概率论与数理统计谢永钦版课后答案.doc

''概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案习题习题 一一1略.见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2 个发生； （8） A，B，C 至少有 2 个发生.【解解】 （1） A （2） AB （3） ABCBCC（4） ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCABC(5) = (6) ABCABCABC(7) BCACABCAB=ABCABBCACABCABCABC(8) ABBCCA=ABACBCABCCBA3.略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（）.AB【解解】 P（）=1P（AB）=1P(A)P(AB)AB=10.70.3=0.6 5.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？ 【解解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC） =0，P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)''=+=1 41 41 31 123 4 7.从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概 率是多少？【解解】 p=533213 1313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概 率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A1）=（）5 （亦可用独立性求解，下同）51 71 7 （2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A2）=()5556 76 7(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1()51 7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示.22301 604P 22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于的概率；6 5（2） 两个数之积小于的概率.1 4 【解解】 设两数为 x,y，则 0正正（甲乙）=（甲反1+乙反）=（甲反>乙反） 由对称性知 P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此 P(甲正>乙正)=1 246.证明“确定的原则” （Surething）：若 P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，则CCP（A）P(B). 【证证】由 P（A|C）P(B|C),得()(),( )( )P ACP BC P CP C即有 ()()P ACP BC同理由 (|)(|),P A CP B C得 ()(),P ACP BC故 ( )()()()()( )P AP ACP ACP BCP BCP B47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解解】 设 Ai=第 i 节车厢是空的， （i=1,n）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1) nk k ikk ijk iiinP AnnP A AnnP A AAn其中 i1,i2,in1是 1，2，n 中的任 n1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零，于是''211211 1 12 2 11 11 11 123111()(1)C (1)2() C (1)1() C(1)0()( 1)nnn kk in ik ijn ij nnk niiin iiinnnn iniSP AnnnSP A AnnSP A AAnSPASSSS 121121C (1)C (1)( 1) C(1)kknnk nnnn nnn 故所求概率为121121()1 C (1)C (1)nki inniPAnn 111( 1)C(1)nnk nn n48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为 >0.试证明：不论 >0 如何小，只要不断地 独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1. 【证证】 在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1 (1)1()nn 49.袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽 B=这只硬币为正品由题知 ( ), ( )mnP BP Bmnmn 1(|), (|)12rP A BP A B则由贝叶斯公式知()( ) (|)(|)( )( ) (|)( ) (|)P ABP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B1 2 1212rrrm mmn mnmn mnmn:50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率 又有多少？''【解解】以 B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已121()()2P BP B空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1盒（已空） ，nr 次取自 B2盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验， 则所求概率为12211112C( ) ( )C2222nnn rn n rn rr rp :式中 2 反映 B1与 B2盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）. （2） 前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B1盒，nr 次取自 B2盒，第 2nr 次取自 B1盒，故概率为11121 2212111112C( )( )C( )2222nnn rnn r n rn rp 51.求 n 重伯努利试验中 A 出现奇数次的概率. 【解解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由00112220()CCCC1nnnnnn nnnnqpp qpqp qp q0011222n0()CCC( 1) Cnnnnnn nnnnqpp qpqp qp q 以上两式相减得所求概率为11333 1CCnn nnppqp q11 () 2nqp11 (1 2 ) 2np若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.211 (1 2 ) 2npp52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P（+B） （A+B） （+） （A+）的值.AABB【解解】因为（AB）（）=ABABBA（B）（A）=ABABAB所求 ()()()()AB AB AB AB ()()ABABABAB 故所求值为 0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件： ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. (2006 研考)解：解：因为 ()( )( )()P ABP AP BP AB()( )()( )P ABP BP A BP B所以 .()( )( )( )( )P ABP AP BP BP A59. 60.''习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解解】3 53 52 4 3 53,4,5 1(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3).133, 1, 1, 12222P XPXPXPX【解解】3 13 3 1512 213 3 151 13 3 150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X故 X 的分布律为X012P22 3512 351 35（2） 当 xa 时，F（x）=1 即分布函数0,0( ),01,x xF xxaa xa 18.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于 3 的概率. 