等腰三角形三线合一典型题型.doc

''等腰三角形三线合一 专题训练姓名 例 1：如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。 求证：BC=AB+DC。变 1：如图，ABCD，A90°，AB2，BC3，CD1，E 是 AD 边中点。求证：CEBE。变 2：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE； （2）求证：E 是 CD 的中点； （3）求证：AD+BC=AB.BCEAD''变 3：ABC 是等腰直角三角形 ，BAC=90°,AB=AC.若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DMDN 分别交 AB、AC 于 M、N，求证：（1）DMDN。若 DMDN 分别和 BA、AC 延长线交于 M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于点 D求证：DE=DFD DB BC CF FA AE EMNDCBAMNDCBA''(2)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且，EF 交 BC 于点 D，且 D 为EF 的中点 求证：BE=CFD DB BC CF FA AE E利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上的一点，PDAB 于 D，PEAC 于 E，CFAB 于 F，那么 PD+PE 与 CF 相等吗？''变 1：若 P 点在直线 BC 上运动，其他条件不变，则 PD 、PE 与 CF 的关系又怎样，请你作图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9，则它的周长为（ ） A 17 B 22 C 17 或 22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律根据等腰三角形的性质寻求规律例例 1 1在ABC 中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大1 21 2 小与A 的大小有什么关系？若1=ABC，2=ACB，则BOC 与A 大小关系如何？1 31 3若1=ABC，2=ACB，则BOC 与A 大小关系如何？1 n1 n''会用等腰三角形的判定和性质计算与证明会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例例 2 2如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分， 求这个三角形的腰长及底边长利用等腰三角形的性质证线段相等利用等腰三角形的性质证线段相等 例例 3 3如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60°，且 BQ=BP， 连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 （2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分，则腰长为（ ）A、2cm B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定例 2、已知 AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ADC 的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，OEAB，OFAC，求OEF 的周长。例 4、如图，已知等边ABC 中，D 为 AC 上中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。ABCABCDEABFCOE''例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 450，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例 6、 （1）等腰三角形的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为 。（2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为 ；（3）若直角三角形三边为 1，2，c，则 c= 。例 7、下列说法：若在ABC 中 a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形；若ABC 是直角三角形，C=900，则 a2+b2=c2；若在ABC 中，a2+b2=c2，则C=900；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上） 。例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P，使得PAB、PBC、PCA 都是等腰三角形，则这样的 P 点 有（ ） （A）1 个（B）4 个（C）7 个（D）10 个例 9. 四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90°，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为 8，则 BE=（ ）A2B3CD2 22 3例 10. 已知ABC 为正三角形，P 为其内一点，且 AP=4，BP=，CP=2，则ABC 的边长为 （ ）32（A） （B） （C）4 （D）527224三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 9，求它的周长。2、在ABC 中，AB=AC，B=400，则A= 。3、等腰三角形的一个内角是 700，则它的顶角为 。''PCBA4、有一个内角为 40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢 5、如图，在 RtABC中，C105o，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A 等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )1 15o6、若ABC 三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC 的形状为（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （ ） 。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 9、在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（ ） A、100° B、75° C、150° D、75°或 100°10、如图，P、Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 QCAPAQBPPQ，则BAC（ ）A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如图，ABC 中，ABAC，BD、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。A、4 个 B、6 个 C、3 个 D、5 个12、如图，ABAC，AEEC，ACE280，则B 的度数是（ ）A、600 B、700 C、760 D、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上（端点 A、C 除外），设甲虫 P 到 另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h， 则 d 与 h 的大小关系是（ ） 【解题方法指导解题方法指导】例 1. 已知，如图，ABACCD，求证：B2DA B C D ECBAE D C B A QPCBA10 题图11 题图12 题图DCBA''例 2. 已知，如图，ABC 是等边三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求 AD 的长。D A B C 【考点指要考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中 经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很 大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析典型例题分析】例 1. （2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 120°，腰长为 10，则底边上的高 AD_。A B C D 例 2. 已知，如图，ABC 中，C90°，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D，AD8，A30°，求 CD 的长。C D A B E 例 3. 