概率统计公式定律资料大全.doc

''第第 1 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率（1） 排列组合 公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m（2） 加法和乘 法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×nm×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。（3） 一些常见 排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4） 随机试验 和随机事 件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。（5） 基本事件、 样本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具 有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6） 事件的关 系与运算关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）： BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于BA AB B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BAA、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，''称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA，BABABABA（7） 概率的公 理化定 义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若 满足下列三个条件： 1° 0P(A)1， 2° P() =1 3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。（8） 古典概型1° ，n21,2° 。nPPPn1)()()(21设任一事件A，它是由组成的，则有m21, P(A)= P =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A（9） 几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为 几何概型。对任一事件 A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。)()()(LALAP（10） 加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11） 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P()=1- P(B)B（12） 条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称为事件 A 发生条件下，)()( APABP事件 B 发生的条件概率，记为。)/(ABP)()( APABP条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。''例如：P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B（13） 乘法公式乘法公式：)/()()/()()(BAPBPABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)>0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn )1nA。（14） 独立性两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立 的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A，B相互独立，则可得到A与B，A与B，A与B也都相互 独立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 A，B，C 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。（15） 全概率公 式设事件nBBB,21满足1°nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi，2° niiBA1， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16） 贝叶斯公 式 （用于求 后验概率）设事件1B，2B，nB及A满足1° 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP>0，i1，2，n，2° niiBA1 ，且0)(AP，则，i=1，2，n。 njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了)/(ABPi “因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。（17）我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；''伯努利概 型n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布（1） 离散型随 机变量的 分布律设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即 事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的 形式给出： ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，, 2 , 1k， （2）11kkp 。（2） 连续型随 机变量的 分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x， 有 xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称 概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：1° 0)(xf,2° 1)(dxxf,3°,dxxxxfXPxx21)()(214°。 )()()('xfxFxxf处连续，则有在点若（3） 离散与连 续型随机 变量的关 系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离dxxf)(散型随机变量理论中所起的作用相类似。''（4） 分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数Xx)()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间的概率。分布)()()(aFbFbXaP,(ba函数表示随机变量落入区间（ ，x的概率。)(xF分布函数具有如下性质：1° ；, 1)(0xFx2° 是单调不减的函数，即时，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3° ， ；0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x4° ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF5° 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量，； xxkkpxF)(对于连续型随机变量， 。 x dxxfxF)()(0-1 分布 即 B(1,p)P(X=1)=p, P(X=0)=q（5） 八大分布二项分布即 B(n,p)在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生nApA的次数是随机变量，设为，则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0， 其中knkk nnqpCkPkXP)()(，nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为Xnp。),(pnBX当时，这就是 0-1 分布，1nkkqpkXP1)(1 . 0k所以 0-10-1 分布分布是是二项分布的特例特例。''泊松分布即 P()设随机变量的分布律为X， k = 0,1,2，ekkXPk!)(0则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或X)(X者 P()。 泊松分布泊松分布是二项分布的极限分布（np=，n） 。超几何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布，其中 p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数，即ab 1其他， , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1b。axb''指数分布其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn 正态分布设随机变量X的密度函数为， x，222)(21)(x exf其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。 )(xf具有如下性质：1° )(xf的图形是关于x对称的；2° 当x时，为最大值；21)(f若),(2NX，则X的分布函数为dtexFxt 222)(21)(参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为 ) 1 , 0( NX，其密度函数记为2221)(x ex ，x 分布函数为。 xt dtex2221)( )(x是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x) 且 (0)1/2如果),(2NX，则 。X) 1 , 0(N。 