1993考研数二真命题及其解析.doc

''19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) . 0limln xxx (2) 函数由方程所确定,则.( )yy x222sin()0xxyexydy dx(3) 设,则函数的单调减少区间是. 11( )(2)(0)xF xdt xt( )F x(4) .tan cosxdxx(5) 已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,则( )yf x1(0,)2( , )x y2ln(1)xx.( )f x 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 当时,变量是 ( )0x 211sinxx (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设 则在点处函数 ( )2|1|,1,( )12, 1,xxf xx x 1x ( )f x(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续(3) 已知 设,则为 ( )2,01,( )1, 12,xxf xx1( )( )xF xf t dt(02)x( )F x(A) (B) 31,013 ,12xxxx 311,0133 ,12xxxx (C) (D) 31,013 1,12xxxx 311,0133 1,12xxxx (4) 设常数,函数在内零点个数为 ( )0k ( )lnxf xxke(0,)''(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若,在内,则在内 ( )( )()f xfx (0,)( )0,( )0fxfx( )f x(,0)(A) (B) ( )0,( )0fxfx( )0,( )0fxfx(C) (D) ( )0,( )0fxfx( )0,( )0fxfx三、三、( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2525 分分.).) (1) 设,其中具有二阶导数,求.2sin ()yf xf22d y dx(2) 求.2lim(100) xxxx (3) 求.4 01 cos2xdxx(4) 求.30(1)xdxx(5) 求微分方程满足初始条件的特解.2(1)(2cos )0xdyxyx dx01xy四、四、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试xyyye2(1)xxyex e确定常数,并求该方程的通解., 五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设平面图形由与所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋A222xyxyxA2x 转体的体积.六、六、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )作半径为的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该最小值.rhV七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设,常数,证明.0x ae()aa xaxa八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设在上连续,且,证明：,其中.( )fx0, a(0)0f20( )2aMaf x dx 0max |( )| x aMfx ''19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】0【解析】这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.0 . 000021 lnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxx 洛(2)【答案】222222 cos() 2 cos()2xyexxy yxyxy 【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程两222sin()0xxyexy边对求导,得x,222cos() (22)20xxyxyyeyxyy化简得 .222222 cos() 2 cos()2xyexxyyyxyxy 【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数( )ug xx( )yf x( )ug x在点可导,且其导数为( )yf g xx或 .( )( )dyf ug xdxdydy du dxdu dx(3)【答案】104x''【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性.0将函数两边对求导,得 . 11( )(2),xF xdttx1( )2F xx若函数严格单调减少,则,即.( )F x1( )20F xx1 2x 所以函数单调减少区间为.( )F x104x【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导.( )yf x , a b( , )a b(1) 如果在内,那么函数在上单调增加；( , )a b( )0fx( )yf x , a b(2) 如果在内,那么函数在上单调减少.( , )a b( )0fx( )yf x , a b(4)【答案】1/22cosxC【解析】 3 2tansinsin coscoscoscosxxdxdxxxdxxxx.31 22coscos2cosxdxxC (5)【答案】222111(1)ln(1)222xxx【解析】这是微分方程的简单应用.