历届全国大学生数学竞赛预赛试卷.doc

全国大学生数学竞赛全国大学生数学竞赛预赛试预赛试卷卷（非数学类）（非数学类）2009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算_，其中区域由直线与两坐标轴()ln(1) d d1Dyxyxx yxy D1 yx所围成三角形区域.2设是连续函数，且满足，则_.)(xf220( )3( )d2f xxf xx( )f x 3曲面平行平面的切平面方程是_.2 222xzy022zyx4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则)(xyy 29ln)(yyfexef1 f_.22dd xy二、 （5 分）求极限，其中是给定的正整数.xenxxxxneee)(lim20n三、 （15 分）设函数连续，且，为常数，求)(xf10( )()g xf xt dtAxxfx )(lim 0A并讨论在处的连续性.( )g x)(xg0x四、 （15 分）已知平面区域，为的正向边界，试0,0| ),(yxyxDLD 证：（1）；LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）.2sinsin 25ddLyyxyeyxe五、 （10 分）已知，是某二阶常系数xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线过原点.当时，又已知该抛cbxaxyln2210 x0y物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定，使此图形绕轴旋转一周而成x1x31cba,x的旋转体的体积最小.V七、 （15 分）已知满足，且，求函数项级数)(xun1( )( )1,2,nx nnuxuxxenneun) 1 (之和.1)(nnxu八、 （10 分）求时，与等价的无穷大量.1x02nnx2010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设，其中求22(1)(1)(1)nnxaaa| 1,a lim.nnx （2）求.21lim1x xxex（3）设，求.0s 0(1,2,)sxn nIex dx n（4）设函数有二阶连续导数，求.( )f t221, ( , )rxyg x yfr2222gg xy（5）求直线与直线的距离.10:0xylz 2213:421xyzl二、 （15 分）设函数在上具有二阶导数，并且，( )f x(,) ( )0fx，lim( )0 xfx ，且存在一点，使得. 证明：方程在恰有两lim( )0 xfx 0x0()0f x( )0f x (,) 个实根.3、 （15 分）设函数由参数方程所确定，且，( )yf x22(1)( )xtttyt 22d3 d4(1)y xt其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数.( ) t( )yt2213 2tuyedue1t ( ) t四、 （15 分）设，证明：10,nnnk kaSa（1）当时，级数收敛；11nnna S（2）当且时，级数发散.1()nsn 1nnna S五、 （15 分）设 是过原点、方向为， （其中的直线，均匀椭球l( , ) 2221)（其中，密度为 1）绕 旋转.2222221xyz abc0cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.( , ) 六、(15 分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲( )xC线积分的值为常数.422d( )d0 Lxy xxy xy A（1）设为正向闭曲线，证明；L22(2)1xy422d( )d0 Lxy xxy xy A（2）求函数；( )x（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.C422d( )dCxy xxy xy A2011 年年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）求；1 1 cos0sinlimxxx x（2）.求；111lim.12nnnnn（3）已知，求.2ln 1arctanttxeyte 22d dy x二、 （本题 10 分）求方程的通解.24 d1 d0xyxxyy三、 （本题 15 分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且( )f x0x 均不为 0，证明：存在唯一一组实数，使得 0 ,0 ,0fff123,k k k. 123 20230lim0 hk f hk fhk fhf h四、 （本题 17 分）设，其中，为与2221222:1xyz abc0abc222 2:zxy1的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.21五、 （本题 16 分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（S22310xyzy） （取上侧） ，是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，0z S( , , )P x y z( , , )x y z表示的正法向的方向余弦. 计算：, , S（1）；（2）d, ,SzSx y z3dSzxyzS六、 （本题 12 分）设是在内的可微函数，且，其中，( )f x(,) ( )( )fxmf x01m任取实数，定义，证明：绝对收敛.0a1ln(),1,2,.nnaf an1 1()nn naa 七、 （本题 15 分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，0,2( )f x(0)(2)1ff，( )1fx?请说明理由.20( )d1f xx 2012 年年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限.21 lim( !)n nn （2）求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过2320:55430xyzlxyz12点.(4,3,1)（3）已知函数，且. 确定常数和，使函数满足方( , )ax byzu x y e2 0u x y ab( , )zz x y程.2 0zzzzx yxy （4）设函数连续可微，且在右半平面与路径( )uu x(2)1u3(2 ) d() d Lxy u xxu u y无关，求.( , )u x y（5）求极限.13sinlimdcosxxxtxttt二、 （本题 10 分）计算.20sindxexx三、 （本题 10 分）求方程的近似解，精确到 0.001.21sin2501xxx四、 （本题 12 分）设函数二阶可导，且，求( )yf x( )0fx(0)0f(0)0f ，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.330( )lim( )sinxx f u f xuu( )yf x( ,( )P xf xx五、 （本题 12 分）求最小实数，使得满足的连续函数都有C10( ) d1f xx ( )f x.10()fx dxC六、 （本题 12 分）设为连续函数，. 区域是由抛物面和球面( )f x0t 22zxy所围起来的部分. 定义三重积分，2222xyzt(0)z 222( )()dF tf xyzv 求的导数.( )F t( )F t七、 （本题 14 分）设与为正项级数，证明：1n na 1n nb（1）若，则级数收敛；111lim0nnnnna abb1n na（2）若，且级数发散，则级数发散.111lim0nnnnna abb1n nb 1n na2013 年年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限.2lim 1sin14nnn 2.