分式地运算技巧介绍.doc

''分式分式概念概念形如 （A、B 是整式，B 中含有字母）的式子叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。方法：数看结果，式看形。分式条件分式条件: :1.分式有意义条件：分母不为 0。2.分式值为 0 条件：分子为 0 且分母不为 0。3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。4.分式值为 1 的条件：分子=分母0。5.分式值为-1 的条件：分子分母互为相反数，且都不为 0。代数式分类代数式分类整式整式和分式统称为和分式统称为有理式有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：''（A,B,C 为整式，且 B、C0）运算法则运算法则约分约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式公因式。约分步骤：约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式公因式约去。2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分：通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则：分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：''异分母分式的加减法法则异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算。 分式的除法法则：分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大 了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边 同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲基础精讲】 一、分式的概念一、分式的概念1 1、正确理解分式的概念：、正确理解分式的概念：【例 1】有理式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）x1 2x yxxy 2 33yx 11 x中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.12 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. .''(1) 例如，当 x 为 时，分式有意义 322 xxx错解：时原分式有意义3x(2) 不要随意用“或”与“且”。例如 当 x_时，分式有意义？错解：由分母，得3 3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当 时，分式有意义当 时，分式无意义当 时，分式值为x11 xx x11 xx x112xx 0二、分式的基本性质：二、分式的基本性质：1 1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. .(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程 基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本 性质时，必须注意必须注意： 分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式 在分式的基本性质中，M0 分子、分母必须“同时”乘以M(M0)，不要只乘分子（或分母） 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分 式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的 (2)(2)注意注意： 根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分 式的值不变 分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零 的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例 3】下列变形正确的是（ ）A; B C Dababcc aa bcbc abababab abab abab 【例 4】 如果把分式中的都扩大 3 倍,那么分式的值一定( ) 5 2x xy, xyA.扩大 3 倍 B.扩大 9 倍 C. 扩大 6 倍 D.不变 2 2、约分约分 约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式''化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例 5】（1）化简222ab aab 的结果为（ ）Ab a Bab aCab aDb（2）化简22 44xyy xx 的结果（）A2x xB2x xC2y xD2y x（3）化简62962 xxx的结果是（）A23xB292xC292xD23x3 3、通分、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方 法确定： （1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算三、分式的运算 1 1、分式运算时注意：、分式运算时注意：（1）注意运算顺序例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次aaaa31)3(11计算的法则进行错解：原式 2)1(1)1(11 aaa（2）通分时不能丢掉分母例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=11xxx分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；11 xx（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4）最后的运算结果应化为最简分式 2 2、分式的乘除、分式的乘除 