由题知 ,分离变量得 ,两边对积分有2ln(1)dyxxdx2ln(1)dyxxdxx.2221ln(1)ln(1) (1)2yxxdxxd x由分部积分法得22222 21112ln(1) (1)(1)ln(1)(1)2221xxd xxxxdxx222221(1)ln(1)2 11(1)ln(1).22xxxdxxxxC因为曲线过点,故,所以所求曲线为( )yf x1(0,)21 2C .222111(1)ln(1)222yxxx二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D)''【解析】因为当时,是振荡函数,所以可用反证法.0x 1sinx若取 ,则,11kxk2 2 1111sin() sin0kkkkxx,则.21 1(2)2kx k 22 2 22111sin(2),(1,2,)2kkkkxx因此,当时,有及,但变量或等于 0 或趋于,这表k 10kx20kx211sinxx明当时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.0x (2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在处连续,则有0x.000lim( )lim( )() xxxxf xf xf x 由题可知,221111|1|1lim( )limlimlim(1)211xxxxxxf xxxx.221111|1|1lim( )limlimlim(1)211xxxxxxf xxxx 因在处左右极限不相等,故在处不连续,因此选(A).( )f x1x 1x (3)【答案】(D) 【解析】这是分段函数求定积分.当时,故,所以01x01xt 2( )f tt.23311111( )( )(1)33xxxF xf t dtt dttx当时,故,所以12x12,tx ( )1f t .111( )( )11xxxF xf t dtdttx应选(D). (4)【答案】(B)【解析】判定函数零点的个数等价于判定函数与的交点个数.( )f x( )yf xx对函数两边对求导,得 .( )lnxf xxkex11( )fxxe令,解得唯一驻点,( )0fxxe''即 ( )0,0;( ), ( )0,;( ),fxxef x fxexf x 严严严严严严 严严严严严严所以是极大值点,也是最大值点,最大值为.xe( )ln0ef eekke又因为 ,00lim( )lim(ln)lim( )lim(ln)xxxxxf xxke xf xxke 由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同).(0, ) e( ,)e 故函数在内零点个数为 2,选项(B)正确.( )lnxf xxke(0,)(5)【答案】(C) 【解析】方法一方法一：由几何图形判断.由知为奇函数,图形关于原点对称；( )(),f xfx ( )f x在内图形单调增加且向上凹,(0,)( )0,( )0,( )fxfxf x根据图可以看出在内增加而凸,选(C).( )f x(,0)( )0,( )0fxfx方法二方法二：用代数法证明.对恒等式两边求导,得( )()f xfx .( )(),( )()fxfxfxfx 当时,有,所以(,0)x (0,)x ,( )()0,( )()0fxfxfxfx 故应选(C).三、三、( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2525 分分.).) (1)【解析】,222sin ()cos ()() 2yf xf xfxx22cos ()() 2yf xfxx2222cos ()() 2cos ()()2f xfxxf xfxx22cos ()() (2 )f xfxx2222222sin () ()(2 )cos ()() (2 )f xfxxf xfxx ''.22cos ()() 2f xfx【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数( )ug xx( )yf x( )ug x在点可导,且其导数为( )yf g xx或 .( )( )dyf ug xdxdydy du dxdu dx(2)【解析】应先化简再求函数的极限,22 22(100) (100)lim(100)lim 100xxxxxxxxxx xx . 22100100limlim11001001xxxxxxx 因为,所以0x . 22100100100limlim5011 11 10011001xxxxx (3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.2 444 000sec1tan1 cos222xxxdxdxxdxx 444 0001111sintantan(0)222 42cosxxxxdxdxx44 00111cosln(cos )82cos82dxxx.1121ln(cos)ln(cos0)lnln282482284(4)【解析】用极限法求广义积分.23 33000(1) 1(1)(1) (1)(1)(1)xxdxdxxxdxxx12 2 00121(1)(1)lim22(1)bbxxxx .221111lim02(1)222bb b ''(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是 ,2 222cos, 1011xxyyxxx 通解为 222211 2cos1xxdxdxxxxyeedxCx2222(1)(1)11 2cos 1d xd xxxxeedxCx.221sincos11xCxdxCxx代入初始条件 ,得 ,所以 .