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''高等数学（非数院）第一章第一章函数与极限函数与极限 第一节第一节函数函数 函数基础（高中函数部分相关知识） （） 邻域（去心邻域） （）,|U ax xa,|0U axxa第二节第二节数列的极限数列的极限 数列极限的证明（）【题型示例】已知数列，证明 nx limnxxa 【证明示例】语言N1由化简得，nxa gn Ng 2即对，。当时，始终0 Ng Nn 有不等式成立，nxa axn x lim第三节第三节函数的极限函数的极限 时函数极限的证明（）0xx 【题型示例】已知函数，证明 xf Axf xx 0lim【证明示例】语言1由化简得， f xA 00xxg g2即对，当时，0 g00xx始终有不等式成立， f xA Axf xx 0lim时函数极限的证明（）x 【题型示例】已知函数，证明 xf Axf x lim【证明示例】语言X1由化简得， f xA xg gX 2即对，当时，始终有0 gX Xx 不等式成立， f xA Axf x lim第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（） 函数无穷小 xf 0limxf函数无穷大 xf xflim无穷小与无穷大的相关定理与推论（） （定理三）假设为有界函数，为无穷小， xf xg则 lim0f xg x（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 xf为无穷大，则为无穷小；反之，若 1fx为无穷小，且，则为无穷 xf 0f x xf1大【题型示例】计算：（或） 0lim xxf xg x x1函数在的任一去心 f xM f x0xx 邻域内是有界的；,0xU（，函数在上有界； f xM f xDx） 2即函数是时的无穷小； 0lim0 xg xx xg0xx （即函数是时的无穷小； 0lim xg x xgx）3由定理可知 0lim0 xxf xg x （） lim0 xf xg x 第五节第五节极限运算法则极限运算法则 极限的四则运算法则（） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式、商式的极限运算 p x xq设： nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp1 101 10则有 0lim00 ba xqxpx mnmnmn 000 lim 0 0xxf x g xf x g x 0000000,00g xg xf xg xf x（特别地，当（不定型）时，通常 00lim0xxf x g x分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出 极限值，也可以用罗比达法则求解）''【题型示例】求值233lim9xx x 【求解示例】解：因为，从而可得，所以3x3x 原式23333311limlimlim93336xxxxx xxxx其中为函数的可去间断点3x 23 9xf xx 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解： 0 0233323311limlimlim9269xL xxxx xxx连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （）（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那 xf么， 00limlim xxxxfxfx 【题型示例】求值：93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxx xx第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：1sinlim 0 xxx，2, 0xxxxtansin1sinlim 0 xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxx xxx xx（特别地，）000sin()lim1 xxxx xx单调有界收敛准则（P57） （）第二个重要极限：exxx 11lim（一般地，其中 limlimlimg xg xf xf x ） 0limxf【题型示例】求值：11232lim xxxx【求解示例】211121212122121122122121lim21 221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx 解：12lim1212121212122lim121x xxxxxxx xeeee 第七节第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（）1 sin tan arcsin arctan ln(1)1UUUUUUUe2UUcos1212（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值： xxxxxx31ln1lnlim20 【求解示例】 31 31lim31lim31ln1lim31ln1lnlim, 0, 000020xx xxxx xxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节第八节函数的连续性函数的连续性 函数连续的定义（） 000limlim xxxxf xf xf x 间断点的分类（P67） （） ）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数 ，应该怎样 xaexfx200 xx选择数，使得成为在上的连续函数？a xfR 【求解示例】1 2 010000feeefaafa 2由连续函数定义 efxfxf xx 0limlim 00''ea 第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 零点定理（）【题型示例】证明：方程至少有一个 f xg xC根介于与之间ab 【证明示例】1 （建立辅助函数）函数在 xf xg xC闭区间上连续；, a b2（端点异号） 0ab3由零点定理，在开区间内至少有一点，ba,使得，即（ 0 0fgC）104这等式说明方程在开区间 f xg xC内至少有一个根ba, 第二章第二章导数与微分导数与微分 第一节第一节导数概念导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）【题型示例】已知函数 ，在 baxexfx100 xx处可导，求，0xab 【求解示例】1， 0010fefa 00001120012feefbfe 2由函数可导定义 0010002ffafffb 