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二次函数二次函数【知识清单知识清单】一、网络框架二、清单梳理1、一般的，形如2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的函数叫二次函数。例如222212,26,4 ,5963yxyxyxx yxx 等都是二次函数。注意：系数a不能为零，, b c可以为零。2(0)0=00=0000000yax ayayayaxyxxyxaxyxxyx 最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0, 0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）, 随的增大而减小。在对称轴右边（即）, 随的增大而增大。增减性 当时，在对称轴左边（即）, 随的增大而增大。在对称轴右边（即）, 随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440yaxbxc aaabac baa bxaac bac bayayaaa 最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左 增减性：22022bbxyxxyxaa bbaxyxxyxaa 边（即-）, 随的增大而减小。在对称轴右边（即-）, 随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）, 随的增大而增大。在对称轴右边（即-）, 随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题 2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数顶点式：2()( , ,0)ya xhk a h ka为常数，且，顶点坐标为( , )h k交点式：1212()()(0,)ya xxxxax xx其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数, ,a b c之间的关系a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a 时，开口方向向上；当0a 时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当0c 时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方） ；当0c 时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方） ；当0c 时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b a时，对称轴在y轴右边；当02b a时，对称轴在y轴左边；当02b a（即当0b 时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1x 时，有yabc；当1x 时，有yabc。反之也成立。4、二次函数2()ya xhk的图像可由抛物线2yax向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当0h 时，抛物线2yax向右平移h个单位；当0h 时，抛物线2yax向左平移h个单位，得到2()ya xh；当0k 时，抛物线2()ya xh再向上平移k个单位，当0k 时，抛物线2()ya xh再向下平移k个单位，而得到2()ya xhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxc a与一元二次方程20(0)axbxca的关系：若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个不相等的实根。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有一个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个相等的实根（即一根） 。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴无交点，则一元二次方程20(0)axbxca没有实根。6、二次函数2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的图像与性质关系式2(0)yaxbxc a2()(0)ya xhk a图像形状抛物线顶点坐标24(,)24bacb aa( , )h k对称轴 2bxa xh0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；增减性0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；0a 当2bxa 时，24=4acbya最小值当xh时，=ky最小值最大值最小值0a 当2bxa 时，24=4acbya最大值当xh时，=ky最大值【考点解析考点解析】考点一：二次函数的概念考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A yx .81B yx 8.C yx 23.4D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中281yx符合2(0)yaxbxc a的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例函数，D中右边234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2】已知函数2234(2 )3(1)mmymm xmxm是二次函数，则m _。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有2220342mmmm，解得0212mmmm 且或，综上所述，m取1。【答案】1【针对训练针对训练】1、若函数22(2)mymxmx是二次函数，则该函数的表达式为_y 。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点8 , a在二次函数2axy 的图象上，则a的值是（）2 . A 2.B .C2 2.D【解析】因为点8 , a在二次函数2axy 的图象上，所以将点8 , a代入二次函数2axy 中，可以得出3a8，则可得2a，【答案】. A【例 2】 （2011，泰安）若二次函数cbxaxy2的x与y的部分对应值如下表，则当1x时，y的值为（ ）x765432y271333535 . A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析式为khxay2，因为当4x或2时，3y，由抛物线的对称性可知3h，5h，所以532xay，把3 , 2代入得，2a，所以二次函数的解析式为5322xy，当3x时，27y。 【答案 】C【针对训练针对训练】1、(2002 年太原 )过0 , 1, 0 , 3, 2 , 1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）. A 2 , 1 2.(1, )3B 5 , 1. C 14.(2,)3D2、无论m为何实数，二次函数2xy mxm 2的图象总是过定点（ ） 3 , 1. A 0 , 1.B 3 , 1. C 0 , 1D【例 3】 （2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数cbxaxy2的图象顶点为2, 2.A，且过点2 , 0B，则y与x的函 数关系式为（ ） . A22 xy.B222 xy .C222 xy .D222 xy【解析】设这个二次函数的关系式为222xay，将2 , 0B代入得22022，解得：1a，故这个二次函数的关系式是222 xy，【答案 】D【针对训练针对训练】1、二次函数的顶点为，则二次函数的解析式为 _.21 2yxbxc(2, 1)【例 4】二次函数过点，则二次函数的解析式为2yxbxc( 3,0) (1,0)、_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数, ,a b c的关系）的关系）【例 1】 （2012，兰州）已知二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，则a、b的大小关系为（ ）. Aba .Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，所以0a，1b，1b，所以ba 。