1996考研数一真命题及其解释分析.doc

19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设,则_.2lim()8xxxa xaa (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为428xyz_.(3) 微分方程的通解为_.22xyyye(4) 函数在点处沿点指向点方向的方向导数22ln()uxyz(1,0,1)AA(3, 2,2)B为_.(5) 设是矩阵,且的秩,而,则_.A4 3A( )2r A 102 020 103B ()r AB 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 已知为某函数的全微分,则等于 ( )2() ()xay dxydy xy a(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2(2) 设有二阶连续导数,且,则 ( )( )f x(0)0f 0( )lim1|xfx x(A) 是的极大值 (0)f( )f x(B) 是的极小值 (0)f( )f x(C) 是曲线的拐点 (0,(0)f( )yf x(D) 不是的极值,也不是曲线的拐点 (0)f( )f x(0,(0)f( )yf x(3) 设,且收敛,常数,则级数0(1,2,)nan1n na(0,)22 1( 1) ( tan)n n nnan( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关(4) 设有连续的导数,且当( )f x(0)0f(0)0f 220( )() ( )xF xxtf t dt0x 时,与是同阶无穷小,则等于 ( )( )F xkxk(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式的值等于 ( )1122334400 00 00 00ab ab ba ba(A) (B) 12341 2 3 4a a a abb b b12341 2 3 4a a a abb b b(C) (D) 121 2343 4()()a abba ab b232 3141 4()()a ab ba abb三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 求心形线的全长,其中是常数.(1 cos )ra0a (2) 设,试证数列极限存在,并求此极限.110x 16(1,2,)nnxxn nx四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1) 计算曲面积分,其中为有向曲面,其(2)Sxz dydzzdxdyS22(01)zxyz法向量与轴正向的夹角为锐角.z(2) 设变换可把方程化简为,求常数,其2 ,uxyuxay 2222260zzz xx yy 2 0z u v a中有二阶连续的偏导数.( , )zz x y五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )求级数的和.2 21 (1)2nnn六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于0x ( )yf x( ,( )x f xy,求的一般表达式. 01( )xf t dtx( )f x七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设在上具有二阶导数,且满足条件,其中都是非( )f x0,1|( )|f xa|( )|fxb, a b负常数,是(0,1)内任一点,证明.c|( )| 22bfca八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是的转置,证明：TAEEnnT(1) 的充要条件是；(2) 当时,是不可逆矩阵.2AA1T 1T A九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知二次型的秩为 2.222 123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x(1) 求参数及此二次型对应矩阵的特征值；c(2) 指出方程表示何种二次曲面.123( ,)1f x x x十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).) (1) 设工厂和工厂的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由和的产品分别占 60%ABAB 和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是A_.(2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量21(0,() )2N的数学期望_.()E十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,1 3Pi=1,2,3,又设,.imax( , )X min( , )Y (1) 写出二维随机变量的分布律：(, )X YX Y123123(2) 求随机变量的数学期望.X()E X19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)【答案】ln2【解析】这是型未定式求极限.1方法一：方法一： ,3 323lim()lim(1)x aax xax axxxaa xaxa令,则当时,3atxax 0t 则 ,1 303lim(1)lim(1)x a atxtatexa即 .33limlim312lim()xxaxa xax axxaeeexa由题设有,得.38ae1ln8ln23a 方法二：方法二：,222 3()2221lim 112limlimlim 11lim 1xxaxa xaxa xxaxxxaaxaaa xaexxxeaxaeaaxxx 由题设有,得.38ae1ln8ln23a (2)【答案】2230xyz【解析】方法一：方法一：所求平面过原点与,其法向量；O0(6, 3,2)M06, 3,2nOM 平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直：；428xyz04, 1,2nn 由此, .00/632446 412ijk nOMnijk 取,则所求的平面方程为.223nijk2230xyz方法二：方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向0(6, 3,2)M量,另一是平面的法向量)平行的平面,06, 3,2OM 428xyz04, 1,2n 即 ,即 .6320 412xyz 2230xyz(3)【答案】12(cossin1)xe cxcx【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为22xyyye,解之得.