注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式是否为最简分式 3 3、加减的加减加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则： 运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算 法则进行；注意结果可否化简，化为最简化为最简 4 4、分式的混合运算、分式的混合运算 注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运 算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，能分解因式，''可先分解因式可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【例 6】计算：（1）； （2）；212242 aaaa222 xxx（3） （4）已知113xy，则代数式2142 2xxyy xxyy 的值xxx xx x24 21212 分式运算中的技巧与方法分式运算中的技巧与方法 1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方 法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、一、整体通分法整体通分法例 1化简：21a a-a-1分析分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：21a a-a-1=21a a-(a+1)= 21a a-(1)(1) 1aa a =22(1) 1aa a =1 1a二、二、逐项通分法逐项通分法例 2计算1 ab-1 ab-222b ab-3444b ab分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：1 ab-1 ab-222b ab-3444b ab=22()()abab ab -222b ab-3444b ab=222b ab-222b ab-3444b ab=2222442 ()2 ()b abb ab ab -3444b ab=3444b ab-3444b ab=0三、三、先约分，后通分先约分，后通分''例 3计算：226 2aa aa +224 44a aa 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：226 2aa aa +224 44a aa =(6) (2)a a a a +2(2)(2) (2)aa a =6 2a a +2 2a a =24 2a a =2四、四、整体代入法整体代入法例 4已知1 x+1 y=5 求252 2xxyy xxyy 的值解法 1：1 x+1 y=5xy0,.所以252 2xxyy xxyy =225112yxyx =112()5112xyxy=2 55 52 =5 7解法 2：由1 x+1 y=5 得，xy xy=5, x+y=5xy252 2xxyy xxyy =2()5 ()2xyxy xyxy =2 55 52xyxy xyxy =5 7xy xy=5 7五、运用公式变形法运用公式变形法例 5已知 a2-5a+1=0，计算 a4+41 a解：由已知条件可得 a0,a+1 a=5a4+41 a=(a2+21 a)2-2=(a+1 a)2-22-2=(52-2)2-2=527六、设辅助参数法设辅助参数法例 6已知bc a= ac b= ab c，计算：()()()ab bc ca abc解：设bc a= ac b= ab c=k，则 b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这 3 个等式相加得 2(a+b+c)= (a+b+c)k 若 a+b+c=0，a+b= -c,则 k= -1''若 a+b+c0，则 k=2()()()ab bc ca abc=ak bk ck abc=k3当 k=-1 时，原式= -1 当 k=2 时，原式= 8 七、应用倒数变换法应用倒数变换法例 7已知21a aa=7，求2421a aa的值解：由条件知 a0,21aa a=1 7,即 a+1 a=8 74221aa a=a2+21 a+1=(a+1 a)2-1=15 492421a aa=49 15八、取常数值法取常数值法例 8已知：xyz0,x+y+z=0,计算yz x+xz y+xy z解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2.则yz x+xz y+xy z=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。九、把未知数当成已知数法把未知数当成已知数法例 9已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222abc abbcac 解：把 c 当作已知数，用 c 表示 a,b 得,a=3c, b=2c222abc abbcac =2214 11c c=14 11.十、巧用因式分解法巧用因式分解法例 10已知 a+b+c=0，计算222a abc+222b bac+222c cab解:a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c) 同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)222a abc+222b bac+222c cab=2a(a-b)(a-c)+2b (b-c)(b-a)+2c (c-a)(c-b)''=2a(a-b)(a-c)-2b (a-b)(b-c)+2c (c-a)(c-b)=222a ()()() ()()()bcb accab ab ac bc =22222a () ()()()bcb ab cc ac b ab ac bc =2a ()()()() ()()()bca bc bcbc bc ab ac bc =2()() ()()()bc aabacbc ab ac bc =()()() ()()()ab ac bc ab ac bc =1分式运算的几种技巧分式运算的几种技巧( (二）二）1 1、先约分后通分技巧、先约分后通分技巧 例例 1 1 计算+231 2 xxx 422 2 xxx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=+)2)(1(1 xxx )2)(2()2( xxxx=+=21 x2xx 21 xx2 2、分离整数技巧、分离整数技巧 例例 2 2 计算-2333 22 xxxx 6575 22 xxxx 341 2 xx分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=-231)23(22xxxx651)65(22xxxx341 2 xx=1+-1-231 2 xx651 2 xx341 2 xx=-)2)(1(1 xx)3)(2(1 xx)3)(1(1 xx=-)3)(2)(1()2()1(3 xxxxxx )3)(2)(1( xxxx )3)(2)(1(xxxx3 3、裂项相消技巧、裂项相消技巧 例例 3 3 计算+)1(1 xx)3)(1(2 xx)6)(3(3 xx分析：此类题可利用分析：此类题可利用= =（- -）裂项相消计算。）