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第四讲第四讲 排列组合排列组合1、分类计数原理与分步计数原理：1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法；在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完场这件事共有 m+n 种不同的方法。2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，在第 1 步有 m 种不同的方法；在第 2 步有 n 种不同的方法，那么完场这件事共有种不同的方法。nm2、排列数：1、组合：中取个，记作nmm nC（1）!) 1()2() 1( mmnnnnCm n（2）阶乘：12)2)(1(!mmmm（3）mn nm nCC（4）10n nnCC2、排列：（1）全排列：将个数全排列，记nn nA（2）12)2)(1(nnnAnn（3）中取个，并将个数全排列：nmmm mm nm nACA 三、二项式定理：nn nn nn nn nnbaCbaCbaCbaCba022211100)(1、二次项系数之和：n nnnnCCCC2102、展开式的第项：rr nrCT1例题 1：的展开式中的常数项是（ ）4)1(xxA、6 B、4 C、-4 D、-6例题 2：在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）5)221(yx32yxA、-20 B、-3 C、6 D、20随堂训练：1、在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）52)1(xx 4xA、-10 B、10 C、-5 D、52、的展开式中的常数项是（ ）52)21(xxA、5 B、-5 C、10 D、-103、在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）6)3(yx42yxA、45 B、90 C、135 D、2704、已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，xn xax)(3则的值为（ ）A、1 B、 C、2 D、a125、的展开式中，的系数等于 。4)31)(21 (xx2x6、的展开式中各项系数的和为 243，则该展开式中常数项为 。52)1(xax 7、展开式中常数项是 70，则 。n xx)21(22n8、若展开式中常数项为-40，则 。5)12)(1(xxxaxa四、排列组合题型汇总（一）解决排列组合综合性问题的一般过程如下（一）解决排列组合综合性问题的一般过程如下: :（1）认真审题弄清要做什么事（2）怎样才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略（二）题型演练：（二）题型演练：1 1、特殊元素和特殊位置优先策略、特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C然后排首位共有1 4C最后排其它位置共有3 4A由分步计数原理得113 434288C C A 习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2 2、相邻元素捆绑策略、相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.C14A34C13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主, 需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理 其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种522 522480A A A 乙乙甲甲丁丁丙丙练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 3 3、不相邻问题插空策略、不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好5 5A的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同4 6A顺序共有 种54 56A A练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 304 4、定序问题倍缩空位插入策略、定序问题倍缩空位插入策略例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/AA(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置4 7A甲乙丙共有 1 种坐法，则共有种方法。4 7A要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端思考:可以先让甲乙丙就坐吗?练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5 5、重排问题求幂策略、重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法67练习题：1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法876 6、环排问题线排策略、环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从4 4A此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即！ 7HFDCA ABCDEABEGHGF定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为种nm练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 1207 7、多排问题直排策略、多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再2 4A排后 4 个位置上的特殊元素丙有种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种,则1 4A5 5A共有种215 445A A A前 排后 排练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 8 8、元素相同问题隔板策略、元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。6 9C一一 班班二二 班班三三 班班四四 班班五五 班班六六 班班七七 班班一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1m nAn一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为1 1m nC 练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4 9C2 .求这个方程组的自然数解的组数 100xyzw3 103C9 9、正难则反总体淘汰策略、正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有,只含有 1 个偶数的取法3 5C有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条12 55C C123 555C CC件的取法共有123 5559C CC练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?1010、平均分组问题除法策略、平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为222 642C C CABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有222 642C C C种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。3 3A2223 6423/C C CA有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分n nAn的组数)避免重复计数。练习题： 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？（）5442 13842/C C CA