证明广义积分不是绝对收敛的. 0sindxxx3.设函数由确定，求的极值.( )yy x323322xx yy( )y x4.过曲线上的点作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积3(0)yx xAx为，求点的坐标.3 4A二、 （满分 12 分）计算定积分.2sinarctand1cosxxxeIxx三、 （满分 12 分）设在处存在二阶导数，且.证明：级数 f x0x (0)f 0lim0 xf x x收敛.11nfn四、 （满分 12 分）设，证明.( ),( )0()f xfxmaxb2sin( )dbaf xxm五、 （满分 14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分.试确定曲面，使积分的值最小，并求333d d2d d3d dIxxy zyyz xzzx yI该最小值.六、 （满分 14 分）设，其中为常数，曲线为椭圆，22dd( )()aaCy xx yIrxyaC222xxyyr取正向.求极限.lim( )arIr 七、 （满分 14 分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.11112 12nn nn2014 年年 第六届第六届全国大学生数学竞赛预赛全国大学生数学竞赛预赛试卷（试卷（非数学类非数学类）一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分）1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .1xye1xyxe2.设有曲面和平面. 则与平行的的切平面方程是 .22:2S zxy022:zyxLLS3.设函数由方程所确定.求 .( )yy x21sind4y xtxt 0d dxy x4.设，则 .1(1)!nn kkxk nnxlim5.已知，则 .130( )lim 1xxf xxex 20)(limxxfx二、 （本题 12 分）设为正整数，计算.n21d1cos lnddneIxxx三、 （本题 14 分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得，( )f x 1 , 0,A B( )f xA. 证明：对任意，有.|“( )|fxB 1 , 0x22| )( '|BAxf四、 （本题 14 分） （1）设一球缺高为，所在球半径为. 证明该球缺体积为hR，球冠面积为；（2）设球体被平面2)3(3hhR Rh212) 1() 1() 1(222zyx所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲6:zyxP面积分.d dd dd dIx y zy z xz x y五、 （本题 15 分）设在上非负连续，严格单增，且存在，使得f,ba,baxn.求.bann ndxxfabxf)(1)(nnx lim六、 （本题 15 分）设，求.2222212nnnnAnnnn nnAn4lim2015 年年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类非数学类）一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .2222sinsinsinlim12nnnnnnnn （2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导,zz x y,0zzF xyyx,F u v数，且则 .0uvxFyFzzxyxy（3）曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是 .221zxy1, 1,3M（4）函数在的傅立叶级数在收敛的是 . 3,5,00,0,5xf xx 5,50x （5）设区间上的函数定义域为，则的初等函数表达0, u x 20xtu xedt u x式是 . 二、 （12 分）设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.M三、 （12 分）设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有 f x, a b, ,xa b ，则在内无穷次可导. fxf xf x f x, a b四、 （14 分）求幂级数的收敛域及其和函数.30211 !nnnxn五、 （16 分）设函数在上连续，且. 试证： f x0,1 11000,1f x dxxf x dx（1）使；00,1x 04f x（2）使.10,1x 14f x五、 （16 分）设在上有连续的二阶偏导数，且. ,f x y221xy2222xxxyyyfffM若，证明：.0,00,0,00,00xyfff221,4xyMf x y dxdy2016 年年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）1、填空题（每小题 5 分，满分 30 分）1、若在点可导，且，则_. f xxa 0f a 1limnnfan f a 2、若，存在，求极限. 10f 1f 220sincostan3lim 1 sinxxfxxxI ex 3、设有连续导数，且，记，若，求在的表达 f x 12f2xzf e yzzx f x0x 式.4、设，求，. sin2xf xex02na 40f5、求曲面平行于平面的切平面方程.2 22xzy220xyz二、 （14 分）设在上可导，且当，试证当 f x 0,1 00f0,1x 01fx，. 0,1a 2 300ddaaf xxfxx3、 （14 分）某物体所在的空间区域为，密度函数为，222:22xyzxyz222xyz求质量. 222d d dMxyzx y z四、 （14 分）设函数在闭区间上具有连续导数， f x0,1 00f 11f证明：. 10111lim2nnkknf x dxfnn 5、 （14 分）设函数在闭区间上连续，且，证明：在内存在 f x 0,1 10d0If xx0,1不同的两点，使得. 12,x x 12112 f xf xI6、 （14 分）设在可导，且.用 Fourier 级数理论 f x, 23f xf xf x证明为常数. f x2017 年年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1. 已知可导函数满足，则=_.()xxtdttfxxf 01sin)(2)(cos( )f x2 求. nn n22sinlim3. 设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数. 则( , )wf u v= +u xcy v x cy，c=_.21xxyywwc4. 设有二阶导数连续，且，则( )f x(0)'(0)0,“(0)6fff=_.240(sin)lim xfx x5. 不定积分=_.sin2sin2 (1 sin )xexIdxx 6. 记曲面和围成空间区域为，则三重积分222zxy224zxyV=_.Vzdxdydz二、 （本题满分 14 分) 设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，( , )f x y定义一元函数.( )( cos , sin)gtf tt若对任何都有且. 证明是的极小值. (0)0dg dt22(0)0d g dt)0 , 0(f( , )f x y三、(本题满分 14 分) 设曲线为在，2221xyz1xz0,0,0xyz上从到的一段. 求曲线积分.(1,0,0)A(0,0,1)B xdzzdyydxI4、(本题满分 15 分) 设函数且在实轴上连续，若对任意实数 ，有( )0f x t，则，.|( )1t xef x dx , ()a b ab2( )2babaf x dx五、(本题满分 15 分) 设为一个数列，为固定的正整数。若nap，limn pnnaa其中为常数，证明.limnna np