必修四平面向量基本定理(附答案.).doc

平面向量基本定理平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一 平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.(2)基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考 如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用 e1，e2表示向量，AB， ，a.CDEFGHHG答案 通过观察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，ABCDEF2e15e2，2e15e2，a2e1.GHHG知识点二 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，如图，作a，b，则AOB (0°180°)，OAOB叫做向量 a 与 b 的夹角范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是0°，180°当 0°时，a 与 b 同向当 180°时，a 与 b 反向(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 ab.思考 在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角、 ；、 ；、 ；、.ABACABCABACAABBA答案 与的夹角为 60°；ABAC与的夹角为 120°；ABCA与的夹角为 60°；BACA与的夹角为 180°.ABBA题型一 对向量的基底认识例 1 如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量 a，使 ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量 1e11e2与 2e12e2共线，则有且只有一个实数 ，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数 ， 使得 e1e20，则 0.答案 解析 由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的对于，当两向量的系数均为零，即 12120 时，这样的 有无数个跟踪训练 1 设 e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与 e22e1；e12e2与 4e22e1；e1e2与 e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)答案 解析 对于4e22e12e14e22(e12e2)，e12e2与 4e22e1共线，不能作为基底题型二 用基底表示向量例 2 如图所示，已知ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，若a，b，试以 a、b 为基底表示、.ABADDEBF解 四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，2，2，ADBCBEBACDCF b， a.BE12AD12CF12BA12AB12DEDAABBEADABBEba ba b，1212b a.BFBCCFADCF12跟踪训练 2 如图，已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若a，b，用 a、b 表示、 、.ABACADAEAF解 ADABBDAB12BCa (ba) a b；121212AEABBEAB13BCa (ba) a b；132313AFABBFAB23BCa (ba) a b.231323题型三 向量夹角问题例 3 已知|a|b|2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 ab 与 a 的夹角为 ，ab 与 a 的夹角是 ，求 .解 如图，作a，b，且AOB60°，OAOB以 OA、OB 为邻边作OACB，则ab，ab，OCBAOAOBa.BCOA因为|a|b|2，所以OAB 为正三角形，所以OAB60°ABC，即 ab 与 a 的夹角 60°.因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OCAB，所以COA90°60°30°，即 ab 与 a 的夹角 30°，所以 90°.跟踪训练 3 若 a0，b0，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角解 由向量运算的几何意义知 ab，ab 是以 a、b 为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60°.又ab，且在菱形 OACB 中，OC对角线 OC 平分BOA，a 与 ab 的夹角是 30°.题型四 平面向量基本定理的应用例 4 如图所示，在OAB 中，a，b，点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点，OAOB点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点若 OM 与 BN 相交于点 P，求.OP解 () a b，OMOAAMOA23ABOA23OBOA1323因为与共线，故可设t a b.OPOMOPOMt32t3又与共线，可设s，sNPNBNPNBOPONNBs() (1s)asb，34OAOBON34所以Error!解得Error!所以a b.OP31035跟踪训练 4 如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN12，BN 与 CM 相交于 E，设a，b，试用基底 a，b 表示向NCABAC量.AE解 易得 b， a，AN13AC13AM12AB12由 N，E，B 三点共线，设存在实数 m，满足m(1m) mb(1m)a.AEANAB13由 C，E，M 三点共线，设存在实数 n 满足：n(1n) na(1n)b.AEAMAC12所以 mb(1m)a na(1n)b，1312由于 a，b 为基底，所以Error!解得Error!所以 a b.AE2515向量夹角概念不清致误例 5 已知2a，2b，a3b，求向量与的夹角OAOBOCBABC错解 由已知得，2a2b，(a3b)2bab，显然BAOAOBBCOCOB2，可见与共线，故与的夹角为 0°.BABCBABCBABC错因分析 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为 0°，当两个向量反向共线时，其夹角为 180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错正解 由已知得，2a2b，(a3b)2bab.