2016年山东省青岛市中考数学试卷(含答案解析).pdf

2016 年山东省青岛市中考数学试卷 一、选择题（本题 满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出 标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不 选、选错或选出的 标号超过一个的不得分.1（3 分）的绝对值是（）A B C D5 2（3 分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（）A1310 kg B0.1310 kg C1.310 kg D1.310 kg 3（3 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D 4（3 分）计算 aa（2a）的结果为（）Aa 2a Ba Ca 4a D3a 6 5（3 分）如图，线段 AB 经过平移得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别 为点 A，B，这四个点都在格点上若线段 AB 上有一个点 P（a，b），则 点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为（）A（a2，b+3）B（a2，b3）C（a+2，b+3）D（a+2，b3）6（3 分）A，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行 驶的长途客车平均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原 第 1 页（共 31 页）7 8 7 8 5 3 2 6 5 6 6 5 来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为（）A C =1 B =1 D =1 =1 7（3 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 （）A175cm B350cm C cm 2 D150cm 2 8（3 分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 13.75 8.04 2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程（x+8）826=0 的一个正数解 x 的大致范围为（）A20.5x20.6 B20.6x20.7 C20.7x20.8 D20.8x20.9 二、填空题（本题 满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9（3 分）计算：=10（3 分）“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查 了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数 量根据得到的调查数据，绘制成如图所示的扇形统计图若本次活动共有 第 2 页（共 31 页）2 2 2 12000 名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有 名 11（3 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，若BCD=28，则 ABD=12（3 分）已知二次函数 y=3x+c 与正比例函数 y=4x 的图象只有一个交点，则 c 的值为 13（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上 一点，CE=5，F 为 DE 的中点若CEF 的周长为 18，则 OF 的长为 14（3 分）如图，以边长为 20cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上 分别截取 4cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有 两个直角的四边形把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三 角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm 三、作图题（本题 满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 第 3 页（共 31 页）2 3 迹.15（4 分）已知：线段 a 及ACB 求作：O，使O 在ACB 的内部，CO=a，且O 与ACB 的两边分别相切 四、解答题（本题 满分 74 分，共有 9 道小题）16（8 分）（1）化简：（2）解不等式组 ，并写出它的整数解 17（6 分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分 成面积相等的几个扇形转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于 2，则小 明胜，否则小亮胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 18（6 分）如图，AB 是长为 10m，倾斜角为 37的自动扶梯，平台 BD 与大楼 CE 垂直，且与扶梯 AB 的长度相等，在 B 处测得大楼顶部 C 的仰角为 65，求大 楼 CE 的高度（结果保留整数）（参考数据：sin37，tan37，sin65，tan65）第 4 页（共 31 页）19（6 分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 c（1）写出表格中 a，b，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩若选 派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？20（8 分）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直 角坐标系，最左边的抛物线可以用 y=ax+bx（a0）表示已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为 m，到墙边 OA 的距离分别为 m，m （1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（2）若该墙的长度为 10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？21（8 分）已知：如图，在ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AE=CF，直线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 O（1）求证：ABECDF；（2）连接 DG，若 DG=BG，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由 第 5 页（共 31 页）2 22（10 分）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出据市场调查，若按每个玩具 280 元销售时，每月 可销售 300 个若销售单价每降低 1 元，每月可多售出 2 个据统计，每个玩 具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）满足如下关系：月产销量 y（个）160 200 240 300 每个玩具的固定成本 Q（元 60 48 40 32 （1）写出月产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）之间的函数关系式；（3）若每个玩具的固定成本为 30 元，则它占销售单价的几分之几？（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过 400 个，则每个玩具的固定成本至少为 多少元？销售单价最低为多少元？23（10 分）问题提出：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割 为一些 1x5 或 23 的矩形（axb 的矩形指边长分别为 a，b 的矩形）？问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的 问题 探究一：如图，当 n=5 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形 如图，当 n=6 时，可将正方形分割为六个 23 的矩形 如图，当 n=7 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形和四个 23 的矩形 如图，当 n=8 时，可将正方形分割为八个 15 的矩形和四个 23 的矩形 如图，当 n=9 时，可将正方形分割为九个 15 的矩形和六个 23 的矩形 第 6 页（共 31 页）探究二：当 n=10，11，12，13，14 时，分别将正方形按下列方式分割：所以，当 n=10，11，12，13，14 时，均可将正方形分割为一个 55 的正方形、一个（n5）（n5）的正方形和两个 5（n5）的矩形显然，55 的 正方形和 5（n5）的矩形均可分割为 15 的矩形，而（n5）（n5）的 正方形是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15 或 23 的矩形 探究三：当 n=15，16，17，18，19 时，分别将正方形按下列方式分割：请按照上面的方法，分别画出边长为 18，19 的正方形分割示意图 所以，当 n=15，16，17，18，19 时，均可将正方形分割为一个 1010 的正方 形、一个（n10）（n10）的正方形和两个 10（n10）的矩形显然，1010 的正方形和 10（n10）的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而（n10）（n10）的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方 法可分割为一些 15 或 23 的矩形 问题解决：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明 第 7 页（共 31 页）实际应用：如何将边长为 61 的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形？