【答案】. A【针对训练针对训练】 1、二次函数1422xxy的最小值是 。2、 （2013，兰州）二次函数3) 1(22xy的图象的顶点坐标是（ ）. A)31 ( ， .B)31(， .C)31 ( ， .D)31( ，3、抛物线)2( xxy的顶点坐标是（ ）. A) 11( ， .B) 11(， .C) 11 ( ， .D) 11 ( ，【例 2】 （2012，兰州）抛物线3)2(2 xy可以由抛物线2xy 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）. A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线2)2( xy，再向下平移 3 个单位可得到抛物线3)2(2 xy。 【答案】.B【针对训练针对训练】 1、 （2012，南京）已知下列函数：（1）2xy ；（2）2xy；（3）2) 1(2 xy。其中，图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有 （填写所有正确选项的序号） 。2、 （2009，上海）将抛物线22 xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）. A22xy .B2)2( xy.C2)2( xy .D22xy4、将抛物线向下平移 3 个单位，在向左平移 4 个单位得到抛物线2(0)yaxbxc a，则原抛物线的顶点坐标是_。2245yxx 【例 3】 （2013，长沙）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） . A0a.B0c.C042 acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以0a，0c，042 acb，且当1x时，0cbay。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。【答案】.D【例 4】 （2011，山西）已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（ ）. A0ac.B方程02cbxax的两根是11x，32x.C02ba.D当0x时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0a，0c，故 A 错误；因对称轴为直线1x，所以12ab，故 C 错误；由图象可知当01 x时，y随x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】.B【针对训练针对训练】 1、 （2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数mmxy和函数222xmxy（m是常数，且0m）的图象可能是（ ）. A.B.C.D2、 （2011，重庆）已知抛物线cbxaxy2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）. A0a .B0b.C0c .D0cba3、在反比例函数中xay )0(a，当0x时，y随x的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是（ ）. A.B.C.D4、如图所示，二次函数的图像经过，且与轴的交点的2(0)yaxbxc a( 1,2)A x横坐标分别为，其中，下列结论：；12,x x1221,01xx 420abc；，其中正确的选项有_。20ab1a 284baac【例 5】已知关于的函数，求当时函数的最大值和最小值x243yxx11x 【针对训练针对训练】1、 已知函数，试求当的最大值和最小值2241yxx12x 2、 已知函数，试求当的最大值和最小值224| 1yxx12x 【例 6】已知二次函数其中满足和2(0)yaxbxc aabc、0abc，则该二次函数的对称轴是直线_。930abc【针对训练针对训练】1、 已知是二次函数的图像上的两点，12( ,2002)(,2002)A xB x、25(0)yaxbxa则当时，二次函数的值是_.12xxx【例 7】已知二次函数，当时，的值随值的增大而增大，则实222yxmx2x yx数的取值范围是_。m【针对训练针对训练】1、 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是2()1yxm1x yxm_。讲到这儿了考点四：二次函数的实际应用考点四：二次函数的实际应用【例 1】 （2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y（元）x与月份（91 x，且x取整数）之间的函数关系如下表：月份x123456789价格1y（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格2y（元）与月份x（10x12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量1p（万件）与月份x满足函数关系式1 . 11 . 01xp（1x9，且x取整数）10 至 12 月的销售量2p（万件）与月份x满足函数关系式9 . 21 . 02xp（10x12，且x取整数） 求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少%1 . 0 a这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】 （1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得1y的解析式把（10，730） （12，750）代入直线解析式可得2y的解析式， ；（2）分情况探讨得：1x9时，利润=1p×（售价各种成本） ；10x12 时，利润=2p×（售价各种成本） ；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：（1）设bkxy，则 5802560 bkbk，解得 5420bk，540201xy（1x9，且x取整数） ；设baxy2，则 75127310baba，解得 6310 ba，630102xy（10x12，且x取整数） ；（2）设去年第x月的利润为W元1x9，且x取整数时450)4(2418162)30501000(22 11xxxypWx=4 时，W最大=450 元；10x12，且x取整数时，2 22)29()30501000(xypWx=10 时，W最大=361 元；（3）去年 12 月的销售量为0.1×12+2.9=1.7（万件） ，今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50×（1+20%）=60 元5×1000×（1+%a）8106030×1.7（10.1×%a）=1700，设%at ，整理得01099102tt，解得20940199t9401 更接近于 9409，979401 ，1t0.1，2t9.8，1a10 或2a980，1.7（10.1×%a）1，a10【答案】 （1）630102xy（10x12，且x取整数） ；（2）x=10 时，W最大=361 元；（3）a10【针对训练针对训练】1、 （2013 湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数。（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【例 2】 （2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0） ，直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，其中点A在y轴上（1）二次函数的解析式为y= ；（2）证明点) 12 ,(mm不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作xCE 轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点y轴上存在点K，使以CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则KK 点的坐标是 ；二次函数的图象上是否存在点P，使得ABDPOESS 2？