所求特解为 .01xy2sin0101C1C 2sin1 1xyx【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:( )( )yp x yq x,其中为常数.( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxCC四、四、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )【解析】要确定常数,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得., 对于特解,有2(1)xxyex e,222(1)2(2)xxxxxyeex eex e ,2222(2)4(2)4(3)xxxxxxxyex eeex eex e代入方程,得恒等式xyyye,2224(3)2(2)(1)xxxxxxxex eex eex ee化简得,2(42)(32)(1)xxxxeexee比较同类项系数,得,420 32 10 解之得.3,2,1 于是原方程为,所对应的齐次微分方程的特征方32xyyye 320yyy程为,解之得 .2320rr121,2rr''所以微分方程的通解为32xyyye .2*222 121212(1)xxxxxxxxxyc ec eyc ec eex ec ec exe五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.等价于.222xyx22(1)1xy解法一解法一：考虑对的积分,则边界线为y与,2 111xy 2(01)xyy如右图所示.当时, yydy22 12(2)(2)dVxdyxdy222(2 11)(2)yydy .2221(1)yydy所以 .122021(1)Vyydy对于,令,则,所以1201y dysinytcosdytdt；212222 00001111cos(1 cos2 )sin22224y dytdtt dttt对于 ,13112200 0(1)1(1)(1)(1)33yydyydy 所以 .12201121(1)243Vyydy解法二解法二：取为积分变量,则边界线为x与,2 12yxx2(01)yxx如右图所示.当时, xxdx1222 (2)()2 (2)( 2),dVxyy dxxxxx dx所以.1202(2)( 2)Vxxxx dx令,则,所以1xt 1,xt dxdt ''120(2)( 2)xxxx dx.021(1)2(1)(1)(1)ttttdt 02221111ttttdt 再令,则,sintcosdtd 所以 00222212111(cossincossin1)costtttdtd 00002222222cossincossincoscosdddd 00002222221(1 cos2 )coscossinsincos2dddd 0003302 22211cossinsin2sin2233 .111143343 所以 .120112(2)( 2)2 ()43Vxxxx dx六、六、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题.设圆锥底半径为,如图,.R,BCR ACh ODr由,有22,BCODADOAODACAD. 222()2RrhrRhhrrhhr 于是圆锥体积.2 2211(2)332hVR hrrhhr 对上式两端对求导,并令,得h0V ,2 22 2212 (2 )1(4 )03(2 )3(2 )hh hrhh hrVrrhrhr 得唯一驻点,且4hr,24 ,0 4,0rhr V rhV 所以为极小值点也是最小值点,最小体积.4hr38(4 )3VrrADOCB''七、七、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当,常数时,原不等式两边取自然对数可化为0x ae或 .ln()()lnaaxaxaln()lnaxa axa证法一证法一：令,则.( )()lnln()f xaxaaax( )lnafxaax由知故 .,0,ae xln1,1,aaax( )0(0)fxx从而为严格单调递增函数,且( )f x( )()lnln()(0)lnln0,(0)f xaxaaaxfaaaax即 ,()lnln()0axaaax所以 .()aa xaxa证法二证法二：令,则.ln( )xf xx21 ln( )xfxx当时,有,xae21 ln( )0xfxx所以函数在为严格单调递减函数,即,xae()( )f xaf a所以有 ,ln()lnaxa axa即 .()aa xaxa八、八、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 【解析】证法一证法一：用微分中值定理.对任意给定的,由拉格朗日中值定理,得0, xa( )(0)( ) ,(0)f xffxx由,知.因为,所以 (0)0f( )( )f xfx 0max |( )| x aMfx ,|( )| |( )|f xfxMx将两边从做的定积分,有0ax.200|( )|2aaMaf xdxMxdx由定积分的基本性质可知 .200|( )|( )|2aaMaf x dxf xdx''证法二证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的,以及,可知0, xa(0)0f, 0( )( )(0)( )xf t dtf xff x从而 , 0|( )|( )|xf xf tdtMx以下同证法一. 证法三证法三：分部积分法.0000( )( ) () ( )()()( )aaaaf x dxf x d xaf x xaax fx dx. 00 ( )()(0)(0)()( )()( )aaf a aafaax fx dxax fx dx所以 0000( )()( )()( )()aaaaf x dxax fx dxaxfx dxMax dx.22011 22a M axxMa