）=3sinAcosB， 可得 sinA=3sinAcosB又 sinA0，因此 （6 分）（II）解：由，可得 accosB=2，由 b2=a2+c22accosB，可得 a2+c2=12，所以（ac）2=0，即 a=c，所以 （13 分） 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量 积的定义等基础知识，考查了基本运算能力19 （2015衡水四模）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，函数 f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR）在 x=处取得最大值（1）当时，求函数 f（x）的值域；（2）若 a=7 且 sinB+sinC=，求ABC 的面积【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有 【专题】解三角形【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数 f（x）的解析式为 sin（2xA） ，由于函数在处取得最大值令，其中 kz，解得 A 的值，（1）由于 A 为三角形内角，可得 A 的值，再由 x 的范围可得函数的值域； （2）由正弦定理求得 b+c=13，再由余弦定理求得 bc 的值，由ABC 的面积等于，算出即可【解答】解：函数 f（x）=2cosxsin（xA）+sinA=2cosxsinxcosA2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosAcos2xsinA=sin（2xA）又函数 f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR）在处取得最大值，其中 kz，即，其中 kz，（1）A（0，） ，A=，2xA，即函数 f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则 sinB+sinC=sinA，即，b+c=13由余弦定理得到 a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccosA即 49=1693bc，bc=40故ABC 的面积为：S=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属 于中档题20 （2015潍坊模拟）已知函数 f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR） （）当 x0，时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，求 a，b 的值 【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算菁优网版权所有 【专题】解三角形【分析】 （I）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为令，kz，求得 x 的范围，结合，可得f（x）的递增区间（）由 f（C）=2，求得，结合 C 的范围求得 C 的值根据向量=（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，可得 ，故有 = ，再由余弦定理得 9=a2+b2ab ，由求得 a、b 的值【解答】解：（I）=令，解得，即，f（x）的递增区间为（）由，得而 C（0，） ，可得向量向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，由正弦定理得： = 由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即 9=a2+b2ab ，由、解得 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的 应用，两个向量共线的性质，属于中档题21 （2015济南二模）已知向量=（cos（2x） ，cosx+sinx） ，=（1，cosxsinx） ，函数 f（x）=（）求函数 f（x）的单调递增区间； （）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）=，a=2，B=，求ABC 的面积 S【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有 【专题】三角函数的图像与性质 【分析】 （）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出 f（x）解析式，利 用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角 的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数 f（x）的单调递增区间；（）由第一问确定出的 f（x）解析式，根据 f（A）=确定出 A 的度数，再由 a，sinB的值，利用正弦定理求出 b 的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出 sinC 的值，利用三角形面积公式即可求出 S【解答】解：（）向量=（cos（2x） ，cosx+sinx） ，=（1，cosxsinx） ，函数 f（x）= =cos（2x）+cos2xsin2x=cos（2x）+cos2x= cos2x+sin2x+cos2x= cos2x+sin2x=sin（2x+） ，令+2k2x+2k（kZ） ，得+kx+k（kZ） ，则函数 f（x）的单调递增区间为+k，+k（kZ） ；（）由 f（A）=sin（2A+）=，得 sin（2A+）= ，A 为ABC 的内角，由题意知 0A，2A+，2A+=，解得：A=，又 a=2，B=，由正弦定理=，得 b=，A=，B=，sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=× +×=，则ABC 的面积 S= absinC= ×2××=【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形 的面积公式，熟练掌握正弦定理是解