非常全面地《概率论与数理统计》复习计划材料.doc

概率论与数理统计概率论与数理统计复习大纲复习大纲第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件互斥事件 AB= 也称不相容事件A，B 相互独立 P(AB)=P(A)P(B)例例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、AB D、A，B 构成对样本空间的一个剖分例例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意： A-B = A= A-AB = (AB)-BB例例 1 设事件 A、B 满足 A =，由此推导不出 (D)B ¯A、AB B、 C、AB=B D、AB=BA ¯B ¯例例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A = D、B=B ¯A ¯事件之间的运算A1,A2,An构成 的一个完备事件组(或分斥)指 A1,A2,An两两互不相容，且Ai=i = 1n运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = =A BABA BAB文氏图 事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论样本空间，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一个子集AA 的对立事件A 的补集AB事件 A 发生导致事件 B 发生A 是 B 的子集A=B事件 A 与事件 B 相等A 与 B 相等AB事件 A 与事件 B 至少有一个发生A 与 B 的并集AB事件 A 与事件 B 同时发生A 与 B 的交集A-B事件 A 发生但事件 B 不发生A 与 B 的差集AB=事件 A 与事件 B 互不相容（互斥）A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是 =1, 2, 3, n, n 为有限正整数，且每个样本点 i出现的可能性相等。 古典概型P(A)= =A包含样本总个数样本点总数|A|例例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2的概率。解解：每个球有 4 种放入法，3 个球共有 43种放入法，所以|=43=64。(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C 3！=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为432 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C )，另有一个杯子恰有 1 个球4132(C C )，所以|A2|= C C C C =36；则 P(A2)=36/64 =9/16 311141323111例例 2 从 1,2,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2)三数之积为 21 的倍数的概率 p2。解解：p1=, p2= = 121314例例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y，那么，样本空间，S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A：”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，几何概型前提是如果在某一区域 任取一点，而所取的点落在 中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A，则 P(A)= A的度量的度量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)>0, P(B)>0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)>0)全概率公式全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,An构成 的一个分斥。n i = 1贝叶斯公式贝叶斯公式：P(Ak|B)= = P(B|Ak)P(Ak)P(B)应用题例例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B)2. 事件 A 与事件 B 独立 事件 A 与事件独立B 事件与事件 B 独立 事件与事件独立AAB事件 A1,A2,An相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,Aik满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性： 串联方式 P(A1A2An)=rn并联方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与；各次试验是相互独立；每次试验的结果发A生的概率相同 P(A)=p, P()=1-p。A二项概率-在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则b(k;n,p)= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk第二章第二章 随机变量与概率分布随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)=Px, -a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例例 1.设随机变量 的分布函数为 F(x)= , 则 0 x b)2)指数分布 exp()；密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e - x x00 x 1 时，fX(x)=0; 所以 - + 0xfX(x)= 。同理当 0y1 时，fY(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况 fY(y)=0, 所以关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)= 4x3 0x1 0 其他)y1. 因为当 0x1, 0y1 时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。4y(1 - y2) 0x1 0 其他)几条结论：1. XP(1), YP(2), 若 X 与 Y 相互独立，则 X+YP(1+2);2. XN(1,12), Y N(2,22), X 与 Y 相互独立，则 X+Y N(1+2,12+22);3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX(x), fY(y)，设 X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx=f(x, z-x)dx 或 fZ(z)= fX(z-y)fY(y)- + - + - + dy=f(z-y, y)dy.- + 两个随机变量的函数的分布例例 1:已知的联合概率分布为 , 求(1)X+Y 的概率分布；(2)XY 的概率分布。X|Y 0 1 2 0 1/4 1/10 3/10 1 3/20 3/20 1/20解：令 Z1=X+Y，则 Z1的加法表为,令 Z2=XY，则 Z2的乘法表为,X + Y 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 3XY 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2(1) Z1的分布律为, 即Z1 0 1 2 3 P 1/4 3/20 + 1/10 3/20 + 3/10 1/20Z1 0 1 2 3 P 1/4 5/20 9/20 1/20(2) Z2的分布律为, 即 Z1 0 1 2 P 1/4 + 3/20 + 1/10 + 3/10 3/20 1/20Z1 0 1 2 P 4/5 3/20 1/20例例 2:设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，求 X+Y 的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以 Z=X+Y 在有效区间0,2上取值。