求出P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】 （1）由二次函数图象的顶点坐标为)0 , 2(，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式 （2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式 （3）由直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，解得BA,两点坐标，求出D点坐标，设K点坐标), 0(a，使CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则DCKA ，且DKBA/，进而求出K点的坐标过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到ABDPOESS 2，设) 141,(2 xxxP，由题意可以解出x（1）解：1412xxy（2）证明：设点) 12 ,(mm在二次函数1412xxy的图象上，则有：141122mmm，整理得0842 mm，01684)4(2原方程无解，点) 12 ,(mm不在二次函数1412xxy的图象上（3）解：)3, 0( K或)5 , 0(二次函数的图象上存在点P，使得ABDPOESS 2，如图，过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，EFOE ，由于1412xxy和1 xy可求得点)9 , 8(B)5 , 4(),1 , 4(),0 , 4(CDExAD/轴，16442122ABDPOESS设) 141,(2 xxxP，由题意得：2221) 141(42122xxxxSPOEABDPOESS 23222212 xx解得6x或10x，当6x时，16163641y，当10x时，1611010041y，存在点)16, 6(P和)16,10(P，使得ABDPOESS 2【答案】 （1）1412xxy； （2）见上述解答过程； （3）存在，点)16, 6(P和)16,10(P【例 3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点28 2 5yxbxc3( ,0)2A，与轴的另一个交点为。(1,2 2)BxC（1）求抛物线的函数表达式；（2）点在对称轴的右侧、轴上方的抛物线上，且，求点的坐DxBDADAC D标；（3）在（2）的条件下，连接，交抛物线对称轴于点，连接。BDEAE判断四边形的形状，并说明理由；OAEB点是的中点，点是直线上的一个动点，且点和点不重合，当FOBMBDMB时，请直接写出线段的长1 3BMFMFOBM【答案】 （1）28 242 22 28 2(23)(27)555yxxxx（2）/ /(4,2 2)BDACD（3）平行四边形；或1 25 2【针对训练针对训练】1、（2012，泉州）如图，O为坐标原点，直线 l 绕着点)2 , 0(A旋转，与经过点) 1 , 0(C的二次函数hxy2 41的图象交于不同的两点QP、（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点CP、作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l 的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状【基础闯关基础闯关】1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，那么这个函数的解析式为_。 2、已知二次函数131232xxy，则函数y的最小值是_。3、把抛物线22xy 向上平移 5 个单位，所得抛物线的解析式为_。4、 （2011，济宁）将二次函数542xxy化成khxy2)(的形式，则y_。5、 （2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（ ） . A22xxy .B22xxy.C22xxy .D22xxy6、已知函数cbxaxy2)0(a的图象如图所示，则函数baxy的图象是（ ）. A .B .C .D7、 （2013，兰州）二次函数3122）（xy的图象的顶点坐标是（ ）. A（1，3） .B（1，3） .C（1，3） .D（1，3）8、 （2013，泰安）对于抛物线3) 1(212xy，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线1x；顶点坐标为（1，3） ；1x时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）. A 1 .B2 .C3 .D49、 （2013，贵阳）已知：直线baxy过抛物线322xxy的顶点p，如图所示（1）顶点p的坐标是_（2）若直线baxy经过另一点A（0，11） ，求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线nmxy与直线baxy关于x轴成轴对称，求直线nmxy与抛物线322xxy的交点坐标10、 （2010，虹口区一模）已知二次函数322xxy，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为kmxay2)(的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况【拓展提高拓展提高】1、将二次函数3) 1(22xy的图象沿y轴向上平移 3 个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。2、若抛物线mxxy22的最低点的纵坐标为n，则nm的值是 。3、抛物线cbxaxy2的顶点坐标是3 , 1，且过点5 , 0，那么二次函数cbxaxy2的解析式为（ ）. A5422xxy .B5422xxy.C1422xxy .D3422xxy4、 （2010，兰州）抛物线cbxxy2图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为322xxy，则b、c的值为（ ）. A 2b，2c .B2b，0c.C2b，1c .D3b，2c5、 （2010，兰州）抛物线cbxaxy2图象如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数xcbay在同一坐标系内的图象大致为（ ）. A .B.C.D6、 （2012，南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（ ）. A k=n .Bh=m .Ckn .Dh0，k0 7、 （2010，北京）将二次函数322xxy化为khxy2)(的形式，结果为（ ） . A4) 1(2 xy.B4) 1(2 xy.C2) 1(2 xy.D2) 1(2 xy 8、（2012，重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1 至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份x（1x6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x（月） 1 23 45 6 输送的污水量 y1（吨） 12000 6000 4000 3000 24002000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份x（7x12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为)0(2 2acaxy其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：1z（元）与月份x之间满足函数关系式：xz211，该企业自身处理每吨污水的费用：2z（元）与月份x之间满足函数关系式： xxz121 432；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出21, yy与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000 元，请计算出 a 的整数值（参考数据：2 .15231 ，5 .20419 ，4 .28809 ）9、(2012，丽水)在直角坐标系中，点 A 是抛物线 yx2在第二象限上的点，连接 OA，过点O 作OAOB ，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC(1)如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形；(2)如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物线2xy 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 yx2，试判断抛物线 yx2经过平移交换后，能否经过CBA,三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由