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初中数学公式表初中数学公式表1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角 形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 ab=cd,那么(a±b)b=(c±d)d 85 (3)等比性质 如果 ab=cd=mn(b+d+n0),那么 (a+c+m)(b+d+n)=ab 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相 似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121直线 L 和O 相交 dr 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 dr 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含 dR-r(Rr) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 2)2sin(21141rnnS正多边形的面积为表示边长）正三角形面积为aaS(431422143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360°.180144RnL弧长计算公式：lRRnS21 3601452 扇扇形的面积公式：146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 高中数学常用公式高中数学常用公式公式分公式分 类类公式表达式公式表达式平方差平方差a2-b2=(a+b)(a-b)和差的和差的 平方平方(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab和差的和差的 立方立方a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)|a+b|a|+|b|a-b|a|+|b|a|b-bab三角不三角不 等式等式|a-b|a|-|b|-|a|a|a| 一元二一元二 次方程次方程 的解的解aacbb 242 aacbb 242根与系根与系 数的关数的关 系系baXX21acXX21b2-4ac=0 注：方程有相等的两实 根b2-4ac>0 注：方程有一个实根判别式判别式b2-4ac0抛物线抛物线 标准方标准方 程程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py几何图形公式几何图形公式直棱柱直棱柱 侧面积侧面积S=ch斜棱柱侧面斜棱柱侧面 积积S=hc,正棱锥正棱锥 侧面积侧面积hcS, 21正棱台侧面正棱台侧面 积积hccS)(21,圆台侧圆台侧 面积面积lrRlccS)()(21,球的表面积球的表面积24 rS圆柱侧圆柱侧 面积面积rhchS2圆锥侧面积圆锥侧面积rlclS21弧长公弧长公 式式arl (a是圆心角的弧度 数;r>0)扇形面积公扇形面积公 式式lrS21锥体体锥体体 积公式积公式shV31圆锥体体积圆锥体体积 公式公式hrV2 31柱体体柱体体 积公式积公式shV 圆柱体圆柱体hrV2斜棱柱斜棱柱 体积体积V=S'L (S'是直截面面积， L 是侧棱长)注：=3.141592653589791 元素与集合的关系元素与集合的关系:, ,. .UxAxC AUxC AxAAA Ø2 2 集合集合的子集个数共有的子集个数共有 个；真子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空子集有个；非空的真子集个；非空的真子集12 ,na aa2n21n21n有有个个. .22n 3 3 二次函数的解析式的三种形式：二次函数的解析式的三种形式：(1)(1) 一般式一般式; ;2( )(0)f xaxbxc a(2)(2) 顶点式顶点式; ;（当已知抛物线的顶点坐标（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）时，设为此式）2( )()(0)hf xaakx( , )h k(3)(3) 零点式零点式；（当已知抛物线与；（当已知抛物线与轴的交点坐标为轴的交点坐标为时，时，12( )()()(0)f xa xxxaxx12( ,0),(,0)xx设为此式）设为此式）（4）切线式：）切线式：。 （当已知抛物线与（当已知抛物线与直线直线相切且切点相切且切点02( )()(),0xkxdf xa xaykxd的横坐标为的横坐标为时，设为此式）时，设为此式）0x4 4 真值表：真值表： 同真且真，同假或假同真且真，同假或假 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式; ; 原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词 是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个 大于大于不大于不大于至少有至少有个个n至多有（至多有（）个）个1n 小于小于不小于不小于至多有至多有个个n至少有（至少有（）个）个1n 对所有对所有，成立，成立x存在某存在某，不成立，不成立x或或pq且且pq 对任何对任何，不成立，不成立x存在某存在某，成立，成立x且且pq或或pq 6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系( (下图下图):):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件：充要条件： (1)(1)、，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； pq（2 2） 、，且 q > p，则 P 是 q 的充分不必要条件；pq(3)(3)、p > p ，且，则 P 是 q 的必要不充分条件；qp4、p > p ，且 q > p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 7 函数单调性函数单调性: : 增函数：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2 2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的，都有1212,x xDxx且成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。