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第三章第三章 不等式不等式 3.13.1、不等关系与不等式、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc （同向可加同向可加性）dbcadcba, （异向可减异向可减性）dbcadcba, （可积性）bcaccba0, bcaccba0,（同向正数同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式,（当且仅当时取号）. 变形公式：222abab abR，ab“22 .2abab（基本不等式）（基本不等式） ,（当且仅当（当且仅当时取到等号）时取到等号）. .2abababR，ab变形公式： （也可用柯西不等式2abab2 .2abab）22222()()()abcdacbd用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二一正、二 定、三相等定、三相等”.（三个正数的算术（三个正数的算术几何平均不等式）几何平均不等式）（当且仅当3 3abcabc()abcR、时取到等号）.abc222abcabbcca abR，（当且仅当时取到等号）.abc3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当时取到等号）.abc（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则ba nbna mamb ab1其中(000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa 当时，或22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：22112 22abababab,（当且仅当时取号）.abR，ab“（即调和平均（即调和平均几何平均几何平均算术平均算术平均平方平均）平方平均）. .变形公式：222 ;22ababab2 22().2abab幂平均不等式：2222 12121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：222222 11221212()()xyxyxxyy1122( ,).x y xyR二维形式的柯西不等式： 当且仅当22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR时，等号成立.adbc 三维形式的柯西不等式：2222222 1231231 1223 3()()() .aaabbbaba ba b一般形式的柯西不等式：222222 1212(.)(.)nnaaabbb2 1 122(.) .nnaba ba b向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使, , k时，等号成立.k 排序不等式（排序原理）：设为两组实数.1212.,.nnaaa bbb是的任一排列，则12,.,nc cc12,.,nb bb12111 122.nnnnnaba ba ba ca ca c（反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和）1 122.nnaba ba b当且仅当或时，反序和等于顺序和.12.naaa12.nbbb琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有( )f x1212,(),x xxx12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa将分子或分母放大（缩小） ，如211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk等.*12(,1)1kNkkkk5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或解集的步骤：2(0,40)abac 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. . 6、高次不等式的解法：穿根法穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切奇穿偶切） ，结合原式不等号的方 向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分移项通分标准化，则（时同理）( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf xg xf x g xg x“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. . 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0 ( )( )( )0( ) ( )f x f xg xg xf xg x ( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小小”的一边分析求解的一边分析求解. . 9、指数不等式的解法：当时,1a ( )( )( )( )f xg xaaf xg x当时, 01a( )( )( )( )f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化规律：根据指数函数的性质转化. . 10、对数不等式的解法当时, 1a ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 当时, 01a( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x 规律：根据对数函数的性质转化规律：根据对数函数的性质转化. . 11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0). (0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或规律：关键是去掉绝对值的符号规律：关键是去掉绝对值的符号. . 