故对应齐次微分方程的解为.2220rr1,21ri 12(cossin )xye CxCx由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入,1xe*( )xyxae得(也不难直接看出),故所求通解为 22xyyye1a *( )xyxe.1212(cossin )(cossin1)xxxye CxCxee CxCx【相关知识点】 二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程*( )yx的一个特解.是与之对应的齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x( )Y x的通解,则是非齐次方程的通解.( )( )0yP x yQ x y*( )( )yY xyx 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方( )Y x( )( )0yP x yQ x y( )P x( )Q x程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根0ypyqy20rprq；12,r r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为12,r r12 12;rxr xyC eC e(2) 两个相等的实数根,则通解为12rr1 12;rxyCC x e(3) 一对共轭复根,则通解为其中1,2ri12cossin.xyeCxCx为常数.12,C C 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待( )( )( )yP x yQ x yf x*( )yx定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如( )( ),x mf xP x e*( )( )kx myxx Qx e的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方( )mQx( )mP xk程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )cos( )sinx lnf xeP xxP xx的特解可设为( )( )( )yp x yq x yf x,*(1)(2)( )cos( )sinkx mmyx eRxxRxx其中与是次多项式,而按(或)不是特征(1)( ) mRx(2)( ) mRxm max,ml nkii方程的根、或是特征方程的单根依次取为或 .01(4)【答案】1 2【分析】先求方向的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式l,uuu xyz 求出方向导数.coscoscosuuuu lxyz【解析】因为与同向,为求的方向余弦,将lAB l单位化，即得 3 1, 20,2 12, 2,1AB . 12, 2,1cos ,cos,cos3|ABlAB 将函数分别对求偏导数得22ln()uxyz, ,x y z, 22 (1,0,1)11 2Au xxyz, 2222 (1,0,1)0 ()Auy yxyzyz, 2222 (1,0,1)1 2()Auz zxyzyz所以 coscoscosAAAAuuuu lxyz.1221110 ()233232 (5)【答案】2【解析】因为,所以矩阵可逆,故.102 020100 103B B()( )2r ABr A【相关知识点】.若可逆,则()min( ( ), ( )r ABr A r BA.1()( )()()()r ABr Br EBr AABr AB从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.()( )r ABr B二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1)【答案】(D)【解析】由于存在函数,使得 ,( , )u x y22() ()()xay dxydyduxyxy由可微与可偏导的关系,知,2()uxay xxy2()uy yxy分别对求偏导数,得, y x,2243()() 2()(2) ()()ua xyxayxyaxay x yxyxy .232 ()uy y xxy 由于与连续,所以,即2uy x 2ux y 22uu y xx y ,33(2)2 ()()axayy xyxy2a故应选(D). (2)【答案】(B)【解析】因为有二阶连续导数,且所以由函数极限的局部保号( )f x 0( )lim10,|xfx x 性可知,在的空心领域内有,即,所以为单调递增.0x ( )0|fx x( )0fx( )fx又由,在由负变正,由极值的第一充分条件,是的极(0)0f ( )fx0x 0x ( )f x小值点,即是的极小值.应选(B).(0)f( )f x【相关知识点】极限的局部保号性：设若(或)当0lim( ). xxf xA 0A 0A0,时,(或).00xx( )0f x ( )0f x (3)【答案】(A)【解析】若正项级数收敛,则也收敛,且当时,有1n na2 1n nan .tan lim( tan)lim nnnnn n 用比较判别法的极限形式,有.22tan lim0nnnnan a 因为收敛,所以也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).2 1n na2limtannxnan【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设和都是正项级数,且则1n nu 1n nvlim,nnnvAu(1) 当时,和同时收敛或同时发散；0A 1n nu 1n nv(2) 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；0A 1n nu 1n nv 1n nv 1n nu(3) 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.A 1n nv 1n nu 1n nu 1n nv(4)【答案】(C) 【解析】用洛必达法则.