复数讲义教案(绝对精彩资料.).doc

复数复数一、复数的概念1 虚数单位 i:（1）它的平方等于，即；121i （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（3）i 与1 的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i121x 21x （4）i 的周期性：， ， ， 41nii421ni 43nii 41ni2 数系的扩充：复数(0)ii(0)i(0)i(0)a babb aab bab a 实数纯虚数虚数非纯虚数3 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做i()ab a bR，ab复数集，用字母表示C4 复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式z()zabi a bR，abi5 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()abi a bR，0b ()abi a bR，a0b 叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数zabi0a 0b zbi0abz06 复数集与其它数集之间的关系：NZQRCÜÜÜÜ7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果，a， ，那么， a b d，cd Riiabcdacbd二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系建立一一对应的关系点的横i()zab a bR，a b，Z坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来abi()zab a bR，Z a b，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表xy示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是0 0，表示是实数00i0z 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3 复数复平面内的点zabi 一一对应()Z a b，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数与的和的定义：1z2z12zz iiabcd iacbd2 复数与的差的定义：1z2z12zz iiabcd iacbd3 复数的加法运算满足交换律:1221zzzz4 复数的加法运算满足结合律:123123()()zzzzzz5 乘法运算规则：设，(、)是任意两个复数，1izab2izcdabcd R那么它们的积 12iiiz zabcdacbdbcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i1虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1）123123zz zz zz（2）123123()()zzzzzz（3）123121 3zzzz zz z7 复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为： iiicdxyabxyixyRabicdi或者()abicdiabi cdi 8 除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，iababRicdcd RixyxyR即(i)iiabcdxy xyicdicxdydxcy i iicxdydxcyab由复数相等定义可知解这个方程组，得cxdya dxcyb，2222acbdxcd bcadycd，于是有: (i)iabcd2222acbdbcadicdcd利用于是将的分母有理化得：22iicdcdcdi iab cd 原式22i(i)(i)i (i)()i i(i)(i)ababcdacbdbcad cdcdcdcd 222222()()iiacbdbcadacbdbcad cdcdcd(i)iabcd2222iacbdbcad cdcd点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积icdicd3232为 是有理数，而是正实数所以可以分母实数化 把这种方法叫做分122cdicdicd母实数化法9 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的0两个共轭复数也叫做共轭虚数例题精讲1 复数的概念复数的概念【例 1】 已知为虚数单位） ，那么实数 a，b 的值分别为（ ）2(1aibi ii A2，5 B-3，1 C-11 D2，3 2【答案】D【例 2】 计算： （ 表示虚数单位）0!1!2!100!i +i +i +ii【答案】952i【解析】，而（） ，故4i14| !k4k 0!1!2!100!i +i +i +iii( 1)( 1)1 97952i 【例 3】 设，则下列命题中一定正确的是（ ）22(253)(22)iztttttRA的对应点在第一象限 B的对应点在第四象限zZzZC不是纯虚数 D是虚数zz【答案】D【解析】2222(1)10ttt 【例 4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）两个复数不能比较大小；若是纯虚数，则实数；22(1)(32)ixxx1x 是虚数的一个充要条件是；zzzR若是两个相等的实数，则是纯虚数；a b，()()iabab的一个充要条件是zRzz的充要条件是1z 1zzA1B2C3D4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，错；时， ，错；为实数1x 22(1)(32)0xxxiz时，也有，错；时， ，错；正确zzR0ab()()0abab i2 复数的几何意义复数的几何意义【例 5】 复数（， 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）2i 12imzmRi A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限，则2(2 )(12 )1(4)2(1) 12(12 )(12 )5mimiizmmiiii，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限40 10m m 【例 6】 若，复数在复平面内所对应的点在（ ）3544，(cossin )(sincos )iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】结合正、余弦函数的图象知，当时，3544，cossin0 sincos0，【例 7】 如果复数满足，那么的最小值是（ ）zii2zzi1z A1 B C2 D25【答案】A【解析】设复数在复平面的对应点为，因为，zZii2zz所以点的集合是轴上以、为端点的线段Zy1(0 1)Z，2(01)Z，表示线段上的点到点的距离此距离的最小值为点到点i1z 12Z Z( 11)，2(01)Z，的距离，其距离为 ( 11)，1【例 8】 满足及的复数的集合是（ ）1z 13 22zzzA B1313ii2222，1111ii2222，C D2222ii2222，1313ii2222，【答案】D【解析】复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离z1 2x 13 22zzz102，302，相等，故轨迹为直线） ，故选 D1 2x 【例 9】 已知复数的模为，则的最大值为_(2)i()xy xyR，3y x【答案】3COyx 【解析】，2i3xy，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与22(2)3xy()xy，(2 0)C，3y x()xy，原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知的最大值为y x3【例 10】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（ ）z21izzzA圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】A【解析】A；设，则有，izxy(21)2 i(1)ixyxy2222(21)(2 )(1)xyxy化简得：，故为圆22215 339xy【点评】的几何意义为点到点的距离；0zzz0z中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点0(0)zzr rz0zr【例 11】复数，满足，证明：1z2z120z z 1212zzzz2 1 2 20z z【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的1z2z1Z2Z1212zzzz1OZ 2OZ 平行四边形为矩形，故可设，所以12OZOZ 12(0)zki kkzR，2 2 221 2 2i0zkkz 也可设，则由向量与向量垂直知，12iizabzcd，()a b，()c d，0acbd，故1 2222 2i()()ii0izabacbdbcadbcad zcdcdcd22 11 2 220zz zz【例 12】已知复数，满足，且，求与的值1z2z171z 271z124zz12z z12zz【答案】；447i3【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由于，1z2z1Z2Z222( 71)( 71)4故，222 1212zzzz故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；1OZ 2OZ 12OZOZ 127147ii371z z 12124zzzz【例 13】已知，求12zz，C121zz123zz12zz 【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻12zz，12zz123ZZZ，121zz1OZ 2OZ 边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，OP由知， （可由余弦定理得到） ，故，123zz1120PZ O1260Z OZ从而121zz【例 14】已知复数满足，求的最大值与最小值z(23i)(23i)4zzdz【答案】，max2 21 3dmin1d【解析】设，则满足方程izxy()xy，2 2(2)14yx ，2 222282841(2) 333dxyxxx又，故当时，；当时，有13x10xy，min1d82 5 33xy ，max2 21 3d3 复数的四则运算复数的四则运算【例 15】已知，若，则等于（ ）mR6(i)64imm mA B C D4222【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i64i82mmmmmm 【例 16】计算：121009100(22 )( 2 3)( 13 )(12 3 )iiii 【答案】511【解析】原式1212100126 9 100100 99992 (1i)(i2 3)2 (2i)121511( i)13 i(i2 3)132 (i)2 (i)2222 【例 17】已知复数，则的最大值为（ ）1cosiz2siniz12zzA B C D33 226 2【答案】A【解析】12(cosi)(sini)(cos sin1)(cossin )izz22(cos sin1)(cossin )，2221cossin2sin 224故当时， 有最大值sin21 12zz13242【例 18】对任意一个非零复数，定义集合z|n zMw wznN，（）设是方程的一个根，试用列举法表示集合若在中任取两个数，求其z10xxzMzM和为零的概率；P（2）若集合中只有 个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由zM3z【答案】 （1）；（2）1 313i22z 【解析】（1）是方程的根，z210x 或，不论或，iz iz iz iz 234i iii i1i 1zM ，于是2 421 C3P （2）取，则及13i22z 213i22z 31z 于是或取 （说明：只需写出一个正确答案） 23zMzzz，13i22z 【例 19】解关于的方程x256(2)i0xxx【答案】123i2xx，【解析】错解：由复数相等的定义得2235602220xxxxxxx或分析：“，且成立”的前提条件是，但本题并未告诉iiabcdacbda b c d R，是否为实数x法一：原方程变形为，2(5i)62i0xx22(5i)4(62i)2i(1i) 