D 则就是 f（x）的递增区间。12()()f xf x减函数：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。（2 2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的，都有1212,x xDxx且成立，则就叫 f（x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（x）的递减区间。12()()f xf x单调性性质：(1)(1)、增函数+增函数=增函数；（2 2） 、减函数+减函数=减函数； (3)(3)、增函数-减函数=增函数；(4)(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：函数 单调单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：等价关系：(1)(1)设设那么那么1212,x xa bxx上是增函数；上是增函数；1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数上是减函数. .1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在(2)(2)设函数设函数在某个区间内可导，如果在某个区间内可导，如果，则，则为增函数；如果为增函数；如果，则，则)(xfy 0)( xf)(xf0)( xf为减函数为减函数. . )(xf8 8 函数的奇偶性：（注：函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：奇函数：定义：定义：在前提条件下，若有，()( )()( )0fxf xfxf x 或则 f（x）就是奇函数。 性质性质：（1） 、奇函数的图象关于原点对称；（2） 、奇函数在 x>0 和 x0 和 x0y=kx+boyxa0y=ax2+bx+coyx01 1y=axoyx011y=logaxoyx1111 对于函数对于函数( (),),恒成立恒成立, ,则函数则函数的对称轴是的对称轴是; ;两个两个)(xfy Rx)()(xbfaxf)(xf2bax函数函数与与 的图象关于直线的图象关于直线对称对称. . )(axfy)(xbfy2bax1212 分数指数幂与根式的性质：分数指数幂与根式的性质：(1)(1)（，且）.m nmnaa0,am nN1n （2 2）（，且）.11m n mnm na aa0,am nN1n （3 3）. .()nnaa（4 4）当）当为奇数时，为奇数时，；当；当为偶数时，为偶数时，. .nnnaan,0|,0nna aaaa a1313 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式: : . .logb aNbaN(0,1,0)aaN指数性质：指数性质：(1)(1)1、 ； （2 2） 、（） ； (3)(3)、1p paa01a 0a ()mnmnaa(4)(4)、 ； (5)(5)、 ； (0, ,)rsr saaaar sQm nmnaa指数函数：指数函数：(1)(1)、 在定义域内是单调递增函数；(1)xyaa（2 2） 、 在定义域内是单调递减函数。注：注： 指数指数函数图象都恒过点（0，1）(01)xyaa对数性质：对数性质： (1)(1)、 ；（2 2） 、 ； logloglog ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3)(3)、 ；(4)(4)、 ； (5)(5)、 loglogm aabmbloglogmn aanbbmlog 10a(6)(6)、 ； (7)(7)、 log1aa logabab对数函数：对数函数： (1)(1)、 在定义域内是单调递增函数；log(1)ayx a（2 2） 、在定义域内是单调递减函数；注：注： 对数对数函数图象都恒过点（1，0）log(01)ayxa(3)(3)、 log0,(0,1),(1,)axa xa x或(4)(4)、 或 log0(0,1)(1,)axax则(1,)(0,1)ax则1414 对数的换底公式对数的换底公式 : : ( (, ,且且, , ,且且, , ).).logloglogm a mNNa0a 1a 0m 1m 0N 对数恒等式：对数恒等式：( (, ,且且, , ).).logaNaN0a 1a 0N 推论推论 ( (, ,且且, , ).).loglogmn aanbbm0a 1a 0N 1515 对数的四则运算法则对数的四则运算法则: :若若 a a0 0，a1a1，M M0 0，N N0 0，则，则(1)(1); ; (2)(2) ; ;log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3)(3); ; (4)(4) 。