1,2ab【题型示例】求在处的切线与法线方程 xfy ax （或：过图像上点处的切线与法线 xfy , a f a 方程） 【求解示例】 1， xfy afyax|2切线方程： yf afaxa法线方程： 1yf axafa 第二节第二节函数的和（差）函数的和（差） 、积与商的求导法则、积与商的求导法则 函数和（差） 、积与商的求导法则（） 1线性组合（定理一）：()uvuv特别地，当时，有1()uvuv 2函数积的求导法则（定理二）：()uvu vuv 3函数商的求导法则（定理三）：2uu vuv vv 第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（）【题型示例】求函数的导数 xf1【求解示例】由题可得为直接函数，其在定于域 xf上单调、可导，且；D 0 xf 11fxfx 复合函数的求导法则（）【题型示例】设，求2arcsin122lnxyexay【求解示例】 2222222arcsin122arcsin122222 arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin1221112112 1221 221xxxxxxxyexa exaxxae xaxexax xxe xxaexae exa 解：2n1222212xxxxxxa 第四节第四节高阶导数高阶导数（或） （） 1nnfxfx11nnnnd ydy dxdx 【题型示例】求函数的阶导数xy1lnn【求解示例】，1111yxx ， 12111yxx 2311121yxx 1( 1)(1) (1)nnnynx ！ 第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对求导） （）x【题型示例】试求：方程所给定的曲线：yexyC''在点的切线方程与法线方程 xyy 1 ,1e【求解示例】由两边对求导yexyx即化简得 yyxe1yyey eey11 111切线方程：exey1111法线方程：exey111 参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程，求 tytx 22dxyd【求解示例】1.2. tt dxdy 22dy d ydx dxt第六节第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节第七节函数的微分函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dxxfdy 第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 第一节第一节中值定理中值定理 引理（费马引理） （） 罗尔定理（）【题型示例】现假设函数在上连续，在 f x0,上可导，试证明：，0,0, 使得成立 cossin0ff【证明示例】1 （建立辅助函数）令 sinxf xx显然函数在闭区间上连续，在开区间 x0,上可导；0,2又 00 sin00f sin0f 即 00 3由罗尔定理知，使得成0, cossin0ff立 拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当时，1x xee x 【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数，则对， xf xe1x 显然函数在闭区间上连续，在开区间 f x1,x上可导，并且；1,x xfxe2由拉格朗日中值定理可得，使得等式1,x 成立，11xeexe又，1ee111xeexee xe 化简得，即证得：当时，xee x 1x xee x 【题型示例】证明不等式：当时，0x ln 1xx【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数，则对 ln 1f xx，函数在闭区间上连续，在开0x f x0,x区间上可导，并且；0, 1 1fxx 2由拉格朗日中值定理可得，使得等式0,x 成立，1ln 1ln 1 001xx化简得，又，1ln 11xx0,x， 111fln 11xxx 即证得：当时，1x xee x 第二节第二节罗比达法则罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算） 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型（）且满足条件，0,0 则进行运算： limlim xaxaf xfx g xgx（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）B不属于两大基本不定型（转化为基本不定 型） 型（转乘为除，构造分式）0【题型示例】求值： 0limln xxx【求解示例】10000201 lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxL xxxxxxxxx xxxxa 解：''（一般地，其中） 0limln0 xxx,R 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值： 011limsinxxx 【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxx xxxxx解： 00 0000002sin1 cos1 cossinlimlimlimlim0222L xxL xxxxxxx xxx型（对数求极限法）00【题型示例】求值： 0limxxx 【求解示例】0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0lim lnlimlim111limlim0limlim11xxxxxL xyyxxxxxyxyxxxxxxxyxxxxyeeex 解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有型（对数求极限法）1【题型示例】求值：10lim cossinx xxx 【求解示例】 01000 000limlnln100ln cossincossin,ln,ln cossinln0limlnlimln cossincossin1 0limlim1,cossin1 0lim =limxxxxL xxyyxxxxyxxyx xxyxyxxxxx xxxyeeee解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得型（对数求极限法）0【题型示例】求值：tan01limxxx 【求解示例】tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlim tanln1 lnlnlimlimlim1sec1 