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20axbxc准有： 讨论与 0 的大小；a 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时 0a 0,0;bc当时0a 00.a 不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时0a 0,0;bc当时0a 00.a 恒成立( )f xamax( );f xa恒成立( )f xamax( );f xa恒成立( )f xamin( );f xa恒成立( )f xamin( ).f xa15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的0AxByCAxByC符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点） ，00(,)xy由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.00AxByC0AxByC(0)即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. .法二：法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(0)B或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同即：同0AxByC(0)号上方，异号下方号上方，异号下方. .二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数为常数）的最值：zAxBy( ,A B法一：法一：角点法：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，zAxByxy、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一 组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值zzz 法二：法二：画画移移定定求：求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直0:0lAxBy线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l0l( , )x y将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .( , )x yzAxBy第二步中最优解的确定方法：最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.zAzyxBB z B若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最取得最0,B zAxByz大值，使大值，使直线的直线的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最小值；取得最小值；z若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最取得最0,B zAxByz小值，使小值，使直线的直线的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最大值取得最大值. .z常见的目标函数的类型：“截距截距”型：型：;zAxBy“斜率斜率”型：型：或yzx;ybzxa“距离距离”型：型：或22zxy22;zxy或22()()zxayb22()() .zxayb在求该“三型三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义几何意义求解，从而使 问题简单化. 基础练习基础练习一 选择题 1设 Mx2，Nx1，则 M 与 N 的大小关系是( )AM>N BMNCM0，1234M>N.2(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若 a B2a>2b1a1bC|a|>|b| D( )a>( )b1212答案 B解析 aab>ab2 Bab>a>ab2Cab2>ab>a Dab>ab2>a答案 D解析 1b2>0>b>1，即 bab2>a.故选 D4如果 a、b、c 满足 cac Bbc>acCcb20，c0，bcac(ba)c>0，ac(ac)b>c Ba>c>bCc>a>b Dc>b>a答案 B解析 02xC1 Dx 21x211x答案 C解析 A 中 x>0；B 中 x1 时，x212x；C 中任意 x，x211，故1；D1x21中当 x1>y，下列不等式不成立的是( )Ax1>1y Bx1>y1Cxy>1y D1x>yx答案 A解析 特殊值法令 x2，y1，则 x121b>cCb>a>c Dc>a>b答案 B解析 100.1>100，100.1>1.又0.1101,0b>c，选 B9设 ab0，则( )Aa20，0a2>a，a > > ，即a>a2>a2>a，排除 A、C、D，选 B1414121214141211设 a，bR，则(ab)·a21，则a31a21a3>a2，>1，loga>0，M>N，若 00，M>N，故选 Aa31a21a31a2113(2014·江西文，2)设全集为 R，集合 Ax|x295，A綂RBx|30，Nx|x24，则 MN( )A(1,2) B1,2)C(1,2 D1,2答案 C解析 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算Mx|x>1，Nx|2x2，所以 MNx|12Cx|x1 Dx| 0 的解集为( )Ax|x3 Bx|2 13121312答案 D解析 由 x2axb0，即 6x25x1>0，解集为x|x ，故选 D131222不等式0 B3x02y08答案 D解析 3×12×1830.28图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )AError!Error! BError!Error!CError!Error! DError!Error!答案 A解析 取原点 O(0,0)检验满足 xy10，故异侧点应为 xy10，排除 B、DO 点满足 x2y20，排除 C选 A29不等式 x2y20 表示的平面区域是( )答案 B解析 将(±1,0)代入均满足知选 B30不等式组Error!Error!