loglog()n aaMnM nRloglog( ,)mn aanNN n mRm1616 平均增长率的问题（负增长时平均增长率的问题（负增长时）：）：0p 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为，则对于时间，则对于时间的总产值的总产值，有，有. .pxy(1)xyNp1717 等差数列：等差数列：通项公式：通项公式： （1） ，其中为首项，d 为公差，n 为项数，为末项。1(1)naand1ana（2）推广： ()nkaank d（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnaSSn前前 n 项和：项和： （1） ；其中为首项，n 为项数，为末项。1() 2n nn aaS1ana（2）1(1) 2nn nSnad（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnSSa n（4） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）12nnSaaa常用性质：常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaaaa注：注：若的等差中项，则有 2n、m、p 成等差。,mnpaa a是mnpaaa（2） 、若、为等差数列，则为等差数列。 na nbnnab（3） 、为等差数列，为其前 n 项和，则也成等差数列。 nanS232,mmmmmSSSSS（4） 、 ； ,0pqp qaq apa则（5） 1+2+3+n=2) 1( nn等比数列：等比数列：通项公式：通项公式：（1） ，其中为首项，n 为项数，q 为公比。1*1 1()nn naaa qqnNq1a（2）推广：n k nkaaq（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnaSSn前前 n 项和：项和：（1） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnSSa n（2） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）12nnSaaa（3） 11(1)(1)(1)1n nnaq Saqqq 常用性质：常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaaaa注：注：若的等比中项，则有 n、m、p 成等比。,mnpaa a是2 mnpaaa（2） 、若、为等比数列，则为等比数列。 na nbnnab18 分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) ：每次还款：每次还款元元(贷款贷款元元,次还清次还清,每期利率为每期利率为).(1) (1)1nnabbxbanb19 三角不等式：三角不等式：（1）若）若，则，则.(0,)2xsintanxxx(2) 若若，则，则.(0,)2x1sincos2xx(3) .|sin|cos| 1xx2020 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 ：，= =，22sincos1tan cossin2121 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 2222 和角与差角公式和角与差角公式; ; ;sin()sincoscossincos()coscossinsin. .tantantan()1tantan= =sincosab22sin()ab( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定, , ).).( , )a btanb a2323 二倍角公式及降幂公式二倍角公式及降幂公式 . .sin2sincos22tan 1tan . .2222cos2cossin2cos11 2sin 221tan 1tan . . 22tantan21tansin21 cos2tan1 cos2sin2221 cos21 cos2sin,cos222424 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数，xRxR 及函数及函数，xR(xR(A,A,为常数，且为常数，且 A A0)0)的周期的周期sin()yxcos()yx；函数；函数，( (A,A,为常数，且为常数，且 A A0)0)的周期的周期. .2 |T tan()yx,2xkkZ|T 三角函数的图像：三角函数的图像：-11y=sinx-223/2 /2-3/2-/2 oyx-11y=cosx-223/2/2-3/2-/2oyx2525 正弦定理正弦定理 ：（R R 为为外接圆的半径）外接圆的半径）. .2sinsinsinabcRABCABC2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC: :sin:sin:sina b cABC 2626 余弦定理：余弦定理：; ; ;. .2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC 2727 面积定理：面积定理：（1 1）（分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）. .111 222abcSahbhchabchhh、（2 2）. .111sinsinsin222SabCbcAcaB(3)(3). .221(| |)()2OABSOAOBOA OB 2,2abcSrrabc 斜边 内切圆直角内切圆2828 三角形内角和定理三角形内角和定理 ： 在在ABCABC 中，有中，有()ABCCAB. .222CAB222()CAB2929 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律: :设设 、 为实数，那么：为实数，那么： (1)(1) 结合律：结合律：()=()=() ; ;aa(2)(2)第一分配律：第一分配律：(+)(+) =+; ;aaa(3)(3)第二分配律：第二分配律：(+ +)=)=+. .abab3030与与的数量积的数量积( (或内积或内积) )：··=|=| |。