由题可知 ,2200( )( )( )xxF xxf t dtt f t dt对该积分上限函数求导数,得,2200( )2( )( )( )2( )xxF xxf t dtx f xx f xxf t dt所以 00 10002( )2( )( )limlimlimxxkkkxxxxf t dtf t dtF x xxx.23002 ( )2( )limlim(1)(1)(2)kkxxf xfx kxkkx 洛洛因为与是同阶无穷小,且,所以为常数,即时( )F xkx(0)0f 302( )lim(1)(2)kxfx kkx 3k 有 ,300( )2( )limlim(0)0(1)(2)kkxxF xfxfxkkx故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 ,( ),( )xx( )lim( )xlx (1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；0,l ( ),( )xx(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；1,l ( ),( )xx( )( )xx:(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.0,l ( )x( )x( )( )xox若不存在(不为),称不可比较.( )lim( )x x ( ),( )xx(5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,22221331334400 00 0000abab Da babba ab,2222 141 4232 3141 4 3333()()ababa abba ab ba abbbaba所以选(D).三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得2222( )( )(1 cos )sindsrrdad .2(1 cos )2cos2adad由于以为周期,因而的范围是.( )(1 cos )rra20,2 又由于,心形线关于极轴对称.由对称性,( )()rr. 00024cos8sin822sdsadaa(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有,数列有下界.0nx nx证明单调减：用归纳法.；设,则nx21166 104xxx1nnxx.1166nnnnxxxx由此,单调减.由单调有界准则,存在.nxlimnnx 设,在恒等式两边取极限,即lim,(0)nnxa a 16nnxx,1limlim66nnnnxxaaxyz1 xOy:OxyOxyDyOz 12zyyzD解之得(舍去).3a 2a 【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2. 收敛数列的保号性推论：如果数列从某项起有(或),且, nx0nx 0nx limnnxa 那么(或).0a 0a 四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1)【分析一】见下图所示,在平面与平面上的投影均易求出,分别为SxOyyOz；22:1xyDxy,或.2: 11,1yzDyyz 01,zzyz图图 1 1求,自然投影到平面上.求时,若投影到平面上,被积函SzdxdyxOy(2)Sxz dydzxOy数较简单且可利用对称性.【分析二】令,则.( , , )2,( , , )0, ( , , )P x y zxz Q x y zR x y zzSIPdydzRdxdy这里,若用高斯公式求曲面积分,则较简单.因不是封闭曲2 13PQR xyz IS面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：方法一：均投影到平面上,则xOy,22(2)(2)()()xySDzIxz dydzzdxdyxzxydxdyx其中,.22zxy22:1xyDxy把代入,得2zxx,2222242 ()()xyxyxyDDDIx dxdyx xydxdyxydxdy由对称性得,222 ()0xyDx xydxdy22242()xyxyDDx dxdyxydxdy所以 .22()xyDIxydxdy 利用极坐标变换有.121340001242Idr drr 方法二：方法二：分别投影到平面与平面.yOzxOy投影到平面时要分为前半部分与后半部分yOzS2 1:Sxzy2 2:Sxzy (见图 1),则.12(2)(2)SSSIxz dydzxz dydzzdxdy由题设,对法向量与轴成钝角,而对法向量与轴成锐角.将化成二重积分得1Sx2SxI2222222(2)( 2)()4().yzyzxyyzxyDDDDDIzyz dydzzyz dydzxydxdyzy dydzxydxdy 22131112222 11312422 00sin2()344(1)cos33 43,3 4 2 24yzzy Dz yytzy dydzdyzy dzzydyydytdt 或 21122001.24 yzzz Dzy dydzdzzy dyzdz (这里是半径为的圆面积的一半.)2zzzy dy z(同方法一).22()2 xyDxydxdy因此, 4.422I 方法三：方法三：添加辅助面,法方向朝下,则22 1:1(1)Szxy,11(2)1SSDxz dydzzdxdydxdydxdy 其中是在平面的投影区域：.D1Sxy221xy与即与围成区域,与的法向量指向内部,所以在上S1S22zxy1z S1S满足高斯公式的条件,所以1(2)3SSxz dydzzdxdydV ,1100 ( )3332D zdzdxdyzdz 其中,是圆域：,面积为.( )D z22xyzz因此,.133(2)()222SIxz dydzzdxdy (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得,zzuzvzz xuxv xuv ,2zzuzvzzayuyv yuv 所以 22222222()()zzzzuzvzvzu xxuxvuxu vxvxv ux ,222222zzz uu vv 2222222()()zzzzuzvzvzu x yyuyvuyu vyvyv uy ,222222(2)zzzaauu vv 22222222222 2 222()()2()()44.zzzayyuyvzuzvzvzuauyu vyvyv uyzzzaauu vv 代入,并整理得2222260zzz xx yy .22222 2 2226(105 )(6)0zzzzzaaaxx yyu vv 于是,令得或.260aa3a 2a 时,故舍去,时,因此仅当时化简为.2a 1050a3a 1050a3a 2 0z u v 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若和在点处偏导数( , )uu x y( , )vv x y( , )x y存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数( , )zf u v( , )u v在点处的偏导数存在,且 ( , ), ( , )zf u x y v x y( , )x y.,zfufvzfufv xuxv xyuyv y 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )【解析】先将级数分解,21 22112 22131111()(1)2211111111.212122nn nnnnnn nnnnAnnnnnnn 令 ,122 1311,22nn nnAAnn 则 .12AAA由熟知幂级数展开式,即,得ln(1)x11( 1)ln(1)( 11)n nnxxxn ,112 1111( 1)1111()ln(1)ln2242424n n n nnAnn 12 331 211( 1)1()22( 1)11111115()()ln(1)ln2,22222288n n n nnn nnAnnn 因此, .1253ln284AAA六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )【解析】曲线上点处的切线方程为( )yf x( ,( )x f x.