表示的平面区域是一个( )A三角形 B直角梯形C梯形 D矩形答案 C解析 画出直线 xy50 及 xy0，取点(0,1)代入(xy5)(xy)4>0，知点(0,1)在不等式(xy5)(xy)0 表示的对顶角形区域内，再画出直线 x0 和 x3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形31目标函数 z2xy，将其看成直线方程时，z 的意义是( )A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距答案 C解析 z2xy 可变化形为 y2xz，所以 z 的意义是该直线在 y 轴上截距的相反数，故选 C32若 x0，y0，且 xy1，则 zxy 的最大值为( )A1 B1C2 D2答案 B解析 可行域为图中AOB，当直线 yxz 经过点 B 时，z 最小从而 z 最大zmax1.33已知 x、y 满足约束条件Error!Error!，则 z2x4y 的最小值为( )A5 B6C10 D10答案 B解析 可行域为图中ABC 及其内部的平面区域，当直线 y 经过点 B(3，3)时，x2z4z 最小，zmin6.34若 x、yR，且Error!Error!，则 zx2y 的最小值等于( )A2 B3C5 D9答案 B解析 不等式组表示的可行域如图所示：画出直线 l0：x2y0，平行移动 l0到 l 的位置，当 l 通过点 M 时，z 取到最小值此时 M(1,1)，即 zmin3.35设 x、y 满足约束条件Error!Error!，则目标函数 zxy( )A有最小值 2，无最大值B有最大值 3，无最小值C有最小值 2，最大值 3D既无最小值，也无最大值答案 A解析 画出不等式组Error!Error!表示的平面区域，如下图，由 zxy，得 yxz，令 z0，画出 yx 的图象当它的平行线经过点 A(2,0)时，z 取得最小值，最小值为 2；无最大值故选 A36(2013·四川文，8)若变量 x、y 满足约束条件Error!Error!，且 z5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是( )A48 B30C24 D16答案 C解析 本题考查了线性规划中最优解问题作出不等式组表示的平面区域如图作直线 l0：y x，平移直线 l0.15当 l0过点 A(4,4)时可得 zmax16，a16.当 l0过点 B(8,0)时可得 zmin8，b8.ab16(8)24.37若变量 x、y 满足约束条件Error!Error!，则 zx2y 的最大值为( )A4 B3C2 D1答案 B解析 先作出可行域如图作直线 x2y0 在可行域内平移，当 x2yz0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大当移至 A(1，1)时，zmax12×(1)3，故选 B38设变量 x、y 满足约束条件Error!Error!，则目标函数 z3xy 的取值范围是( )A ，6 B ，13232C1,6 D6， 32答案 A解析 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想根据约束条件，画出可行域如图，作直线 l0：3xy0，将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值，经过点B( ，3)处 z 有最小值，即 z6.123239设 zxy，式中变量 x 和 y 满足条件Error!Error!，则 z 的最小值为( )A1 B1C3 D3答案 A解析 作出可行域如图中阴影部分直线 zxy 即 yxz.经过点 A(2,1)时，纵截距最大，z 最小zmin1.40变量 x、y 满足下列条件Error!Error!，则使 z3x2y 最小的(x，y)是( )A(4,5) B(3,6)C(9,2) D(6,4)答案 B解析 检验法：将 A、B、C、D 四选项中 x、y 代入 z3x2y 按从小到大依次为A、B、D、C然后按 ABDC 次序代入约束条件中，A 不满足 2x3y24，B 全部满足，故选 B41已知 x、y 满足约束条件Error!Error!，则 zxy 的最大值是( )A B4383C2 D4答案 B解析 画出可行域为如图阴影部分由Error!Error!，解得 A( ， )，4343当直线 zxy 经过可行域内点 A 时，z 最大，且 zmax .8342(2014·广东理，3)若变量 x，y 满足约束条件Error!Error!，且 z2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn( )A5 B6 C7 D8答案 B解析 作出可行域如图，由Error!Error!得Error!Error!A(1，1)；由Error!Error!得Error!Error!B(2，1)；由Error!Error!得Error!Error!C( ， )1212作直线 l：y2x，平移 l 可知，当直线 y2xz，经过点 A 时，z 取最小值，当ymin3；当经过点 B 时，z 取最大值，zmax3，m3，n3，mn6.43下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )Ax Bx2112x1x21C2x2x Dx(1x)答案：C44已知 a、bR，且 ab0，则在ab； 2；ab2；a2b22baab(ab2)2这四个不等式中，恒成立的个数有( )(ab2)a2b22 A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案：C45某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平 均增长率为 x，则( )Ax Bxab2ab2Cx Dxab2ab2解析：依题意有 A(1x)2A(1a)(1b)，1x (1a)(1b)1a1b121x.故选 B.ab2ab2答案：B46若 x>0，则函数 yx ( )1x A有最大值2 B有最小值2C有最大值 2 D有最小值 2解析：x>0，x 2.x 2.