【解解】XU2,5，即1,25( )3 0,xf x 其他5312(3)d33P Xx故所求概率为2233 3321220C ( )C ( )33327p 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗1( )5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他 未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解解】依题意知，即其密度函数为1( )5XE51e,0( )5 0,x xf x x0该顾客未等到服务而离开的概率为25 101(10)ede5x P Xx,即其分布律为2 (5,e )Yb22 5 52 5()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1 (1 e )0.5167kkkP YkkP YP Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服从 N（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解解】 （1） 若走第一条路，XN（40，102） ，则''406040(60)(2)0.977271010xP XP若走第二条路，XN（50，42） ，则+506050(60)(2.5)0.993844XP XP故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 XN（40，102） ，则404540(45)(0.5)0.69151010XP XP若 XN（50，42） ，则504550(45)( 1.25)44XP XP1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 XN（3，22） ， （1） 求 P20;(2) f(x)= ., 0, 21,1, 10,2 他他xxxbx试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】 （1） 由知( )d1f xx| |021ed2edxxaaxax 故 2a即密度函数为 e,02( ) e02xxx f x x 当 x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx''当 x>0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx11e2x 故其分布函数11e,02( )1e ,02xxx F x x (2) 由12201111( )ddd22bf xxbx xxx得 b=1 即 X 的密度函数为2,01 1( ),120,xxf xxx 其他当 x0 时 F（x）=0当 00 时，( )()(e)(ln )x YFyP YyPyP Xyln( )dyXfxx 故 2/ 2lnd( )111( )(ln )e,0d2yY YxFyfyfyyyyy(2)2(21 1)1P YX 当 y1 时( )()0YFyP Yy当 y>1 时2( )()(21)YFyP YyPXy 2111 222yyyP XPX(1)/2(1)/2( )dyXyfxx故 d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy(1)/4121e,1212yyy(3) (0)1P Y 当 y0 时( )()0YFyP Yy''当 y>0 时( )(|)()YFyPXyPyXy( )dyXyfxx 故d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy2/22e,02yy31.设随机变量 XU（0,1） ，试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解解】 （1） (01)1PX故 (1ee)1XPY当时1y ( )()0YFyP Yy当 10 时，( )()( 2ln)ZFzP ZzPXz/2(ln)(e)2zzPXP X ''/ 21/2ed1 ezzx 即分布函数- /20,0( )1-e,ZzzFzz0故 Z 的密度函数为/21e,0( )2 0,zZzfz z 032.设随机变量 X 的密度函数为f(x)=22,0, 0,.xx 其他试求 Y=sinX 的密度函数.【解解】(01)1PY当 y0 时，( )()0YFyP Yy当 00）=1，故 06,则 P（X1 时，( )()(e)(ln )X YFyP YyPyP Xyln01e d1yxxy 即 11,>1( ) 0,1YyyFy y 故 21,>1( ) 0,1Yyyfy y ''51.设随机变量 X 的密度函数为fX(x)=,)1 (12x求 Y=1的密度函数 fY(y). 3x【解解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1) 2yyxxxy 故 263(1)( )1 (1)Yyfyy52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t 的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（1993 研考）【解解】 （1） 当 tt与N(t)=0等价，有( )()1()1( )0)1 et TF tP TtP TtP N t 即 1 e,0( )0,0tTtF tt 即间隔时间 T 服从参数为的指数分布。（2） 16 8 8e(16|8)(16)/(8)eeQP TTP TP T 53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1P|Y-2|0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p（01=P=0,PX=1,Y=1=PU>1,U111d1 1144xPU .21d11,11,1144xP XYP UUP U 故得 X 与 Y 的联合概率分布为.( 1, 1)( 1,1)(1, 1)(1,1) (, ) 1110424X Y (2) 因,而 X+Y 及（X+Y）2的概率分布相应22()() ()D XYE XYE XY为, .202 111 424XY 204 () 11 22XY 从而11()( 2)20,44E XY 211() 042,22E XY 所以22()() ()2.D XYE XYE XY''31.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=， （1050.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？ 【解解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2） 从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X 1(2.5)1 0.99380.0062. 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验 员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则 就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解解】1,1,2,100.0,.iiXi第人治愈 其他''令1001.i iXX(1) XB(100,0.8)，100175 100 0.8751751100 0.8 0.2i iPXP X 1( 1.25)(1.25)0.8944. (2) XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3i iPXP X 51()1(1.09)0.1379.21 7. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中 有 20 件废品的概率. 【解解】令 1000 件中废品数 X，则 p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)， E(X)=50，D(X)=47.5. 故12050130206.8956.89547.547.5P X61304.5 10 .6.8956.8958. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，T30服从参数 =0.1单位：（小时）-1的指 数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用 的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率.【解解】 11( )10,0.1iE T21( )100,iD T( )10 30300,E T ( )3000.D T 故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T 9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率 保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）. 【解解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n，D(T)=100n.''从而即1306 80.95,ni iPT306 8 100.05.10n n 故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn 所以需 272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各 学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？ （2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率. 【解解】 （1） 以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为 Xi012P0.050.80.15 易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得400i iXX400 400 1.1400 1.1(0,1).400 0.194 19i iXXN近似地于是450400 1.1450145014 19P XP X 1(1.147)0.1357. (2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y 11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 【解解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515）要求女孩个数不少 于男孩个数的概率，即求 PX5000. 