12 21)(xxxXxP)(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, , 0xx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，（4） 离散型与 连续型的 关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，离散型X 的边缘分布为；), 2 , 1,()(jipxXPPij jiiY 的边缘分布为。), 2 , 1,()(jipyYPPij ijj（5） 边缘分布 密度连续型X 的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY''离散型在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；iij ijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jij jippyYxXP（6） 条件分布连续型在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；)(),()|(yfyxfyxfY在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 联合概率密度函数可分离变量。 正概率密度区间为矩形。二维正 态分布, 121),(2222121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf其中是 5 个参数 1| , 0, 0,21, 21（7） 独立性随机变量 的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g 为连续函数，则： h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。''（8）二维 均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其他, 0),(1),(DyxS yxfD其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为 （X，Y）U（D） 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1D1 O 1 x图 3.1y 1O 2 x图 3.2y dc O a b x 图 3.3D21D3''（9）二维 正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为, 121),(2222121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf其中是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态1| , 0, 0,21, 21分布，记为（X，Y）N（).,2 22 1, 21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即 XN（).(),2 2, 22 11NY但是，若 XN（，(X，Y)未必是未必是二维正态分布。)(),2 2, 22 11NYZ=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型，fZ(z)dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（） 。2 22 121,n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， iiiCiiiC222（10） 关于随机 变量的函 数的分布Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立，其分布函数分别为nXXX21,，则 Z=max, min(X1,X2,Xn)的分布)()()( 21xFxFxF nxxx，函数为：)()(· )()( 21maxxFxFxFxF nxxx)(1 )(1 · )(1 1)( 21minxFxFxFxF nxxx''分布2设 n 个随机变量相互独立，且服从标准正态分nXXX,21布，可以证明它们的平方和 niiXW12的分布密度为 . 0, 0, 0221)(2122uueu nufunn我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的分布，记为 W2，其中)(2n.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设2),(2 iinY则).(21 12 kkiinnnYZ''t 分布设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且),(),1 , 0(2nYNX可以证明函数nYXT /的概率密度为21 2 1221)( nnt nnntf ).(t我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntntF 分布设，且 X 与 Y 独立，可以证明)(),(22 12nYnX的概率密度函数为21 / nYnXF 0, 00,1222 )(22112221212121 11yyynnynn nnnnyfnn nn我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1, n2).),(1),(12211nnFnnF''第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征离散型连续型期望 （期望就是平均值）设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P()kxX pk，k=1,2,n， nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率 密度为 f(x)，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）一维随机变量的函数的期 望Y=g(X) nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差 D(X)=EX-E(X)2， 标准差， )()(XDX kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2（1）一维 随机 变量 的数 字特 征矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, iik ipx. 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学 期望为 X 的 k 阶中心矩，记为，即k.)(k kXEXE=， iik ipXEx)(k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶 原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)=,)(dxxfxkk=1,2, . 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为，即k.)(k kXEXE=,)()(dxxfXExkk=1,2, .''切比雪夫不等式设随机变量 X 的数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任 意正数 ，有下列切比雪夫不等式22 )(XP切比雪夫不等式给出了在未知未知 X X 的分布的分布的情况下，对概率)(XP的一种估计，它在理论上有重要意义。（2） 期望 的性 质（1）E(C)=C （2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)， niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3） 方差 的性 质（1）D(C)=0；E(C)=C （2）D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3）D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X) （5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望方差0-1 分布), 1 (pBp)1 (pp二项分布),(pnBnp)1 (pnp泊松分布)(P几何分布)(pGp121 pp超几何分布),(NMnHNnM 11NnN NM NnM均匀分布),(baU2ba 12)(2ab 指数分布)(e121 （4） 常见 分布 的期 望和 方差正态分布),(2N2''分布2n2nt 分布0(n>2)2nn期望 niiipxXE1)( njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(二维随机变量的函数 的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2dyyfYEyYDY)()()(2（5） 二维 随机 变量 的数 字特 征协方差对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X11与 Y 的协方差协方差或相关矩，记为，即),cov(YXXY或= = E(XY)-E(XY)- E(X)E(Y)E(X)E(Y).()(11YEYXEXEXY与记号相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分XY别记为与。XXYY''相关系数对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称=XY )()(YDXDXY为 X 与 Y 的相关系数，有时可简记为，且XY|1。当|=1 时，称 X 与 Y 完全相关完全相关：1)(baYXP完全相关 ，时负相关，当，时正相关，当 )0(1)0(1 aa 而当时，称 X 与 Y 不相关。0以下五个命题是等价的： ；0XY cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩对于随机变量 X 与 Y，如果有存在，则称之为 X)(lkYXE与 Y 的k+lk+l阶混合原点矩，记为；k+lk+l阶混合中心矩记kl为：)()(lk klYEYXEXEu（6） 协方 差的 性质() cov (X, Y) = = cov(Y, X); () cov(aX, bY) = = abcov(X, Y); () cov(X1+X2, Y) = = cov(X1, Y)+cov(X2, Y); () cov(X, Y) = = E(XY)-E(X)E(Y). （7） 独立 和不 相关() 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则；反之不成立。0XY() 若（X，Y）N（） ，,2 22 121则 X 与 Y 相互独立等价于 X 和 Y 不相关。''