当且仅当 x1 时，等号成立，故函数1x1xyx 有最大值2.1x 答案：A47数列an的通项公式 an，则数列an中的最大项是( )nn290 A第 9 项 B第 8 项和第 9 项C第 10 项 D第 9 项和第 10 项解析：annn2901n90nn2，且 nN*，90n90当 n9 或 10 时，n最小，an取最大值故选 D.90n 答案：D48lg 9lg 11 与 1 的大小关系是( )Alg 9·lg 111 Blg 9·lg 11 1Clg 9·lg 111 D不能确定 解析：lg 9×lg 111，故选 C.2lg9 lg11 22lg99 22lg100 222 2答案：C49已知 a，bR，且 ab1，则 ab的最小值为( )1abA2 B.52C. D不存在174解析：a，bR，ab1， ，abab2120ab .14令 tab，则 f(t)t 在上单调递减，1t(0，14f(t)的最小值为 f 4，故选 C.(14)14174 答案：C50某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买 10 g 黄金，售 货员先将 5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将 5 g 的砝码放 入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( ) A大于 10 g B小于 10 g C大于等于 10 g D小于等于 10 g 解析：设两臂长分别为 a，b，两次放入的黄金数是 x，y，依题意有 ax5b，by5a，xy25.，xy10，又 ab，xy.xy2xyxy10.即两次所得黄金数大于 10 克，故选 A.答案：A51函数 f(x)的最大值为( )xx1A. B. C. D1251222解析：当 x0 时，f(0)0；当 x0 时，x120，f(x) ，当且仅当xx2 x12x1 时等号成立故函数 f(x)的最大值为 .xx112 答案：B 二 填空题 1若 ab，则 a3与 b3的大小关系是_答案 a3b32若 x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，则 x 与 y 的大小关系是_答案 xy解析 xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，xy.3已知 ab0，且 cd0，则与的大小关系是_adbc答案 adbc解析 cd0， 0，1d1cab0， 0，adbc.adbc4若 a、b、c、d 均为实数，使不等式 > >0 和 ad >0 知，a、b 同号，c、d 同号，且 >0.abcdabcdadbcbd由 ad0，b>0，c0，b>0 且 ab，试比较 aabb与 abba的大小解析 根据同底数幂的运算法则aab·bba( )ab，aabbabbaab当 a>b>0 时， >1，ab>0，ab则( )ab>1，于是 aabb>abba.ab当 b>a>0 时，01，于是 aabb>abba.ab综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.2已知 a0，b0，ab，nN 且 n2，比较 anbn与 an1babn1的大小解析 (anbn)(an1babn1)an1(ab)bn1(ba)(ab)(an1bn1)，(1)当 ab0 时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，(2)当 0ab 时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，对任意 a0，b0，ab，总有(ab)(an1bn1)0.anbnan1babn1.3如果 30x42,16y24.分别求 xy、x2y 及 的取值范围xy解析 46xy66；482y32，18x2y10；300 的解集为( ， )，求cx22xa>0 的解集1312解析 由 ax22xc>0 的解集为( ， )，知 a0，即 2x22x120 的解集为x|20；2x13x1(2)0，x .1312故原不等式的解集为x|x 1312(2)0 时，ax(x1)0x>0 或 x0，或 x0.解析 原不等式可化为(xa)(xa2)>0.则方程 x2(aa2)xa30 的两根为 x1a，x2a2，由 a2aa(a1)可知，(1)当 a1 时，a2>a.原不等式的解集为 x>a2或 xa 或 x0，x0.(4)当 a1 时，原不等式为(x1)2>0，x1.综上可知：当 a1 时，原不等式的解集为x|xa2；当 0a；当 a0 时，原不等式的解集为x|x0；当 a1 时，原不等式的解集为x|x1.8画出不等式组Error!Error!表示的平面区域解析 不等式 xy60 表示在直线 xy60 上及右上方的点的集合，xy0表示在直线 xy0 上及右下方的点的集合，y3 表示在直线 y3 上及其下方的点的集合，x5 表示直线 x5 左方的点的集合，所以不等式组Error!Error! 表示的平面区域为如图阴影部分9经过点 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连结 A(1，2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解析 由题意知直线 l 斜率存在，设为 k.则可设直线 l 的方程为 kxy10，由题知：A、B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧，所以有：(k1)(2k2)01k1.10求 z3x5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件Error!Error!.解析 作出可行域为如图所示的阴影部分目标函数为 z3x5y，作直线 l0：3x5y0.当直线 l0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点 A(， )的直线 l1所对应的 z 最大类似地，在可行域内，以经过点 B(2，1)的直线 l2所3252对应的 z 最小，zmax17，zmin11，z 的最大值为 17，最小值为11.11某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规格金属板，每张面积分别为 2 m2与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解析 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积为 z，则约束条件为Error!Error!.