由中心极限定理有5000 10000 0.5155000( 3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X 12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计， 在一次行动中： （1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？''【解解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）. 令 Sn=X1+X2+X1000. (1) 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 PmSn10000.95，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190n nSmmS由中心极限定理知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm 从而 9000.05,90m故 9001.65,90m 所以 m=900-15.65=884.35884 人 (2) 设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求 P0SnM0.95.9000.95.90nMP SM 查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916 人.900 90M 13. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死 亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大； （2） 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？ 【解解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为1120 10000 0.00612010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994P X21(60/ 59.64) 230.181116011e59.6459.64259.640.0517 e0 :(2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为60 10000 0.0060 10000 0.00606010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994PX ''60(0)0.5.59.64 14. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契 比雪夫不等式给出 P|X-Y|6的估计. （2001 研考） 【解解】令 Z=X-Y，有( )0,( )()()( )2()( )3.XPE ZD ZD XYD XD YD XD Y:所以2()31|( )| 6| 6.63612D XYPZE ZPXY15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽 查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出 X 的概率分布； （2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值. （1988 研考） 【解解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗 户出现的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2)，故 X 的概率分布是100 100C0.2 0.8,1,2,100.kkkP Xkk(2) 被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率即为事件14X30的概率.由中 心极限定理，得30 100 0.214 100 0.21430100 0.2 0.8100 0.2 0.8PX (2.5)( 1.5)0.994 9.330.927. 16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差 为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多 可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.【解解】设 Xi（i=1,2,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克） ，n 为所求的箱数，由条件知， 可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+Xn 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,iE X()5,iD X()50 ,nE Tn()5.nD Tn依中心极限定理，当 n 较大时，,故箱数 n 取决于条件50(0,1)5nTnNn近似地50500050500055n nTnnP TPnn''1000 100.977(2).n n 因此可从解出 n1.96,nn即 n>24.01，所以 n 至少应取 25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命 XN（1000，2） （单位：小时） ，随机抽取一容量为 9 的 样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为 S2=1002，试求 P（1062）.X【解解】=1000,n=9，S2=1002''1000 (8)100/3/XXttSn1062 1000(1062)()(1.86)0.05100/3P XP tP t4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值 在 4 以上，求总体的标准差.【解解】，由 P(|-|>4)=0.02 得(0,1)/XZNn XP|Z|>4(/n)=0.02,故,即4 102 10.024 100.99.查表得 4 102.33,所以 4 105.43.2.335.设总体 XN（，16） ，X1，X2，X10是来自总体 X 的一个容量为 10 的简单随机样本， S2为其样本方差，且 P（S2a）=0.1，求 a 之值.【解解】2 222299(9), ()0.1.1616SaP SaP查表得 914.684,16a所以 14.684 1626.105.9a6.设总体 X 服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体 X 的一个简单随机样本，试问 统计量Y=，n5 niiiiXXn62512) 15(服从何种分布？【解解】25 22222211(5),(5)inii iiXXXn且与相互独立.1222所以''2 1 2 2/5(5,5)/5XYFnXn7.求总体 XN（20，3）的容量分别为 10，15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0.3 的概率.【解解】令的容量为 10 的样本均值，为容量为 15 的样本均值,则N(20,310), XYXN(20,)，且与相互独立.Y3 15XY则330,(0,0.5),1015XYNN那么(0,1),0.5XYZN所以0.3(| 0.3)|21(0.424)0.5PXYPZ2(1 0.6628)0.6744.8.设总体 XN（0，2）,X1,X10,X15为总体的一个样本.则 Y=服从 分布,参数为 . 2 152 122 112 102 22 1 2XXXXXX 【解解】i=1,2,15.(0,1),iXN那么12221015 2222111(10),(5)iiiiXX且与相互独立,1222所以222 1101 222 11152/10(10,5)2()/5XXXYFXXX 所以 YF 分布，参数为（10,5）.9.设总体 XN（1,2）,总体 YN(2,2),X1,X2,和 Y1，Y2，分别来自总体 X 1nX 2nX和 Y 的简单随机样本，则''= . 2)()(21121221nnYYXX Enjjnii【解解】令 12222 12 111211() ,(),11nnii ijSXXSYYnn则 122222 1122 11()(1),()(1),nnij ijXXnSyynS又22 22221122 112222(1)(1)(1),(1),nSnSnn那么1222112222 12 1212()()1()22nnij ijXXYY EEnnnn :2 22 12 122 2 12 12 ()()2(1)(1)2EEnnnnnn10.设总体 XN（,2） ，X1，X2，X2n（n2）是总体 X 的一个样本， niiXnX2121令 Y=，求 E(Y). niiniXXX12)2(【解解】令 Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.则 ZiN(2,22)(1in),且 Z1,Z2,Zn相互独立.令 2211, () /1,nn i i iiZZSZZnn则 21111,222nn i i iiXXZZnn故 2ZX那么22211(2)()(1),nnin ii iiYXXXZZnS ''所以22( )(1)2(1).E YnESn11. 设总体 X 的概率密度为 f(x)= (-0)，那么时，L=L()最大, 18max iix 所以的极大似然估计值=0.9.因为 E()=E(),所以=不是的无偏计. 18max iix 18max iix 6.设 X1，X2，Xn是取自总体 X 的样本，E（X）=，D（X）=2， =k2,问 k 为何值时为2的无偏估计.1 2 1 1()nii iXX 2【解解】令 i=1,2,n-1,1,iiiYXX则 2 1( )()()0,( )2,iiiiE YE XE XD Y于是 1 2222 1 1 ()(1)2(