tantantansinsinlimlimlixxxxLxxxL xyyxxxyxyxxxxx x xxxxx xx 解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim =lim1xxyyxxxxyeee从而可得运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000 001 (1)(2)(3)通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） 取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节第三节泰勒中值定理（不作要求）泰勒中值定理（不作要求） 第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间） （）【题型示例】试确定函数的 3229123f xxxx单调区间 【求解示例】1函数在其定义域上连续，且可导 f xR 261812fxxx2令，解得： 6120fxxx121,2xx3 （三行表） x,111,222, fx00 f xA极大值A极小值A4函数的单调递增区间为； f x,1 , 2,单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当时，0x 1xex 【证明示例】1 （构建辅助函数）设， （） 1xxex0x 2， （） 10xxe 0x '' 00x3既证：当时，0x 1xex【题型示例】证明：当时，0x ln 1xx【证明示例】1 （构建辅助函数）设， ln 1xxx（）0x 2， （） 1101xx 0x 00x3既证：当时，0x ln 1xx连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数的单调性、极231 3yxx 值、凹凸性及拐点【证明示例】1 236326661yxxx xyxx 2令解得： 320610yx xyx 120,21xxx 3 （四行表） x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00y y1(1,3)54函数单调递增区间为,231 3yxx (0,1)单调递增区间为,；(1,2)(,0)(2,)函数的极小值在时取到，231 3yxx 0x 为， 01f极大值在时取到，为；2x 25f函数在区间,上凹，231 3yxx (,0)(0,1)在区间,上凸；(1,2)(2,)函数的拐点坐标为231 3yxx 1,3第五节第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（）设函数的定义域为，如果的某个邻 f xDMx域，使得对，都适合不MU xDMxU x 等式， Mf xf x我们则称函数在点处有极大 f x,MMxf x值；Mf x令123,.,MMMMMnxxxxx则函数在闭区间上的最大值满足： f x, a bM； 123max,.,MMMMnMf axxxxf b设函数的定义域为，如果的某个邻 f xDmx域，使得对，都适合不mU xD mxU x 等式， mf xf x我们则称函数在点处有极小值 f x,mmxf x；mf x令123,.,mmmmmnxxxxx则函数在闭区间上的最小值满足： f x, a bm； 123min,.,mmmmnmf axxxxf b【题型示例】求函数在上的最值 33f xxx1,3【求解示例】1函数在其定义域上连续，且可导 f x1,3 233fxx 2令， 3110fxxx 解得：121,1xx 3 （三行表） x11,111,3 fx00 f x极小值A极大值A4又 12,12,318fff maxmin12,318f xff xf 第六节第六节函数图形的描绘（不作要求）函数图形的描绘（不作要求） 第七节第七节曲率（不作要求）曲率（不作要求） 第八节第八节方程的近似解（不作要求）方程的近似解（不作要求） 第四章第四章不定积分不定积分 第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念（） 原函数的概念：假设在定义区间上，可导函数的导函I F x数为，即当自变量时，有 FxxI或成立，则称 Fxf x dF xf xdx为的一个原函数 F x f x原函数存在定理：（）''如果函数在定义区间上连续，则在 f xI上必存在可导函数使得，也I F x Fxf x就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（）在定义区间上，函数的带有任意常数I f x项的原函数称为在定义区间上的不定积C f xI分，即表示为： f x dxF xC（称为积分号，称为被积函数， f x称为积分表达式，则称为积分变量） f x dxx基本积分表（） 不定积分的线性性质（分项积分公式） （） 1212k f xk g xdxkf x dxkg x dx 第二节第二节换元积分法换元积分法 第一类换元法（凑微分） （） （的逆向应用） dxxfdy fxx dxfxdx【题型示例】求221dxax【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxx aa解：【题型示例】求1 21dxx【求解示例】 11112121221212 2121dxdxdxxxxxC 解：第二类换元法（去根式） （） （的正向应用） dxxfdy对于一次根式（）：0,abR：令，于是，axbtaxb2tbxa则原式可化为t 对于根号下平方和的形式（）：0a ：令（） ，22axtanxat22t 于是，则原式可化为；arctanxtasecat对于根号下平方差的形式（）：0a a：令（） ，22axsinxat22t 于是，则原式可化为；arcsinxtacosatb：令（） ，22xasecxat02t 于是，则原式可化为；arccosatxtanat【题型示例】求（一次根式）1 21dxx【求解示例】221 11 22112121txxtdx tdtdxtdtdttCxCtx 解：【题型示例】求（三角换元）22ax dx 【求解示例】2sin ()222222arcsincos22cos1 cos221sin2sin cos222x attxtadx ataax dxatdtt dtaattCtttC 解：第三节第三节分部积分法分部积分法 分部积分法（）设函数，具有连续导数，则 uf x vg x其分部积分公式可表示为：udvuvvdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、 指” 运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分：（）v