由一元二次方程求根公式得，1(5i)(1i)3i2x2(5i)(1i)22x原方程的解为，13ix 22x 法二：设，则有，i()xab a bR，2(i)5(i)6(2)i0abababi，22(56)(252)i0abababba225602520abababba由得：，代入中解得：或，52 21bab3 1a b 2 0a b 故方程的根为123i2xx，【例 20】已知，对于任意，均有成立，试求实数的22 11zxi x2 2()izxaxR12zza 取值范围【答案】112a ，【解析】，12zz42221()xxxa 对恒成立22(12 )(1)0a xaxR当，即时，不等式恒成立；120a1 2a 当时，120a21201124(12 )(1)0aaaa 综上，112a ，【例 21】关于的方程有实根，求实数的取值范围x2(2)i10xai xa a【答案】1a 【解析】误：方程有实根，22(2)4(1)450aiaia 解得或5 2a5 2a析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中20(0)axbxca与并非实数2ia 1i a正：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得0x2 00021()i0xaxax ，解得2 0002100xaxxa 1a 【例 22】设方程的根分别为，且，求实数的值220xxk2 2k【答案】或1k 3k 【解析】若，为实数，则且，440k 2222()()444(2 2)k解得1k 若，为虚数，则且，共轭，440k ，解得2222()()444(2 2)k 3k 综上，或1k 3k 【例 23】用数学归纳法证明：(cosisin )cos()isin()nnnnN，并证明，从而1(cosisin )cosisin(cosisin )cos()isin()nnn【解析】时，结论显然成立；1n 若对时，有结论成立，即，nk(cosisin )cos()isin()kkk 则对，1nk1(cosisin )(cosisin )(cosisin )kk由归纳假设知，上式(cosisin )cos()isin()kk(cos cossinsin)icos sin()sincoskkkk，cos(1) isin(1) kk 从而知对，命题成立1nk综上知，对任意，有nN(cosisin )cos()isin()nnnnN，易直接推导知：(cosisin )(cosisin )(cos()isin()(cosisin )cos0isin01故有1(cosisin )cosisin(cosisin )(cosisin )(cos()isin()nnncos()isin()cos()isin()nnnn【例 24】若是方程（）的解，cosisin12 1210nnn nnxa xa xaxa 12naaa R，求证：12sinsin2sin0naaan【解析】将解代入原方程得：，1 1(cosisin)(cosisin)0nn naa将此式两边同除以，则有：(cosisin)n，12 121(cosisin)(cosisin)(cosisin)0n naaa即，121(cosisin)(cos2isin2 )(cosisin)0naaann，1212(1coscos2cos)i(sinsin2sin)0nnaaanaaan由复数相等的定义得12sinsin2sin0naaan【例 25】设、为实数，且，则=_xy5 11213xy iiixy【答案】4【解析】由知，5 11213xy iii5(1)(12 )(13 )2510xyiii即，(525)(5415)0xyxyi故，解得，故5250 54150xy xy 1 5x y 4xy【例 26】已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹1z z z【答案】以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点102，1 2(0 0)，(1 0)，【解析】法一： 设（） ，izxyxyR，则是纯虚数，222i(1)i 11i(1)zxyx xyy zxyxy 故，220(0)xyxy即的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点z102，1 2(0 0)，(1 0)，法二：是纯虚数，（且）1z z 011zz zz0z 1z ，得到，011zz zz(1)(1)0z zz z22 zzz设（） ，则（）zxyixyR，22xyx0y 的对应点的轨迹以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点z102，1 2(0 0)，(1 0)，【例 27】设复数满足，求的最值z2z 24zz【解析】由题意，则24zz z224(1)zzzzzzz zz 设，i( 2222)zabab，则242i1i2 21zzababa 当时，此时；1 2a 2min40zz115i22z 当时，此时2a 2min410zz2z 【例 28】若，试求( )23if zzz()63if zi()fz【答案】64i 【解析】，( )23if zzz(i)2(i)(i)3i22ii3if zzzzz 22i.zz又知， (i)63if z 22i63izz设（） ，则， ，即，izaba bR，izab2(i)(i)6iabab3i6iab由复数相等定义得，解得36 1a b 21ab，2iz 故()( 2i)2( 2i)( 2i)3i64ifzf 【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质： 设（）的共轭复数为，则；izxyxyR，z2zzx2 izzy为实数；z2220zzzzz为纯虚数；z200(0)zzzz对任意复数有；，特别地有；zz1212zzzz1212z zzz22( )zz1122zz zz2zz z，zz22zzzz1212zzzz1122zzzz121222zzzzzz以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明【例 29】已知虚数为 的一个立方根， 即满足，且对应的点在第二象限，证明，1312并求与的值23111 21 1 【答案】0；13i22【解析】法一：，解得：或321(1)(1)0xxxx 1x 13i22x 由题意知，证明与计算略；13i22 法二：由题意知，故有3122(1)(1)010 