( )( )()Yf xfx Xx令得轴上的截距.由题意,0X y( )( )Yf xfx x. 01( )( )( )xf t dtf xfx xx为消去积分,两边乘以,得 , (*)x20( )( )( )xf t dtxf xfx x将恒等式两边对求导,得x,2( )( )( )2( )( )f xf xxfxxfxx fx即 .( )( )0xfxfx在(*)式中令得自然成立.故不必再加附加条件.就是说是微分方程0x 00( )f x的通解.下面求解微分方程.0xyy0xyy方法一：,100xyyxyxyC因为,所以,0x 1Cyx 两边积分得 .12( )lnyf xCxC方法二：令,则,解得.( )yP x yP0xPP1CyPx 再积分得.12( )lnyf xCxC七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )【解析】由于问题涉及到与的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点展开：, f f f c,在与之间.2( )( )( )( )()()2!ff xf cfx xcxccx分别取得0,1x ,在与之间,20()(0)( )( )(0)(0)2!fff cfccc0c0,在与 之间,21( )(1)( )( )(1)(1)2!fff cfccc1c1两式相减得 ,22 101(1)(0)( )( )(1)()2!fffcfcfc于是 .22 101( )(1)(0)( )(1)()2!fcfffcfc由此 22 1011( )(1)(0)( ) (1)()2!2!fcfffcfc.2212(1)222babcca八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )【解析】(1)因为,为数,为阶矩阵,所以TAET Tn,2()()2()(2)TTTTTTTAEEEE 因此, 2(2)(1)0TTTTTAAEE 因为是非零列向量,所以,故即.0T210,TAA 1T(2)反证法.当时,由(1)知,若可逆,则.1T2AAA121AA AA AE与已知矛盾,故是不可逆矩阵.TAEEA九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )【解析】(1)此二次型对应的矩阵为.513 153 33A c 因为二次型秩 ,由( )( )2r fr A513440400 153153163 333336A ccc 可得.再由的特征多项式3c A513 |153(4)(9)333EA 求得二次型矩阵的特征值为.0,4,9(2)因为二次型经正交变换可化为,故22 2349yy,即.123( ,)1f x x x22 23491yy表示椭圆柱面. 【相关知识点】主轴定理：对于任一个元二次型n,12( ,)T nf x xxx Ax存在正交变换(为阶正交矩阵),使得xQyQn,222 1122()TTT nnx AxyQ AQ yyyy其中是实对称矩阵的个特征值,的个列向量是对应于12,n AnQn12,n A特征值的标准正交特征向量.12,n 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1)【答案】3 7 【解析】设事件“抽取的产品是次品”,事件“抽取的产品是工厂生产的”,则C D A事件表示“抽取的产品是工厂生产的”,依题意有DB.()0.60, ()0.40, (|)0.01, (|)0.02P DP DP C DP C D应用贝叶斯公式可以求得条件概率：(|)P D C.() (|)0.6 0.013(|)0.6 0.01 0.4 0.027() (|)() (|)P D P C DP D CP D P C DP D P C D【相关知识点】贝叶斯公式：设试验的样本空间为.为的事件,为ESAE12,nB BB的一个划分,且,则S( )0, ()0(1,2, )iP AP Bin(*)1() (|)(|),1,2, . () (|)ii injj jP B P A BP BAin P B P A B (*)式称为贝叶斯公式.(2)【答案】2 【解析】由于与相互独立且均服从正态分布,因此它们的线性函数21(0,() )2N服从正态分布,且U()0,EUEEE,11122DUDDD所以有 .(0,1)UN:代入正态分布的概率密度公式,有.221( )2u f uedu应用随机变量函数的期望公式有221(|)(|)|2u EE Uuedu22 0122u uedu由凑微分法,有.22 2 01(|)2()22uuEed 2202 2u e 2 【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分XYXY 布. 若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有XY,()()( )E aXbYcaE XbE Yc,22()()( )D aXbYca D Xb D Y其中为常数., ,a b c十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)【解析】易见的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意 (, )X Y,故,即XY 0P XY,1,21,32,30P XYP XYP XY1,1max( , )1,min( , )1P XYP . 11,1119PPP类似地可以计算出所有的值列于下表中,得到随机变量的联合分布律：ijp(, )X YX Y12311 90022 91 9032 92 91 9(2)将表中各行元素相加求出的边缘分布X,123 135 999X :由离散型随机变量数学期望计算公式可得.135221239999EX 【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量关于与的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：(, )X YXY,1,2,iiijij jjpP XxP Xx Yyp i,1,2,jjijij iipP YyP Xx Yypj它们分别为联合分布律表格中第 行与第列诸元素之和.ij2. 离散型随机变量数学期望计算公式：.1()nkk kE XxP Xx