显然BAOAOBBCOCOB2，可见与共线，且是反向共线，故与的夹角为 180°.BABCBABCBABC1设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )Ae1e2和 e1e2 B3e14e2和 6e18e2Ce12e2和 2e1e2 De1和 e1e22如图，已知a，b，3，用 a，b 表示，则等于( )ABACBDDCADADAa b B. a b341434C. a b D. a b141434143在直角三角形 ABC 中，BAC30°，则与的夹角等于( )ACBAA30° B60°C120° D150°4设向量 m2a3b，n4a2b，p3a2b，试用 m，n 表示 p，p_.5如图所示，已知梯形 ABCD 中，ABDC，且 AB2CD，E、F 分别是 DC、AB 的中点，设a，b，试用 a、b 为基底表示、 、.ADABDCBCEF一、选择题1下列关于基底的说法正确的是( )平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的A B C D2如图所示，矩形 ABCD 中，5e1，3e2，则等于( )BCDCOCA. (5e13e2) B. (5e13e2)1212C. (3e25e1) D. (5e23e1)12123如图，已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，EF 与 AC 交于点 G，若a，b，用 a、b 表示等于( )ABADAGA. a b B. a b14141313C. a b D. a b341434344设向量 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，若 3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数 y 的值为( )A3 B4 C D14345若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且4rs，则 3rs 的值为( )CDDBABACA. B. C. D.1651258545二、填空题6已知 e1、e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使 a、b 能作为平面内的一组基底，则实数 的取值范围为_7如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设a，b，若2，ADABABDC则_(用 a 和 b 表示)AO8若|a|b|ab|r(r>0)，则 a 与 b 的夹角为_9如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若，其中 、R，则 _.ACAEAF10设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC，若121223DEAB(1，2为实数)，则 12的值为_AC三、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若 ae1be2ce1de2(a、b、c、dR)，则 ac，bd；(2)若 e1和 e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出来12如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为 120°，与的夹角OAOBOCOAOBOAOC为 30°，且|1，|2.若(、R)，求 的值OAOBOC3OCOAOB13已知单位圆 O 上的两点 A、B 及单位圆所在平面上的一点 P，与不共线OAOB(1)在OAB 中，点 P 在 AB 上，且2，若rs，求 rs 的值；APPBAPOBOA(2)P 满足m(m 为常数)，若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的值OPOAOB当堂检测答案1答案 B解析 B 中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和 6e18e2不能作为基底2答案 B解析 () a b.ADABBDAB34BCAB34ACAB14AB34AC14343答案 D解析 由向量夹角定义知， 、的夹角为 150°.ACBA4答案 mn74138解析 设 pxmyn，则 3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得Error!Error!5解 连接 FD，DCAB，AB2CD，E、F 分别是 DC、AB 的中点，DC 綊 FB.四边形 DCBF 为平行四边形依题意， b，DCFB12AB12BCFDADAFAD12ABa b，12EFDFDEFDDEBC12DC(a b) × b ba.12121214课时精练答案一、选择题1答案 C解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确2答案 A解析 () (5e13e2)OC12AC12BCBA123答案 D解析 易知，.CF12CDCE12CB设，则由平行四边形法则可得CGCA()22，CGCBCDCECF由于 E，G、F 三点共线，则 221，即 ，从而，14CG14CA从而 (ab)AG34AC344答案 B解析 因为 3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以Error!解得Error!故选 B.5答案 C解析 4rs，CDDBABAC ()CD45CB45ABACrs，ABACr ，s .45453rs .1254585二、填空题6答案 (，4)(4，)解析 若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线ae12e2，b2e1e2，由 akb 即得 4.7答案 a b2313解析 设，AOAC则()() .AOADDCAD12ABAD12AB因为 D，O，B 三点共线，所以 1，所以 ，1223所以 a b.AO23AD13AB23138答案 60°解析 作a，b，则ab，AOB 为 a 与 b 的夹角，由OAOBBA|a|b|ab|知AOB 为等边三角形，则AOB60°.9答案 43解析 设a，b，ABAD则 ab，a b，AE12AF12又ab，AC ()，即 ， .AC23AEAF234310答案 12解析 易知 ().DE12AB23BC12AB23ACAB16AB23AC所以 12 .12三、解答题11解 (1)错，当 e1与 e2共线时，结论不一定成立(2)正确，假设 e1e2与 e1e2共线，则存在实数 ，使 e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因为 1 与 1 不同时为 0，所以 e1与 e2共线，这与 e1与 e2不共线矛盾所以 e1e2与 e1e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出来12解 如图，以 OC 为对角线作OMCN，使得 M 在直线 OA 上，N 在直线 OB 上，则存在 、，使，OMOAONOB即.OCOMONOAOB在 RtCOM 中，|2，COM30°，OCM90°，OC3|4，4.OMOMOA又|2，2，ONMCONOB42，即 4，2.OCOAOB6.13解 (1)2，APPBAP23AB ()，AP23OBOA23OB23OA又rs，APOBOAr ，s ，rs 的值为 0.2323(2)四边形 OABP 为平行四边形，OBOPOA又m，OPOAOB(m1)，OBOBOA依题意、是非零向量且不共线，OAOBm10，解得 m1.