裂项相消计算。)(1 mnnm1 n1 m1''解：原式=（-）+（-）+（-）x1 11 x22 11 x31 x33 31 x61 x=-=x1 61 x)6(6 xx4 4、分组计算技巧、分组计算技巧 例例 4 4 计算+-21 a12 a12 a21 a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为 a a2 2-4-4，第二项、第三项分母乘积为，第二项、第三项分母乘积为 a a2 2- - 1 1，采取分组计算简捷。，采取分组计算简捷。解：原式=（-）+（-）21 a21 a12 a12 a=+=44 2a14 2 a)1)(4(12 22aa5 5、变形技巧、变形技巧 例例 5 5 已知 x2-3x+1=0，求 x2+的值。21 x分析：将已知两边同除以分析：将已知两边同除以 x x（x0x0）可变出）可变出 x+x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出，然后利用完全平方公式的逆用可求出x1x x2 2+ +的值。的值。21 x解：由 x2-3x+1=0，两边同除以 x（x0），得x-3+=0，即 x+=3x1 x1所以 x2+=（x+）2-2=32-2=7 21 xx1二、分式求值中的整体思想二、分式求值中的整体思想例例 1 1 若分式的值为，则的值为（ ）73222 yy4121 461yyA、1 B、-1 C、- D、71 51解：由已知=得 2y2+3y+7=873222 yy412y2+3y=1，4y2+6y=2 所以=1，故选 A。16412yy121 例例 2 2 已知+=4，则= 。a1 b1 babababa 323434 分析：由已知可得到分析：由已知可得到 a+ba+b 与与 abab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用的关系式，所求式通过分解因式可得到用 a+ba+b 与与 abab 的表达式，然后将的表达式，然后将 a+ba+b 用用 abab 代换即可求出所求式的值。代换即可求出所求式的值。''解：由已知得=4 a+b=4ababba =-babababa 323434 abbaabba 2)(33)(4 abababab 243344 1019点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以 ab 得到= 233344abab2)11(3)11(4baba然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例例 3 3 已知 a2-3a+1=0，求的值。142aa解：由已知 a2-3a+1=0 知 a0，将已知等式两边同除以 a 得 a-3+=0，a+=3a1 a1所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7=241 aa 21 aa1 142aa 71点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。a2±=（a±）22 这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。21 aa1例例 4 4 已知+=，+=，+=，求的值。a1 b1 61 b1 c1 91 a1 c1 151 bcacababc 分析：将所求式分子、分母同除以分析：将所求式分子、分母同除以 abcabc 可得到可得到，只要将已知式变换出，只要将已知式变换出+ +cba1111a1+ +即可。即可。b1 c1解：因为+=，+=，+=，将、左、右分别相加，得a1 b1 61 b1 c1 91 a1 c1 1512（+）=+ a1 b1 c1 61 91 151+= 所以=a1 b1 c1 18031 bcacababc abc111131180例例 5 5 有一道题：“先化简再求值：，其中”，小明22x12x1)x1x1x1（x=2008做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过x=2008x= 2008计算解释这是怎么回事？ 解析解析: :首先对原分式进行化简首先对原分式进行化简, ,再根据化简结果说理再根据化简结果说理. .''.22x12x1)x1x1x1（) 1() 1)(1(2) 1(22 xxxxx12) 1(22xxx因为当和时, 的值都是 2009,所以小明把“2008x2008x12x”错抄成了“”,计算结果也是正确的.x=2008x= 2008例例 6 6 已知 x2-3x+1=0，求 x2+的值。21 x分析：将已知两边同除以 x（x0）可变出 x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x1x2+的值。21 x解：由 x2-3x+1=0，两边同除以 x（x0），得x-3+=0，即 x+=3 所以 x2+=（x+）2-2=32-2=7x1 x1 21 xx1三、分式运算新型题三、分式运算新型题例例 2 2 请利用、 和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分31 m3mm 932m 式的商减去第三个分式的差,并化简. 解析解析: :本题为开放性问题本题为开放性问题, ,答案不唯一答案不唯一. .