量子力学之狄拉克符号系统与表象.doc

''Dirac 符号系统与表象一、一、Dirac 符号符号1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体 的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以 不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量， 而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用 的符号称为 Dirac 符号。2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组 成该空间的完备右矢（或基组） ，即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢） 。右矢空间的任一矢量 |> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：=n na n（2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 称为伴矢量。的关系 | >按 Q 的左基矢 |Qn > 展开： | > = a1 |Q 1> + a2 |Q 2> + . + a3 |Q3 > + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12naaa 和 * = 。对于满足归*nn nba ''一化条件的内积有：。这样，本征态的归一化条件可以写*1nn naa 为：由此可以看出： 满足： a）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相 加； c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为 一复数。 （4）. 本征函数的封闭性 a）分立谱 展开式：=nn na Q|( )|( )( )mnmnnmnn nnQa tQQa ta t可得：|nn nQQ因为 |> 是任意态矢量，所以：| 1nn nQQb）连续谱 对于连续谱 |q > ，q 取连续值，任一状态 | >展开式为：|( ) |qa tqdq因为 |> 是任意态矢量，所以：| 1qdqq这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 c）投影算符 |Qn>上，相当于 把 |> 投影到左基矢 |Qn> 或 |q> 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn> 上的分量 或 。故称 |Qn> 在 X 表象的表示是 (x, t)，所以显然有：在分立谱下：| 1nn nQQ|'|'nn nx QQxx x'|''( ''')'|''( ''')|nmnmppppxxxxQQ连续谱连续谱分立谱|qdqq|( , ) |*( , )xx t xxx t ''所以。*( ')( )(')nn nux uxxx在连续谱下：| 1qdqq|x qdqq xx x所以。*( ')( )(')qqux ux dqxx上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下：正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和 或积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分 是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 3. 算符 （1）. 右矢空间X 表象下：在一般 Dirac 表象下：利用分立谱下的完备性可以得到：写成矩阵形式为：即 Q 表象下 = F 。平均值公式：。利用利用分立谱下的完备性可以得到：|FF*|mmnn mnmmnn mnFQQF QQa F a（2）. 共轭式（右矢空间）) '()() '(*) '()() '(*xxdqxuxuxxxuxuqqnn n ) '()()(*)()(*'qqdxxuxudxxuxuqqnmmn ( , )( , ) ( , )x tF x px t |FQQmm |nnm nQQFQ |F |,|,|,|,|2112212211121nnnQQQQFQQFQQFQQFQQFQQQQ''* |*|* |*|()|mmmnn nmnnnmnnmn nnnnnmm nQQQF QQFQFQFQQQFQFQ从而可以得到：。如果为厄米算符，则有。| FF| F表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到 左矢量上。例：力学量算符 x 在动量中的形式|x|pp xp x pdpp|()|1|2 11 22()iipxp xiiiipxp xpxp xp x pp xdxx x xdxxpp xdxxx xdxxpp xdxxxx dxxpp xxdxx pexedxieedxieedxppippp 即有：故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式： xip |ppdpxpxpp |)(ppippdpppi''4. 总结（1 1） X X 表表 象象 描描 述述 与与 狄狄 拉拉 克克 符符 号号1)(| )(| 1),(),()()(),()(|),(* ttQQ dxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm 本本征征函函数数归归一一化化算算符符波波函函数数D Di ir ra ac c 符符号号项项目目X X 表表象象D Di ir ra ac c 符符号号项项目目X X 表表象象 1|1|)()()()()()()(|)()()(*qdqqQQxxdqxuxuxxxuxuqqqqqqdxxuxunnqqnn nqq 封封闭闭性性本本征征函函数数归归一一性性正正交交 |)()(),()(|)(|),(),(),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平平均均值值本本征征方方程程公公式式 )(|)(|),(),(),(|*tHtdtditrirHtrtiSnFmFdxFFmnnmmn方方程程矩矩阵阵元元 （2 2）左左右右矢矢空空间间的的对对应应关关系系左左矢矢空空间间右右矢矢空空间间 | FF |FF（3 3） 厄厄密密共共轭轭规规则则由由常常量量 C C、左左矢矢、右右矢矢和和算算符符组组成成的的表表 示示式式，求求其其厄厄密密共共轭轭式式的的表表示示规规则则1 1）把把全全部部次次序序整整个个颠颠倒倒2 2）作作如如下下代代换换：常常量量C C C C* *> | | > > = 。证明：一维谐振子哈密顿量：方法 I：取 作为参数 简记为 2 ( )2pV x22 221 221 2 2 ()0,1,2,ndHxdx Enn 0 nE22 21 22222 xdxdH )2(122 21 222 xdxd )(212 xVp nnnHE nnxVp )(2102 nnnnpxV 2)(2 ''方方法法 II令令 = = )(21 nEn 2xH 222 21x )(2xV nnnHE )(2)(21xVn nEnV21 21 21)( VpHEn 22 VpV 222 22pV方方法法 III取取 = )(21 nEn 222 21 222 xdxdH 22dxd 22222222 pdxd 由由HF 定定理理nnnHE 22)(221pnnEnp21 21 212 )(2 2221 Vp 22pV由由 HF 定定理理（2 2）证证明明维维里里定定理理 VrT2即即 nnnnrVrp )(21 22 证证 I I. .在在坐坐标标表表象象)(222 rVH 将将 视视为为参参数数由由 HF 定定理理 222 2pH nnnHE I II I. .在在动动量量表表象象pir )(22piVpH )(piVH 由由HF定定理理 VrEn 1 Vrp1222 nnp 222 rrVr)(Vr 1 Vrp21 22