第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理切 比 雪 夫 大 数 定 律设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，即 D（Xi） 0，有. 1)(11lim11 niiniinXEnXnP特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为. 11lim1 niinXnP伯 努 利 大 数 定 律设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事 件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ， 有. 1lim pnP n伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即. 0lim pnP n这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。（1） 大数定律X辛 钦 大 数 定 律设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列， 且 E（Xn）=，则对于任意的正数 有. 11lim1 niinXnP''林 德 伯 格 列 维 定 理设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：，则随机变量), 2 , 1(0)(,)(2kXDXEkknnX Ynkkn 1的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 2121limlim( ).2ntkxknnnXn PxxedtnFx 此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。（2） 中心极限定理),(2nNX棣 莫 弗 拉 普 拉 斯 定 理设随机变量服从 B(n, p)(0<p<1)，则的分布函数nXnXFn(x)对于任意实数 x,有 2121limlim( ).(1)2ntnxinnXinp PxxFenxdtpp （3）二项定理若当，则),(,不变时knpNMNknkk nn Nkn MNk MppCCCC )1 ().(N超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当，则0,npn时ekppCk knkk n!)1 ().(n其中 k=0，1，2，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布泊松分布。''第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体） 。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。（1） 数理统计 的基本概 念样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样nXXX,21本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示 n 个随机变量（样本） ；在具体的一nXXX,21次抽取之后，表示 n 个具体的数值（样本nxxx,21值） 。我们称之为样本的两重性。''样本函数 和统计量设为总体的一个样本，称nxxx,21（）nxxx,21为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不含任何未知未知参数，则称（）为一个统计量统计量。nxxx,21常见统计 量及其性 质样本均值.11 niixnx样本方差 niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112 niixxnS样本 k 阶原点矩 nik ikkxnM1., 2 , 1,1样本 k 阶中心矩 nik ikkxxnM1., 3 , 2,)(1，)(XEnXD2 )(，,22)(SE221)*(nnSE其中，为二阶中心矩。 niiXXnS122)(1*（2） 正态总体 下的四大 分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2N则样本函数).1 , 0( /N nxudef''t 分布设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2N则样本函数),1(/ntnsxtdef其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。分布2设为来自正态总体的一个样本，则样nxxx,21),(2N本函数),1() 1(2 22 nSnwdef其中表示自由度为 n-1 的分布。) 1(2n2F 分布设为来自正态总体的一个样本，而nxxx,21),(2 1N为来自正态总体的一个样本，则样本nyyy,21),(2 2N函数),1, 1(/212 22 22 12 1nnFSSFdef其中,)(112112 11 niixxnS;)(112122 22 niiyynS表示第一自由度为，第二自由度为) 1, 1(21nnF11n的 F 分布。12n（3） 正态总体 下分布的 性质与独立。X2S第七章第七章 参数估计参数估计''（1） 点估计矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成m,21它的 k 阶原点矩中也).,;(21mxF), 2 , 1)(mkXEvk k包含了未知参数，即。又设m,21),(21mkkvv为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为nxxx,21 nik ixn11)., 2 , 1(mk这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有nim immniimniimxnvxnvxnv12112 2121211.1),(,1),(,1),(由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数即为参数（),(21m）的矩估计量。m,21若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 )(xg)(g)(g''极大似然 估计当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设),;(21mxfm,21为总体的一个样本，称nxxx,21),;(),(11122 nimimxfL为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为，则称),;(21mxpxXP),;(),;,(1111222 nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数在处取),;,(2211mnxxxLm ,21到最大值，则称分别为的最大似然估m ,21m,21计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin, 2 , 1, 0ln 若为的极大似然估计，为单调函数，则为 )(xg)(g的极大似然估计。)(g无偏性设为未知参数的估计量。若 E （）=，),(21nxxx 则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X） ， E（S2）=D（X）X（2）估计量 的 评选 标准有效性设和是未知参数),(2111nxxx ),(2122nxxx 的两个无偏估计量。若，则称有效。)()(21 DD21 比''一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有n , 0)|(|limn nP则称为的一致估计量（或相合估计量） 。n 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 ),(0)(nD 只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。置信区间 和 置信度设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出nxxx,21发，找出两个统计量与),(2111nxxx),(2122nxxx，使得区间以的概率包含这个待估参)(21,21) 10(1数，即,121P那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信,211水平） 。设为总体的一个样本，在置信度为nxxx,21),(2NX下，我们来确定的置信区间。具体步骤如12和,21下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度，查表找分位数；1（iii）导出置信区间。,21（3）区间 估计单正态总 体的期望 和方差的 区间估计已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1 , 0( /0N nxu (ii) 查表找分位数.1/0 nxP（iii）导出置信区间 nx nx00,''未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1( /nt nSxt(ii)查表找分位数.1 / nSxP（iii）导出置信区间 nSx nSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1() 1(2 22 nSnw（ii）查表找分位数.1) 1(2221 SnP（iii）导出的置信区间 SnSn121,1 第八章第八章 假设检验假设检验''基本思想假设检验的基本思想： 认为小概率事件在一次试验中在一次试验中几乎是不可能发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设 H0是否成立。我们先假定 H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称 H0是相容的。与 H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件（事件即：统计量 K 的观RK 测值落入拒绝拒绝( (区区) )域域 R，R 由给定的显著性水平 查相应的分布表确 K定。 ）其概率就是检验水平 ，通常我们取 =0.05，有时也取 0.01或 0.10。 基本步骤假设检验的基本步骤如下：(i)提出零假设 H H0 0； (ii) 选取统计量 K K；(iii)对于检验水平 查表找分位数；(iv) 由样本值计算统计量 K K 的观测值；nxxx,21 K比较的大小，作出判断：当时否定 H H0 0；与 K)(| KK或否则，认为 H H0 0相容。''第一类错误当 H H0 0为真时，而样本值(实际是指由样本值计算出的统计量 K K 的观测值)却落入了拒绝域（有 的概率 ） ，但按照我 K们规定的检