概率论与数理统计期末试卷'及其答案(最新1-).doc

''概率论与数理统计期末试卷概率论与数理统计期末试卷一、填空（每小题一、填空（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为_。 . 掷一颗骰子，表示“出现奇数点” ，表示“点数不大于 3” ，则表示 _。已知互斥的两个事件满足，则_。设为两个随机事件，则_。设是三个随机事件，、，则至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1. 从装有 2 只红球，2 只白球的袋中任取两球，记“取到 2 只白球” ，则（ ） 。 (A) 取到 2 只红球 (B) 取到 1 只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到 1 只红球 2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ） 。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设 A、B 为随机事件，则（ ） 。 (A) A (B) B (C) AB (D) 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） 。(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ） 。(A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（ ） 。(A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则（ ） 。 (A) 0.1(B) 0.6 (C) 0.8(D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为 p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为（ ） 。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 ''9. 设 A、B 为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ） 。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 一定发生，则（ ） 。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1 (C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C) 三、计算与应用题（每小题三、计算与应用题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球。从中一次任取两个。 求求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。 求求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有 6 位同学， 求求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品，从中一次抽取 3 个， 求求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2，0.1，0.1，并且任何一 道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为 0.95，而合格品中的一级品率为 0.65。 求求该产品的一级品率。7. 一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取 10 件，如果发现有次 品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收， 求求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与 0.9。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验， 求求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共四、证明题（共 6 6 分）分）设， 。证明 试卷一试卷一 参考答案参考答案一、填空一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为 53. 与互斥则 4. 0.6''故 5. 至少发生一个，即为又由 得 故 二、单项选择二、单项选择 1 2. A 3. A利用集合的运算性质可得. 4与互斥故 5故 6相互独立7.且 ''则 8. 9. B10. B 故 P (A) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题三、计算与应用题 1. 解：设 表示“取到的两球颜色不同” ，则而样本点总数故 2. 解：设 表示“能把门锁打开” ，则，而故 3. 解：设 表示“有 4 个人的生日在同一月份” ，则而样本点总数为故 4. 解：设 表示“至少取到一个次品” ，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则 包含的样本点数为。而样本点总数为故 5. 解： 设 “任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品” ，表示通过三道工序都合 格，则 于是 6. 解： 设 表示“产品是一极品” ，表示“产品是合格品” 显然，则于是 即 该产品的一级品率为 7. 解：''设 “箱中有 件次品” ，由题设，有， 又设 “该箱产品通过验收” ，由全概率公式，有于是 8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 表示“有放回取 5 件，最多取到一件次品”则 四、证明题四、证明题 证明， ， 由概率的性质知 则又 且 故 试卷二试卷二一、填空（每小题一、填空（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）''1. 若随机变量 的概率分布为 ，则_。2. 设随机变量 ，且 ，则_。3. 设随机变量 ,则 _。4. 设随机变量 ，则 _。 5. 若随机变量的概率分布为则 _。二、单项选择二、单项选择( (每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 2 分，共分，共 2020 分分) )1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变 量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ） 。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量的概率密度为，则（ ） 。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（ ） 。(A) (B) (C) (D) ''6. 设服从二项分布，则（ ） 。(A) (B) (C) (D) 7. 设，则（ ） 。 (A) (B) (C) (D) 8设随机变量的分布密度为 , 则（ ） 。 (A) 2(B) 1 (C) 1/2(D) 4 9对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ） 。 (A) 二项分布(B) 指数分布 (C) 正态分布(D) 泊松分布10设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。 (A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题（每小题三、计算与应用题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求求抽取次数的概率分布。2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作，已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。 求求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？ （2）若车间中仅有 2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求求（1）常数； （2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。 求求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于 0.9。5. 设随机变量。求求 概率密度。6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求求 。''7. 设随机变量的概率密度为。 求求 和。8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红 或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。 求求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共四、证明题（共 6 分）分） 设随机变量服从参数为 2 的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二试卷二 参考答案参考答案 一、填空一、填空 1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则3. 0.54. ''5. 0.25由题设，可设即010.50.5则 二、单项选择二、单项选择1. ()由分布函数的性质，知 则 ，经验证只有满足，选 2. ()由概率密度的性质，有 3. ()由概率密度的性质，有 4. ()由密度函数的性质，有 5. ()是单减函数，其反函数为 ，求导数得 由公式，的密度为 6. ()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知, 7. ()''于是 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 9. (D) 如果时,只能选择泊松分布. 10. (D) X 为服从正态分布 N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3 三、计算与应用题三、计算与应用题 1. 解： 设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为： 由古典概型，有则12342. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，于是（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的（2）3. 解：''（1）由 可得 （2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的， 因此，若用表示“线路正常工作” ，则而 故 4. 解：（1）（查正态分布表）（2）由题意 即 查表得 。 5. 解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知 故由公式知： 6. 解:，则 而由题设知 ''即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题四、证明题 证明：由已知 则又由 得 连续，单调，存在反函数''且 当时， 则 故 即 试卷三试卷三 一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1. 设二维随机变量的联合分布律为，则 _，_. 2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则 _.3. 若随机变量与相互独立，且， 则 服从_分布. 4. 已知与相互独立同分布，且则 _.5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_.二、单项选择二、单项选择( (在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 2 分，共分，共''2020 分分) )1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系 数（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）. (A) (X , Y) 服从指数分布(B) X 与 Y 不独立 (C) X 与 Y 相互独立(D) cov(X , Y) 04. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.(A) (B) (C) (D) 8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）. (A) (B) (C) (D) 9. 设是个相互独立同分布的随机变量，''则对于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 设,为独立同分布随机变量序列，且 Xi ( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，正态分布 N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）.三、计算与应用题（每小题三、计算与应用题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1. 将 2 个球随机地放入 3 个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求 .3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和； （2）判断与是否相互独立.4. 设的联合密度为求的概率密度.5. 设，且与相互独立.求（1）的联合概率密度；''（2）；（3）.6. 设的联合概率密度为求及. 7. 对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4，标准差是 1.5. 求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率. 8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于 10 个，则认为这批产品不能接受. 问应检查多少个产品才能使次品率为 10%的这批产品不被接受的概率达 0.9. 四、证明题（共四、证明题（共 6 6 分）分） 设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三试卷三 参考解答参考解答 一、填空一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. ''5. 二、单项选择二、单项选择 1. (B)由 即 选择(B).2. (B)由题设可知，故将标准化得 选择(B). 3. (C)选择(C). 4. (C)随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则选择(C). 5. (A)选择(A). 6. (A)由期望的性质知''选择(A). 7. (D)选择(D). 8. (B)与不相关的充要条件是即 则 选择(B). 9. (C)选择(C). 10. (A) Xi ( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，则故 选择(A). 三、计算与应用题三、计算与应用题 1. 解解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有''即 的联合分布律为2. 解解 （1）由概率密度的性质有可得 （2）设，则3. 解解（1） ''即 即 ，（2）当时故随机变量与不相互独立. 4. 解解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当 时，当 时，故 的概率密度为5. 解解 （1） 与相互独立''的联合密度为（2）（3）6. 解解''于是 由对称性 故 . 7. 解解设 表示第 次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布''于是 8. 解解设应检查个产品，其中次品数为，则由题设， 这里，可以认为较大，则由棣莫弗拉普拉斯定理知，近似服从正态分布依题意，有 即 亦即 查表得 故至少应检查个产品，才能达到题设要求.四、证明题四、证明题 证证 由协方差的定义及数学期望的性质，得