按题目的要求可得到按题目的要求可得到 1010 多个不同的算式多个不同的算式, ,选取选取 其中一个进行化简即可其中一个进行化简即可, ,但一般应选择一个计算较简便的算式但一般应选择一个计算较简便的算式, ,以减少运算量以减少运算量, ,提高正确率提高正确率. .如, ÷-=932m3mm 31 mmm mm3 )3)(3(3 31 m=,等等.)3(3 mm31 mmmmm1 )3(3温馨提示温馨提示: :这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养, ,已成为各类考试的热已成为各类考试的热 点点, ,但所考查的知识却是我们所熟悉的但所考查的知识却是我们所熟悉的. .例例 3 3 先化简代数式÷,然后选取一个合适的值,代入求值. 22 2aaa 412aa解析解析: :本题用本题用“合适合适”二字设置了一个二字设置了一个“陷阱陷阱”,”,解题时必须明确解题时必须明确“合适合适”在题中的在题中的 含义含义, ,即选取的即选取的的值不但要使原式有意义的值不但要使原式有意义, ,而且还要尽量使运算简便而且还要尽量使运算简便. .a原式=)4()2)(2()2(2)2(2aaaaaa=.4)2(2)2(2aaaa''由题意知,的值不能取 2 和-2,所以当=0 时,原式=4.aa 温馨提示温馨提示: :本题既检测了同学们分析问题的能力本题既检测了同学们分析问题的能力, ,又考查了识别隐含信息的能力又考查了识别隐含信息的能力, ,题目题目 的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识. .这类题目也是近年出现的热点题型这类题目也是近年出现的热点题型, ,为我们提为我们提 供了较为广阔的思考空间供了较为广阔的思考空间, ,但所选字母的值应保证原式有意义但所选字母的值应保证原式有意义, ,以防掉入解题以防掉入解题“陷阱陷阱”. 一、开放性问题一、开放性问题例例 1 1 在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组44,2, 4222xxxxx成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 . 分分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人 性化与趣味化性化与趣味化. . 解：本题存在 6 种不同的结果，任选其一即可.（1）； （2）;xx, xxx22422 2244422 xx, xxx（3）； （4）;244222 xx, xxxx 24222 xx, xxx（5）; (6) .2244422 xx, xxx xx, xxxx224422说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需 要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我 们面前们面前. . 二、探索运算程序二、探索运算程序 例例 2 2 任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）m 平方 -m ÷m +2 结果Am Bm2Cm+1 Dm-1 分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提. .解：计算程序可表示为：，化简：原式= =m-1+2=m+1，故选22 mmm21 mmmC. 说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.三、自选数值求解三、自选数值求解例例 3 3 化简，并选择你最喜欢的数代入求值2111x xxx分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大， 但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式. .在选取在选取 x x 的数值时，一定要保的数值时，一定要保 证原式有意义，而且尽量使运算简便为好证原式有意义，而且尽量使运算简便为好. .解：原式，当 x=2 时，原式=-2.11 1(1)xx xx x 1(1) 11x x xx 说明：这里的 x 不能取 0 与 1，否则分母的值为 0，原式就没有意义了. 四、运算说理题四、运算说理题''例例 4 4 在解题目：“当时，求代数式的值”时，1949x 2224421142xxxx xxx聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请x 说明理由 分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解 决问题就很方便，同时要注意说的决问题就很方便，同时要注意说的“理由理由”要充分合理要充分合理. . 解：聪聪说的有理2224421142xxxx xxx2(2)211(2)(2)(2)xx xxx xx111xx1只要使原式有意义，无论取何值，原式的值都相同，为常数 1x 说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目 所问的问题所问的问题. . 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题1111 22 111 2 323111 3 434(1) 计算11111 1 22 33 44 55 6（2）探究1111.1 22 33 4(1)n n（用含有n的式子表示）（3）若 1111.1 33 55 7(21)(21)nn的值为17 35，求n的值解：（1）5 6（2）1nn（3）1111.1 33 55 7(21)(21)nn=)71 51(21)51 31(21)311 (21+ +)121 121(21 nn''=)1211 (21 n=12 nn由12 nn=3517解得17n 经检验17n是方程的根，17n【精练】计算：【分析分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母 比较复杂，其运算难度较大比较复杂，其运算难度较大. .不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的. .因因 此我们可以采用逐项相加的办法此我们可以采用逐项相加的办法. .【解】=1 1顺次相加法顺次相加法 例例 1 1：计算：【分析分析】本题的解法与例本题的解法与例 1 1 完全一样完全一样. .