目标函数 z2x3y.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示z2x3y 变为 y x ，得斜率为 ，在 y 轴上截距为 且随 z 变化的一族平行直23z323z3线当直线 z2x3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小解方程组Error!Error! ，得 M点的坐标为(5,5)此时 zmin2×53×525 (m2)答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省.12制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g，乙种烟花每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、B 药品 400 g、C 药品 240 g甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大解析 设每天生产甲种烟花 x 枚，乙种烟花 y 枚，获利为 z 元，则Error!Error!，作出可行域如图所示目标函数为：z2xy.作直线 l：2xy0，将直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大此时 z2xy 取最大值故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润13某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务，该公司有8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低解析 设每天调出 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，公司所花的成本为 z 元，则由题意知Error!Error!目标函数为 z320x504y(其中 x，yN)作出可行域如图所示由图易知，当直线 z320x504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z320x504y 取得最小值，zmin320×8504×02560，每天调出 A 型车 8 辆，B 型车 0 辆，公司所花成本费最低14(1)求函数 yx(x3)的最小值；1x3解析：x3，yx(x3)35，1x31x3当且仅当 x3，即 x4 时取等号1x3ymin5.(2)求函数 yx(a2x)(x0，a 为大于 2x 的常数)的最大值；解析：x0，a2x，yx(a2x) ·2x·(a2x)12·，122 2xa 2x 2a28当且仅当 x 时，取等号，a4ymax.a28(3)已知 x0，y0,2x5y20，求 lg xlg y 的最大值解析：x0，y0,2x5y20，2x·5y22100，(2x5y2)(202)xy10，lg xlg ylg(xy)lg 101，当且仅当 2x5y10，即 x5，y2 时上式取等号，当 x5，y2 时，lg xlg y 取最大值，最大值为 1.15 围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维 修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如右上图 所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单 位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元) (1)将 y 表示为 x 的函数；解析：如图所示，设矩形的另一边长为 a m，则 y45x180(x2)180×2a225x360a360.由已知 xa360，得 a.360x所以 y225x360(x0)3602x(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解析：x0，225x210 800.3602x225 × 3602y225x36010 440.3602x当且仅当 225x时，等号成立3602x即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440强化练习强化练习一 选择题1(20102011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知 aab>ab2 Bab>a>ab2Cab2>ab>a Dab>ab2>a答案 D解析 1b2>0>b>1，即 bab2>a.故选 D.2如果 a、b、c 满足 cac Bbc>acCcb20，c0，bcac(ba)c>0，ac(ac)0，b0，AB(1a2)(1a2)2a2>0 得 A>B，CA(1a2)11aaa2a11a>0，得 C>A，B0，则( )Aa20，0a2>a，a > > ，即a>a2>a2>a，排除 A、C、D，选 B.1414121214141213如果 a0，且 a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，那么( )AMN BMNCMN DM、N 的大小无法确定答案 A解析 a1 时 a31a21，logax 单调递增，loga(a31)loga(a21)；0a1 时，a31a21，logax 单调递减，loga(a31)loga(a21)，故选 A.点评 可对 a 取值检验14若 a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )A. > Ba >bbab1a11a1bCa >b D.>1b1a2aba2bab答案 C解析 解法 1：由 a>b>00b ，故选 C.1a1b1b1a解法 2：(特值法)令 a2，b1，排除 A、D，再令 a ，b ，排除 B.121315若 0，给出下列不等式：abab；|a|b|；ab； 2.其中1a1bbaab正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 B解析 0，a0，b0，ab，故错；1a1bab0，abb，c>d，则 ac>bdB若 a>b，c>d，则 ac>bdC若 a>b，c>d，则 ac>bdD若 a>b