又实系数方程虚根成对出现，故的两根为210xx ，由韦达定理有13 212 2 233111110 2221113i1221 【点评】利用的性质：，可以快速计算一13i22 3313221()nnnn Z，210些相关的复数的幂的问题【例 30】若（） ，232 012320n naaaaa012213i22nnaaaa NR，求证：036147258aaaaaaaaa 【解析】232 01232n naaaaa3647258 036147258()()()aaaaaaaaa2 036147258()()()0aaaaaaaaa设，036147258AaaaBaaaCaaa，则有，即，20ABC1313ii02222ABC，解得，即202 3()02ABCBC ABC036147258aaaaaaaaa【例 31】设是虚数，是实数，且z1wzz12w （1）求的值及的实部的取值范围；zz（2）设，求证：为纯虚数；1 1zuzu（3）求的最小值2wu【答案】 （1）；的实部的取值范围是；（3）11z z112，【解析】（1）设，izaba bR，0b 则，22221iiiabwababababab因为是实数，所以，即w0b 221ab1z 于是，2wa122wa 112a所以的实部的取值范围是z112，（2）222211i12 ii11i(1)1zababbbuzababa 因为，所以为纯虚数112a ，0b u（3）22 2 2211222221(1)(1)11baawuaaaaaaaa 12 (1)31aa因为，所以，112a ，10a 故212 2 (1)34311wuaa当，即时，取得最小值 111aa 0a 2wu1【例 32】对任意一个非零复数，定义集合z21|n zMw wznN，（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；12xxM（2）设复数，求证：zMzMM【答案】 （1）；（2）略2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，【解析】（1）是方程的根，12xx或，12(1i)222(1i)2当时，12(1i)22 1i2 211 1 11()inn n， 1 1111i1i1M，2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222，当时，22(1i)22 2i 22222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，；2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，（2），存在，使得zMmN21mz于是对任意，nN21(21)(21)nmnz由于是正奇数，(21)(21)mn21n zMzMM【例 33】已知复数，和，其中均为实数， 为虚数01i(0)zm m izxyiwxyxyxy，i单位，且对于任意复数，有，z0wzz2wz（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；mxyxy，（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点()xy，P()xy，Q的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点当点在直线上移动时，PQP1yx试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；PQ（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试 求出所有这些直线；若不存在，则说明理由【答案】 （1）；（2）；33xxyyxy (23)2 32yx（3）这样的直线存在，其方程为或3 3yx3yx 【解析】（1）由题设，002wzzzzz02z于是由，且，得，214m0m 3m 因此由，得关系式(13i) (i)3( 3)ixy ixyxyxy33xxyyxy （2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，()P xy，1yx()Q xy，(13)3( 31)1xxyx 消去，得，故点的轨迹方程为x(23)2 32yxQ(23)2 32yx（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为(0)ykxb k该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，()P xy，(33)Q xyxy，即，3(3 )xyk xyb( 31)(3)kykxb当时，方程组无解，故这样的直线不存在0b ( 31)13kkk当，由，得，解得或0b ( 31)3 1kk k23230kk3 3k 3k 故这样的直线存在，其方程为或3 3yx3yx 【习题 1】 已知，复数的实部为，虚部为 1，则的取值范围是（ ）02azazABCD15，13，15，13，【答案】C【解析】，而，21za02a15z课后检测 【习题 2】 设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复A B，(cottan)(tancot)zBABA i平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】，sinsincoscoscos()tancot0sincossincosABABABBAABAB cos()cottan0sincosABBABA【习题 3】 复数等于（ ）45(22i)(13i)AB CD13i13i 13i13i 【解析】原式，选 B42522516(1i)1(2i)2213i21313( 2)ii2222 【习题 4】 已知复数满足，且，求证：12zz，121zz122zz122zz【解析】设复数在复平面上对应的点为，由条件知，以，12zz，1Z2Z121222zzzz1OZ 为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，2OZ 12zz所以122zz【习题 5】 设复数，满足，其中，求的值1z2z12120zzA zA z5A 12zAzA【答案】5【解析】121212zAzAzAzAzAzA，121212()()zA zAzzA zA zA A把代入上式，得12120zzA zA z2 125zAzAA AA