已知，如图，ABC 是等边三角形，E 是 AB 上一点，D 是 AC 上一点，且 AECD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求BFE 的度数。''A E D F B C 【综合测试综合测试】1. 已知，如图，ABAC，ABDACD，求证：DBDCA B C D 2. 已知，如图，D、E 是 BC 上两点，ABAC，ADAE，求证：BDCEA B D E C 3. 已知，如图，ABC 中，DE/BC，ABAC，求证：ADAEA D E B C 4. 已知，如图，ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，DE 交 BC 于 F， 又 BDCE，求证：DFEFA D B C E F ''5. 已知，如图，D 是 BC 上一点，ABC、BDE 都是等边三角形，求证：ADCEA B D C E 6. 已知，如图，ABC 中，B90°，AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又C15°， EC10，求 AB 的长。A D B C E 例 6、如图 11，在ABC 中，A90°，ABAC，D 为 BC 边中点，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF，求证：AEAF 是一个定值.证明：连接 AD， ABAC，D 为 BC 中点，ADBC，BAC90°，ABAC， BC45°，BAD45°，CAD45°，ADBDCD，EDF90°，EDAADF90°，又由 ADBC 得BDEADE90°，BDEADF，在BDE 和ADF 中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF，AEAFAEBEAB（定值）.思考：四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例 4、如图 9，已知 AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，FDCD，你认为 BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段 BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90°，FBDBFD90°，图 11FADBCE图图5 5DBCAO''在 RtBDF 和 RtADC 中，BFAC，FDCD，RtBDFRtADC，BFDC，FBDC90°，BEC180°（FBDC）180°90°90°，即 BEAC.例 5、如图 10，在ABC 中，ACB90°，ACBC，M 是 AB 上一点，求证：.2222AMBMCM证明：过 C 作 CDAB 于点 D，ACB90°，ACBC，CDAB，AB45°，ACDBCD45°，AACD，BBCD，ADBD，BDCD，即 ADBDCD，CDAB，222DMCDCM.2222222()()2()2AMBMADDMBDDMDMCDCM思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例 1、如图 5，在ABC 中，ABAC，点 O 在ABC 内，OBOC，求证：AOBC.证明：延长 AO 交 BC 于点 D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即 AOBC.例 2、如图 6，在等边ABC 中，D、E 分别在边 BC、BA 的延长线上，且AEBD，求证：CEDE.证明：过 E 作 EFCD 于点 F，ABC 是等边三角形，B60°，BEF30°，BE2BF，即 BAAEBCBD2BCCD2（BCCF） ，CD2CF， CFDF，在CEF 和DEF 中，CFDF，CFEDFE90°，EFEF，图图6 6E EFA AB BD DC C图图9 9EAFBCD图图1 10 0CDABM''CEFDEF，CEDE.例 3、如图 7，已知在ABC 中，ABAC，P 为底边 BC 上任意一点，PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，求证：PDPE 是一个定值.解：连接 AP，过点 C 作 CFAB 于点 F，由，1 2ABCSAB CF1 2PABSAB PD，11 22PACSAC PEAB PEABCPABPACSSS得：，111 222AB CFAB PDAB PE即，（定值）.PDPECF说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点 P 不是在边 BC 上，而是在 BC 的延长线上，其它条件保持不变，那么 PD 与 PE 之间又有怎样的关系呢？解：连接 AP，过点 C 作 CFAB 于点 F， （如图 8）由，1 2ABCSAB CF1 2PABSAB PD，11 22PACSAC PEAB PE，ABCPABPACSSS得：，111 222AB CFAB PDAB PE即,（定值）.PDPECF即，当点 P 在 BC 延长线上时，PD 与 PE 之差为一定值.基础训练基础训练：1、填空题： （1）等腰三角形中，如果底边长为 6，一腰长为 8，那么周长是 。 （2）如果等腰三角形有一边长是 6，另一边长是 8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两 边长分别是 4、8，那么它的周长是 。 （3）等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题： （1）如果ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ） A、三条边长分别是 5，5，11 B、三条边长分别是 4，4，8 C、周长为 14，其中两边长分别是 4，5 D、周长为 24，其中两边长分别是 6，12 （2）等腰三角形一边长为 2，周长为 5，那么它的腰长为（ ） A、3 B、2 C、1.5 D、2 或 1.5 3、已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍，周长为 35cm，求等腰三角形各边的长。 4、已知：如图，AD 平分BAC，AB=AC，请你说明DBC 是等腰三角形。图 7F EDBCAPP 图 8FEDBCA''5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解， 求这个三角形的各边长。 （1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （2）等腰三角形有一个角是 120°，那么其他两个角的度数是 和 。 （3）ABC 中，A=B=2C，那么C= 。 （4）在等腰三角形中，设底角为 x°，顶角为 y°，则用含 x 的代数式表示 y，得 y= ；用含 y 的 代数式表示 x，得 x= 。 2、选择题： （1）等腰三角形的一个外角为 140°，那么底角等于（ ） A、40° B、100° C、70° D、40°或 70° （2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 （3）在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（ ） A、100° B、75° C、150° D、75°或 100° （4）等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，则“ADBC，BD=DC，B=C，BAD=CAD”中，结论正确的个数是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1 3、如图，已知ABC 中，D 在 BC 上，AB=AD=DC，C=20°，求BAD。4、如图，已知ABC 中，点 D、E 在 BC 上， AB=AC，AD=AE。请说明 BD=CE 的理由。1、填空题： （1）在ABC 中，A 的相邻外角是 110°，要使ABC 是等腰三角形，则B= 。 （2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。 （3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。 （4）如图，AB=AC，BD 平分ABC，且C=2A， 则图中等腰三角形共有 个。 2、选择题： 如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=108°，ADB=72°， DE 平分ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6ABCDx+2y=4 3x+y=7ABCDEABCDABCDABCDE''3、如图，在ABC 中，B 和C 的平分线相交于点 O，且 OB=OC，请说明 AB=AC 的理由。4、如图，已知EAC 是ABC 的外角，1=2，ADBC，请说明 AB=AC 的理由。5、如图，AB=AC，ABD=ACD，请你说明 AD 是 BC 的中垂线。每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。ABCDABCOABCDE 1 2