利用卷积公式得到fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1 0xz, z-1x1.- + 当 0z1 时，fZ(z)= 11dx=z; 当 10kk!均匀分布 Ua,b p(x)=1b - a axb 0 其他)a + b2(b - a)212几何分布 XGe(p)分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 1p1 - pp2超几何分布X h(n,N,M)PX=k= k=0,1,2,3, minM,nnMNnM(N - M)(N - n)N2(N - 1)指数分布 exp()p(x)=e - x x0 0 x < 0)112正态分布 N(,2) p(x)= e (-<x<+)1 2-(x - )2222二维正态分布N(1,12,2,22,)p(x,y)= exp- - 1212 1 - 212(1 - 2)(x - 1)212+ 2(x - 1)(y - 2)12(y - 2)222E=1E=2D=12D=22第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P|-E| , P|-E|< 1 - D2D2例例 1：设随机变量 1, 2, 3，独立同分布，且 i服从参数为 的指数分布，i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明：P0<1+2+3<6/2/3 .证：iexp(), EI=1/; 令 X=1+2+3 ,则 EX=E(1+2+3)=3/，DX=D(1+2+3)=3/2.P0<1+2+3<6/= P0<X<6/= P-3/<X-3/<3/= P|X-3/|<3/1 - = 1- = 1- = DX23/2(3/)23923例例 2：已知随机变量 X 的期望 E(X)=100，方差 D(X)=10，估计 X 落在(80,120)内的概率。解：P80<X<120= P-20<X-100<20= P|X-E(X)|<20 1 - = 1 - = 0.975. DX20210400大数定律切比雪夫大数定理：切比雪夫大数定理：设随机变量 X1,X2,Xn相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给定正数 ，恒有P| | <= 1。limn1nn i = 1xi1nn i = 1Exi伯努利大数定理：伯努利大数定理：设 nA是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意给定正数 ，恒有P| - p|<= 1 (或 P| - p| = 0)limnnAnlimnnn辛钦大数定理：辛钦大数定理：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，则对任意给定正数，恒有P| | <= 1limn1nn i = 1xi中心极限定理棣莫弗棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理：设随机变量 Yn (n=1,2,3,)服从参数为 n, p 的二项分布，即 YnB(n,p)，则对任意实数 x，恒有 Px= (x) = edt edtlimnYn - npnpq- x12-t22ab12-t22这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn作标准化后的随机变量的极限分布是标准正态分布Yn - npnpqN(0,1)。中心极限定理中心极限定理(林德贝格林德贝格-勒维勒维)：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，和方差 D(Xk)=20，随机变量 Yn=(-n)/ 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数 x，恒有 Fn(x)= n k = 1xk nlimnPYnx= (x) = edtlimn- x12-t22这一定理说明，的标准化随机变量 Yn=(-n)/ 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。n k = 1xkn k = 1xk n中心极限定理的用例例 1：某计算机系统由 120 个终端，每个终端在 1 小时内平均有 3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由 10 个终端同时使用打印机的概率。解：设 X 为同时使用打印机的终端的个数，则 XB(120,p)，这里 p=3/60=0.05。E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 PX10=1 PX<10=1 PX<10=1 P< 利用中心极限定理上式近似等于 X - 65.710 - 65.7=1-(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由 10 个终端同时使用打印机的概率为 0.0379 例例 2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6)区间的概率不小于 0.9？解：设共进行次试验，X 为出现正面的次数，则 XB(N,p)，这里 p=1/2=0.5。E(X)=np=0.5N, D(X)=npq=0.25N 。所求的为 P0.4<X/N<0.60.9。 将 X 标准化 P0.4<X/N<0.6= P0.4N<X<0.6N = P<<= P-0.2<<0.22(0.2) 1 0.90.4N - EXDXX - EXDX0.6N - EXDXNX - EXDXNN(0.2)0.95, 查表 (1.645)=0.95，则 0.21.645 N 67.65， 即至少抛 68 次才能满足要求。 NN例例 3：设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式 P|X+Y|6 . 解解: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2 = !+4+2(-0.5)12= 3,DX DY则根据切比雪夫不等式 P|X+Y|6= P|X+Y - E(X+Y)|6 = = D(X + Y)62316112例例 4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（(2)=0.977，其中 (x)是标准正态分布函数）解解: 设 Xi为第 i 箱重量(千克)，i=1,2,n。则 EXi=EX=50，DXi=50。令 Z=, 则 EZ=50n, DZ=25n. 要求 PZ50000.977,n i = 1Xi利用中心极限定理 PZ5000= P=()0.977Z - EZDZ5000 - 50n5 n5000 - 50n5 n因为 (2)= 0.977，所以2 25n2-5001n+25000005000 - 50n5 n n98. 每辆车最多可以装 98 箱，才能保障不超载的概率大于 0.977. 例例 4：设随机变量 X1,X2,Xn相互独立，Sn=X1+X2+Xn, 则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要 X1,X2,XnA、有相同的数学期望 B、有相同的方差C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布解解: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件，X1,X2,Xn必须独立同分布，所以不能选 A, B。又必须具有有限的数学期望和方差，故 D 不一定能保证此条件，应选 C。例例 4：设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Yn=依概率收敛于 【分析分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量1nn i = 1xi2X1,X2,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： (n1nn i = 1xi F1nn i = 1Exi)。 【解解】 这里 X12,X22,Xn2，满足大数定律的条件，且 EXi2=DXi+(EXi)2=1/4+(1/2)2= 1/2，因此根据大数定律有 Yn=依概率收敛于 = .1nn i = 1xi21nn i = 1Exi212