abababcos 3131 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：(1)(1)设设= =, ,= =，则，则+ += =. .a11( ,)x yb22(,)xyab1212(,)xxyy(2)(2)设设= =, ,= =，则，则- -= =. . a11( ,)x yb22(,)xyab1212(,)xxyy(3)(3)设设 A A，B B, ,则则. .11( ,)x y22(,)xy2121(,)ABOBOAxx yy (4)(4)设设= =，则，则= =. .a( , ),x yRa(,)xy(5)(5)设设= =, ,= =，则，则··= =. .a11( ,)x yb22(,)xyab1212()x xy y3232 两向量的夹角公式：两向量的夹角公式：( (= =, ,= =).).12122222 1122cos| |x xy ya b abxyxy a11( ,)x yb22(,)xy3333 平面两点间的距离公式：平面两点间的距离公式：= =(A(A，B B).).,A Bd|ABAB AB 22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy3434 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 ：设：设= =, ,= =，且，且，则：，则：a11( ,)x yb22(,)xyb0|= . .（交叉相乘差为零）（交叉相乘差为零）abba12210x yx y( () ) ··=0=0. .（对应相乘和为零）（对应相乘和为零）aba0ab12120x xy y3535 线段的定比分公式线段的定比分公式 ：设：设，是线段是线段的分点的分点, ,是实数，且是实数，且111( ,)P x y222(,)P xy( , )P x y12PP，则，则12PPPP 121211xxxyyy 12 1OPOPOP （）. .12(1)OPtOPt OP 1 1t 3636 三角形的重心坐标公式：三角形的重心坐标公式： ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为、, ,则则ABCABC11A(x,y)22B(x,y)33C(x,y)的重心的坐标是的重心的坐标是. .123123(,)33xxxyyyG3737 三角形五三角形五“心心”向量形式的充要条件：向量形式的充要条件： 设设为为所在平面上一点，角所在平面上一点，角所对边长分别为所对边长分别为，则，则OABC, ,A B C, ,a b c（1 1）为为的外心的外心. .OABC222OAOBOC （2 2）为为的重心的重心. .OABC0OAOBOC （3 3）为为的垂心的垂心. .OABCOA OBOB OCOC OA （4 4）为为的内心的内心. . OABC0aOAbOBcOC （5 5）为为的的的旁心的旁心. .OABCAaOAbOBcOC 3838 常用不等式：常用不等式：（1 1）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR222abab（2 2）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR2abab（3 3）3333(0,0,0).abcabc abc（4 4）. .bababa（5 5）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) )。222 22ababababab 3939 极值定理极值定理: :已知已知都是正数，则有都是正数，则有yx,（1 1）若积）若积是定值是定值，则当，则当时和时和有最小值有最小值；xypyx yx p2（2 2）若和）若和是定值是定值，则当，则当时积时积有最大值有最大值. .yx syx xy2 41s（3 3）已知）已知，若，若则有则有, , ,a b x yR1axby。21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy（4 4）已知）已知，若，若则有则有, , ,a b x yR1ab xy2()()2()abaybxxyxyababababxyxy4040 一元二次不等式一元二次不等式，如果，如果与与同号，则同号，则20(0)axbxc或2(0,40)abac a2axbxc其解集在两根之外；如果其解集在两根之外；如果与与异号，则其解集在两根之间异号，则其解集在两根之间. .简言之：同号两根之外，异简言之：同号两根之外，异a2axbxc 号两根之间号两根之间. .即：即： ；121212()()0()xxxxxxxxx. .121212,()()0()xxxxxxxxxx或4141 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 ：当：当 a>a> 0 0 时，有时，有. .22xaxaaxa 或或. .22xaxaxaxa 42 斜率公式斜率公式 ：（、）.2121yykxx111( ,)P x y222(,)P xy43 直线的五种方程：直线的五种方程： （1）点斜式）点斜式 ( (直线直线 过点过点，且斜率为，且斜率为)11()yyk xxl111( ,)P x yk（2 2）斜截式）斜截式 (b(b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).ykxbl（3 3）两点式）两点式 (