历年高考'真命题解答题专项训练概率与统计(理科-)学生版.doc

''2017-2018 年高考真题解答题专项训练年高考真题解答题专项训练:概率与统计（理科）概率与统计（理科）学生版学生版1已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率.2电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”k= 1表示第 k 类电影得到人们喜欢， “”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢k= 0（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小关系D1D2D3D4D5D63某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：''（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过 的工人数填入下面的列联表：mm超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：， K2=n(ad - bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)4下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性yt回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型t1, 2, , 17：；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）y =- 30.4 + 13.5tt1, 2, , 7''建立模型：y = 99 + 17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由5根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：n (n N*)anbn辆） ，其中，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的an=5n4+ 15,1 n 3 - 10n + 470,n 4 bn= n + 5nn累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量（单位：辆）nSn=- 4(n - 46)2+ 8800. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？6某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？7在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。1B''（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.8 （题文） （2017 新课标全国 II 理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） 其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：，K2=n(ad - bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)9从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇3到红灯的概率分别为， ， 1 21 31 4（ ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均1XX值（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到 个红灯的概率2221''参考答案参考答案1 （）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人 （） （i）答案见解析；（ii）6 7【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）【解析】分析：（）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3人，2 人，2 人（） （i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3） 据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为3 43 3 7CC Ckk 12 7E X （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件 A 发生的概率为6 7详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3） 3 43 3 7CC Ckk所以，随机变量 X 的分布列为X0123P1 3512 3518 354 35随机变量 X 的数学期望 112184120123353535357E X （ii）设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= 6 7''所以，事件 A 发生的概率为6 7点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某n N样本容量该层抽取的个体数 总体的个数该层的个体数两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比2(1) 概率为 0.025(2) 概率估计为 0.35(3) >>=>>D1D4D2D5D3D6【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有 1 部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从 0-1 分布，因此，即得>>kDk= p(1 - p)D1D4=>>D2D5D3D6详解：解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50故所求概率为502000= 0.025（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（）=P（）+P（）AB + ABABAB=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.25×0.8+0.75×0.2=0.35（）>>=>>D1D4D2D5D3D6点睛：互斥事件概率加法公式：若 A,B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公''式:若 A,B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B).3 （1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【来源】2018 年全国卷理数高考试题文档版【解析】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。（3）由公式计算出，再与 6.635 比较可得结果。k2详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.m =79 + 812= 80列联表如下：超过m不超过m''第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.K2=40(15 × 15 - 5 × 5)220 × 20 × 20 × 20= 10 > 6.635点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。4 （1）利用模型预测值为 226.1，利用模型预测值为 256.5， （2）利用模型得到的预测值更可靠【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II）【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果， （2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测.详解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.5×19=226.1（亿元） y利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元） y（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型y得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测''值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.(x,y)5 （1）935；（2）见解析.【来源】2017 年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）【解析】试题分析：（1）计算和的前 项和的差即可得出答案；anbn4（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.an bnn 4242试题分析：（1）(a1+ a2+ a3+ a4) - (b1+ b2+ b3+ b4) = 965 - 30 = 935（2），即第 42 个月底，保有量达到最大- 10n + 470 > n + 5n 42(a1+ a2+ a3+ a4) - (b1+ b2+ b3+ b4) = 965 +(420 + 50) × 382 -(6 + 47) × 422= 8782，此时保有量超过了容纳量. S42=- 4(42 - 46)2+ 8800 = 87366(1)分布列见解析.(2) n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【来源】 【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（文）试题【解析】 （1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为， 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶2 + 16 + 3690= 0.6的概率的估计值为 0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y=6450-4450=900； ××若最高气温位于区间 20,25） ，则 Y=6300+2（450-300）-4450=300；××若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（450-200）-4450= -100.××所以，Y 的所有可能值为 900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为''，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.36 + 25 + 7 + 490= 0.8【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.7 （1） （2）见解析5 18【来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】 （I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为 M，计算即得1A1B(II)由题意知 X 可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式0,1,2,3,4得 X 的分布列为X01234P1 425 2110 215 211 42进一步计算 X 的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为 M，则1A1B 4 8 5 105.18CP MC(II)由题意知 X 可取的值为： .则0,1,2,3,45 6 5 1010,42CP XC41 64 5 1051,21C CP XC32 64 5 10102,21C CP XC''23 64 5 1053,21C CP XC14 64 5 1014,42C CP XC因此 X 的分布列为X01234P1 425 2110 215 211 42X 的数学期望是0011223344EXP XP XP XP XP X =151051012342.4221212142 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.8 （1）；（2）见解析；（3）.0.409252.35kg【来源】江西省赣州厚德外国语学校 2018 届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A的概率估计值；（2）写出列联表计算 的观测值，即可确定有 99%的把握认为箱产量与K2养殖方法有关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35kg试题解析：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ， 表示事件“新养殖法50kgC的箱产量不低于” 50kg由题意知 P(A)= P(BC)= P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于的频率为50kg（0.040 + 0.034 + 0.024 + 0.014 + 0.012） × 5 = 0.62故的估计值为 0.62P(B)新养殖法的箱产量不低于的频率为50kg''（0.068 + 0.046 + 0.010 + 0.008） × 5 = 0.66故的估计值为 0.66P(C)因此，事件 A 的概率估计值为0.62 × 0.66 = 0.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 6.635故有的把握认为箱产量与养殖方法有关99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为50kg，(0.004 + 0.020 + 0.044)× 5 = 0.34 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 +0.5 - 0.340.068 52.35（kg）点睛:（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大k（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和9(1)见解析；（2）. 11 48P AP B【来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析： 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值XX''为 0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望， 表示XY第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，这 2 辆车共遇到 1 个红灯Z就是包括第一辆遇到 1 次红灯且第 2 辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第 2 辆遇上 1 次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（）解：随机变量的所有可能取值为 0,1,2,3.X，111101112344P X ，11111111111111111123423423424P X ，111111111121112342342344P X.1111323424P X 所以，随机变量的分布列为XX0123P1 411 241 41 24随机变量的数学期望.X 1111113012342442412E X （）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所YZ求事件的概率为 10,11,00110P YZP YZP YZP YP ZP YP Z.11111111 42424448所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为.11 48【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概''率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.