【解】=2 2整体通分法整体通分法 【例例 2】2】计算：【分析分析】本题是一个分式与整式的加减运算本题是一个分式与整式的加减运算. .如能把（如能把（-a-1-a-1）看作一个整体，并提取）看作一个整体，并提取“-”“-” 后在通分会使运算更加简便后在通分会使运算更加简便. .通常我们把整式看作分母是通常我们把整式看作分母是 1 1 的分式的分式. .【解】=.3 3化简后通分化简后通分''分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然， 化简后再通分计算会方便许多化简后再通分计算会方便许多4 4巧用拆项法巧用拆项法例 4 计算：.分析：本题的分析：本题的 1010 个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若整数的积（若 a a 是整数），联想到是整数），联想到，这样可抵消一些项，这样可抵消一些项. .解：原式=5 5分组运算法分组运算法例 5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同分析：本题项数较多，分母不相同. .因此，在进行加减时，可考虑分组因此，在进行加减时，可考虑分组. .分组的原则是使各分组的原则是使各 组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便. .解：=''=【错题警示错题警示】一、一、 错用分式的基本性质错用分式的基本性质例 1 化简错解：原式 分析：分式的基本性质是分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整 式，分式的值不变式，分式的值不变”，而此题分子乘以，而此题分子乘以 3 3，分母乘以，分母乘以 2 2，违反了分式的基本性质，违反了分式的基本性质. .正解：原式正解：原式 二、二、 错在颠倒运算顺序错在颠倒运算顺序例例 2 2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出 现错误现错误. .正解：原式三、错在约分三、错在约分''例 1 当为何值时，分式有意义？错解原式.由得.时，分式有意义. 解析解析 上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未，扩大了未知数的取值范围，而导致错误知数的取值范围，而导致错误.正解由得且.当且，分式有意义.四、错在以偏概全四、错在以偏概全例 2 为何值时，分式有意义？错解当，得.当，原分式有意义. 解析解析 上述解法中只考虑上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的，犯了以偏概全的错误错误. .正解 ，得，由，得.当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母五、错在计算去分母例 3 计算.错解原式''=. 解析解析 上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母六、错在只考虑分子没有顾及分母例 4 当为何值时，分式的值为零.错解由，得.当或时，原分式的值为零. 解析解析 当当时，分式的分母时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件的原因是忽视了分母不能为零的条件. .正解由由，得.由，得且.当时，原分式的值为零.二、经典例题透析二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 2若分式的值等于零，则x_； 3求分式的最简公分母。【变式变式 1】（1）已知分式的值是零，那么 x 的值是（ ）A1 B0 C1 D±''（2）当 x_时，分式没有意义【变式变式 2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A B C D类型二：分式的运算技巧类型二：分式的运算技巧(一一) 通分约分通分约分4化简分式:【变式变式 1】顺次相加法顺次相加法 计算：【变式变式 2】整体通分法整体通分法 计算：（二）裂项或拆项或分组运算（二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法巧用裂项法计算：【变式变式 1】分组通分法分组通分法计算：【变式变式 2】巧用拆项法巧用拆项法计算： 类型三：条件分式求值的常用技巧类型三：条件分式求值的常用技巧6参数法参数法 已知，求的值【变式变式 1】整体代入法整体代入法 已知，求的值. 【变式变式 2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的''分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知：，求的值【变式变式 3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次 式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求 出分式的值出分式的值已知：，求的值类型四类型四: :解分式方程的方法解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母 的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧（一）与异分母相关的分式方程（一）与异分母相关的分式方程7解方程=【变式变式 1】换元法 解方程：321 21xx x （2）与同分母相关的分式方程与同分母相关的分式方程8解方程3323xxx【变式变式 1】解方程 【变式变式 2】解方程 871 78 xxx1255 52xxx类型五：分式（方程）的应用类型五：分式（方程）的应用9甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买 1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买 1000 斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问 两人中谁的平均价格低一些？【变式变式 1】1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B若汽车的 速度是自