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数学各种公式及性质数学各种公式及性质1乘法与因式分解乘法与因式分解(ab)(ab)a2b2；(a±b)2a2±2abb2；(ab)(a2abb2)a3b3；(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab。2幂的运算性质幂的运算性质am×anam+n；am÷anam-n；(am)namn；(ab)nanbn；()n；a bnna ba-n，特别：( )-n( )n；a01(a0)。1na3二次根式二次根式()2a(a0)；丨a丨；×；(a0，b0)。4三角不等式三角不等式|a|-|b|a±b|a|+|b|（定理） ；加强条件：|a|-|b|a±b|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中 a，b 分别为向量 a 和向量 b） |a+b|a|+|b|；|a-b|a|+|b|；|a|b-bab ；|a-b|a|-|b|； -|a|a|a|； 5某些数列前某些数列前 n 项之和项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 ；2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3； 6一元二次方程一元二次方程对于方程：ax2bxc0：求根公式求根公式是x，其中b24ac叫做根的判别式。24 2bbac a 当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根。若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)。以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0。7一次函数一次函数一次函数一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；特别地：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点。8反比例函数反比例函数反比例函数反比例函数y (k0)的图象叫做双曲线。当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。9 二次函数二次函数（1）.定义：定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数。cbacbxaxy,(2)0ayx（2）.抛物线的三要素：抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同。a平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。yhx y0x（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy （轴）0xy（0,0）kaxy2（轴）0xy(0, )k2hxayhx (,0)hkhxay2hx (,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abac ab 44 22，（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：，顶点是，对称轴是abac abxacbxaxy44 222 2 ），（abac ab 44 22直线。abx2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(khxay2,)，对称轴是直线。h khx 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（及 y 值相同） ，则对称轴方程可以表示为：12( , ) (, )、x yxy12 2xxx（5）.抛物线抛物线中，中，的作用的作用cbxaxy2cba,决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。a2axy a和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线。bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴abx20by0ababy左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧。0ababy 的大小决定抛物线与轴交点的位置。ccbxaxy2y当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0， ）：0xcy cbxaxy2yc，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 y。0ab（6）.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。khxay2交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。x1x2x21xxxxay（7）.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点轴与抛物线得交点为(0, )。ycbxaxy2c抛物线与轴的交点。x二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程cbxaxy2x1x2x的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02cbxaxx式判定：a 有两个交点()抛物线与轴相交；0xb 有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；x0xc 没有交点()抛物线与轴相离。0x平行于轴的直线与抛物线的交点x同一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。kkcbxax2一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由0knkxyl02acbxaxyG方程组 的解的数目来确定：cbxaxynkxy2a 方程组有两组不同的解时与有两个交点；lGb 方程组只有一组解时与只有一个交点；lGc 方程组无解时与没有交点。lG抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为xcbxaxy2x，则 0021，xBxA12ABxx10统计初步统计初步（1）概念）概念：所要考察的对象的全体叫做总体总体，其中每一个考察对象叫做个体个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本样本，样本中个体的数目叫做样本容量样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数中位数 （2）公式：）公式：设有 n 个数x1，x2，xn，那么：平均数为：；12.nxxxxn+=极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方 法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据、, 的方差为，1x2xnx2s则=2s()()()222 121.nxxxxxxnéù-+-+-êúëû 标准差：方差的算术平方根。数据、, 的标准差 ，1x2xnxs则 =s()()()222121.nxxxxxxnéù-+-+-êúëû一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。11频率与概率频率与概率（1）频率）频率频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中 总数频数各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率）概率如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；12 锐角三角形锐角三角形设A是ABC的任一锐角，则A的正弦：sinA，A的余弦：cosA-，A的正切：tanA并且sin2Acos2A1。0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式余角公式：sin(90ºA)cosA，cos(90ºA)sinA。特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值：sin30ºcos60º ，sin45ºcos45º，sin60ºcos30º， tan30º，tan45º1，tan60º。斜坡的坡度：斜坡的坡度：i 设坡角为，则itan 。铅垂高度 水平宽度13 正（余）弦定理正（余）弦定理（1）正弦定理正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c（2）余弦定理余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC； 注：C所对的边为 c，B所对的边为 b，A所对的边为a14 三角函数公式三角函数公式（1） 两角和公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) （2） 倍角公式倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a （3） 半角公式半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) （4） 和差化积和差化积 sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB （5） 积化和差积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) hl15 平面直角坐标系中的有关知识平面直角坐标系中的有关知识（1）对称性：）对称性：若直角坐标系内一点 P（a，b） ，则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，b） ，P 关于 y 轴对称的点为 P2（a，b） ，关于原点对称的点为 P3（a，b） 。（2）坐标平移：）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b） ，向右平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b） ；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh） ，向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh）.如：点 A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7，1） 。16 多边形内角和公式多边形内角和公式多边形内角和公式：多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180º（n3，n是正整数） ，外角和等于360º17 平行线段成比例定理平行线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理：）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：abc，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C 和 D、E、F，则有。,ABDEABDE BCEF BCEFACDFACDF（2）推论：）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。 如图：ABC 中，DEBC，DE 与 AB、AC 相交与点 D、E，则有：,ADAE ADAEDE DBEC DBECABACBCABAC18 直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：直角三角形中的射影定理：如图：RtABC 中，ACB90o，CDAB 于 D，则有：（1）（2）（3）2CDAD BD2ACAD AB2BCBD AB19 圆的有关性质圆的有关性质（1）垂径定理垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径。（2）两条平行弦平行弦所夹的弧相等。（3）圆心角圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（4）一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的圆心角圆心角的一半。（5）圆周角等于它所对的弧的度数弧的度数的一半。（6）同弧或等同弧或等弧弧所对的圆周角相等。CABDacABCDEFl1bl2ABCDECEABD（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧弧相等。（8）90º的圆周角所对的弦是直径直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦。、（9）圆内接四边形圆内接四边形的对角互补。20 三角形的内心与外心三角形的内心与外心（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点。（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：RtABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径-；2abcrABC 的周长为 ，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则l1 2Slr21 弦切角定理及其推论弦切角定理及其推论（1）弦切角：）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图： PAC 为弦切角。 （2）弦切角定理：）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果 AC 是O 的弦，PA 是O 的切线，A 为切点，则A11 22PACACAOC推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果 AC 是O 的弦，PA 是O 的切线，A 为切点，则PACABC 22 相交弦定理、割线定理和切割线定理相交弦定理、割线定理和切割线定理（1）相交弦定理：）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，即：PA·PB = PC·PD（2）割线定理：）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：PA·PB = PC·PD（3）切割线定理：）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PA·PB 23 面积公式面积公式S正正 ×(边长)2 S平行四边形平行四边形底×高S菱形菱形底×高 ×(对角线的积)，1()2S梯形上底下底高中位线高POCABD POCBADPOCABOPBCAS圆圆R2 l圆周长圆周长2R弧长L 21 3602n rSlr扇形S圆柱侧圆柱侧底面周长×高2rh，S全面积全面积S侧S底2rh2r2S圆锥侧圆锥侧 ×底面周长×母线rb， S全面积全面积S侧S底rbr2