dxdv使用分部积分公式：udvuvvdu展开尾项，判断vduv u dxa若是容易求解的不定积分，则直接计v u dx 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果） ；b若依旧是相当复杂，无法通过 a 中方v u dx 法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数 C【题型示例】求2xex dx 【求解示例】'' 222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxex dxx e dxx dex ee d xx ex e dxx ex d ex exee dxx exeeC 解：【题型示例】求sinxexdx 【求解示例】 sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxe dxexxd eexexdxexe dxexexxd eexexexdx 解： sincossinsinxxxxexdxexexxd e 即：1sinsincos2xxexdxexxC第四节第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分 有理函数（）设： 1 01 1 01mm m nn nP xp xa xa xa Q xq xb xb xb对于有理函数，当的次数小于的 P x Q x P x Q x次数时，有理函数是真分式；当的次 P x Q x P x数大于的次数时，有理函数是假分式 Q x P x Q x有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数的分母分拆成两个没有 P x Q x Q x公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式；而另一个多项式可以表kxa示为二次质因式， （） ；2lxpxq240pq即： 12Q xQxQx一般地：，则参数nmxnm xmnam 22bcaxbxca xxaa则参数,bcpqaa则设有理函数的分拆和式为： P x Q x 122klP xP xP x Q xxaxpxq 其中 112 2.k kkP xAAA xaxaxaxa 21122 22222.lll lP xM xNM xN xpxqxpxqxpxqM xNxpxq 参数由待定系12 12 12,.,.,l k lMMMA AANNN 数法（比较法）求出 得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求（构造法）21xdxx【求解示例】2211111111 11ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx 第五节第五节积分表的使用（不作要求）积分表的使用（不作要求） 第五章第五章定积分极其应用定积分极其应用 第一节第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质 定积分的定义（） 01limnbiiaif x dxfxI （称为被积函数，称为被积表达式， f x f x dx则称为积分变量，称为积分下限，称为积分xab上限，称为积分区间）, a b定积分的性质（） bbaaf x dxf u du 0aaf x dx bbaakf xdxkf x dx （线性性质） 1212bbbaaak f xk g xdxkf x dxkg x dx （积分区间的可加性） bcbaacf x dxf x dxf x dx''若函数在积分区间上满足， f x, a b 0f x 则； 0baf x dx （推论一）若函数、函数在积分区间上满 f x g x, a b足，则； f xg x bbaaf x dxg x dx（推论二） bbaaf x dxf x dx积分中值定理（不作要求） 第二节第二节微积分基本公式微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数是连续函数在区间 F x f x上的一个原函数，则, a b baf x dxF bF a 变限积分的导数公式（） （上上导下下导） xxdf t dtfxxfxxdx【题型示例】求21cos 20limtxxedtx【求解示例】 22110 0coscos 2002limlim解解tt xxxL xdedtedtdx xx2222221coscos000cos 00coscos0cos010sinsinlimlim22sin lim 2cossin2sin coslim2 1limsincos2sin cos2 11 22xxxxxL xxxxxxeexx e xx dx edxxx ex exxexxxxee 第三节第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法（） （第一换元法） bbaafxx dxfxdx【题型示例】求201 21dxx【求解示例】 222000111121ln 21212212 1ln5ln5ln122解解dxdxxxx （第二换元法）设函数，函数满足： ,f xC a b xta，使得；, , ab b在区间或上，连, , ,ftt 续则： baf x dxftt dt【题型示例】求402 21xdxx 【求解示例】22121 0,4322 0,1014,332332311 13 222 211311 133222 3522933解解ttxxxt xtt xdxdxtxtt dttdttxt （分部积分法） bbaabbbaaau x v x dxu x v xv x ux dxu x dv xu x v xv x du x 偶倍奇零（）设，则有以下结论成立： ,f xCa a若，则 fxf x 02aaaf x dxf x dx 若，则 fxf x 0aaf x dx 第四节第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节第六节反常积分（不作要求）反常积分（不作要求）如：不定积分公式的证明。很21arctan1dxxCx多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这''样一种证明方法以说明问题：tan22 arctan222 22211tan11tan 111cosseccoscos arctanxtttxdxtdtxtdttdtdtttt tCxC 如此，不定积分公式也就2211arctanxdxCaxaa很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难 免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。