（只需 按照探究三的方法画出分割示意图即可）24（12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，对角线 AC，BD 交于点 0点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同 时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运 动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F设运动时间为 t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？（2）设五边形 OECQF 的面积为 S（cm），试 确定 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S 五边形 S 五边形 OECQF：S ACD=9：16？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 2 第 8 页（共 31 页）2016 年山东省青岛市中考数学试卷 参考答案 与试题解 析 一、选择题（本题 满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出 标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不 选、选错或选出的 标号超过一个的不得分.1（3 分）的绝对值是（）A B C D5 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案【解答】解：|=故选：C【点评】此题主要考查了实数的性质，正确把握绝对值的性质是解题关键 2（3 分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（）A1310 kg B0.1310 kg C1.310 kg D1.310 kg【分析】科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整 数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值 与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数【解答】解：130 000 000kg=1.310 kg 故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10 的 形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值 3（3 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）第 9 页（共 31 页）7 8 7 8 n 8 n A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关 键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4（3 分）计算 aa（2a）的结果为（）Aa 2a Ba Ca 4a D3a 6【分析】首先利用同底数幂的乘法运算法则以及结合积的乘方运算法则分别化 简求出答案【解答】解：原式=a 4a=3a 故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算，正确掌 握运算法则是解题关键 5（3 分）如图，线段 AB 经过平移得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别 为点 A，B，这四个点都在格点上若线段 AB 上有一个点 P（a，b），则 点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为（）5 3 2 6 5 6 6 5 6 6 6 第 10 页（共 31 页）A（a2，b+3）B（a2，b3）C（a+2，b+3）D（a+2，b3）【分析】根据点 A、B 平移后横纵坐标的变化可得线段 AB 向左平移 2 个单位，向上平移了 3 个单位，然后再确定 a、b 的值，进而可得答案【解答】解：由题意可得线段 AB 向左平移 2 个单位，向上平移了 3 个单位，则 P（a2，b+3）故选 A【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关 键是掌握横坐标，右移 加，左移减；纵坐标，上移加，下移减 6（3 分）A，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行 驶的长途客车平均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原 来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为（）A C =1 B =1 D =1 =1 【分析】直接利用在 A，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h，利用时间差值得出等式即可【解答】解：设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为：=1 故选：A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等 量 关系是解题关键 第 11 页（共 31 页）7（3 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 （）A175cm B350cm C cm 2 D150cm 2 【分析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的面积，已知圆心角的度数 为 120，扇形的半径为 25cm 和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的 面积【解答】解：AB=25，BD=15，AD=10，S 贴纸 =2（）=2175=350cm，故选 B 【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握 扇 形面积计算公式，此题难度一般 8（3 分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 13.75 8.04 2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程（x+8）826=0 的一个正数解 x 的大致范围为（）第 12 页（共 31 页）2 2 2 2 A20.5x20.6 B20.6x20.7 C20.7x20.8 D20.8x20.9【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+8）826 的值，从而可以判断当（x+8）826=0 时，x 的所在的范围，本题得以解决【解答】解：由表格可知，当 x=20.7 时，（x+8）826=2.31，当 x=20.8 时，（x+8）826=3.44，故（x+8）826=0 时，20.7x20.8，故选 C【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出 所求问题需要的条件 二、填空题（本题 满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9（3 分）计算：=2 【分析】首先化简二次根式，进而求出答案【解答】解：原式=2 故答案为：2【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关 键 10（3 分）“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查 了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数 量根据得到的调查数据，绘制成如图所示的扇形统计图若本次活动共有 12000 名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有 2400 名 第 13 页（共 31 页）2 2 2 2 2 【分析】根据样本中选择红色运动衫的人数占总数的百分比，据此可估计总体 中选择红色运动衫的人数占总数的百分比近似相等，列式计算即可【解答】解：若本次活动共有 12000 名参与者，则估计其中选择红色运动衫的 约有 1200020%=2400（名），故答案为：2400【点评】本题主要考查扇形统计图及用样本估计总体，熟知样本中某一项目 的 百分比与总体中同一项目的百分比近似相等是解题的关键 11（3 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，若BCD=28，则 ABD=62 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到ACB=90，求出BCD，根据圆周 角定理解答即可【解答】解：AB 是O 的直径，ACB=90，BCD=28，ACD=62，由圆周角定理得，ABD=ACD=62，故答案为：62【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同 弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键 第 14 页（共 31 页）12（3 分）已知二次函数 y=3x+c 与正比例函数 y=4x 的图象只有一个交点，则 c 的值为 【分析】将一次函数解析式代入到二次函数解析式中，得出关于 x 的一元二次 方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根 的判别式即可得出关于 c 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：将正比例函数 y=4x 代入到二次函数 y=3x+c 中，得：4x=3x+c，即 3x 4x+c=0 两函数图象只有一个交点，方程 3x 4x+c=0 有两个相等的实数根，=（4）43c=0，解得：c=故答案为：【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据函数图象的交点个数得出 方程根的个数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数交 点的个数结合根的判别式得出不等式（或方程）是关键 13（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上 一点，CE=5，F 为 DE 的中点若CEF 的周长为 18，则 OF 的长为 【分析】先根据直角三角形的性质求出 DE 的长，再由勾股定理得出 CD 的长，进而可得出 BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论【解答】解：CE=5，CEF 的周长为 18，CF+EF=185=13 第 15 页（共 31 页）2 2 2 2 2 2 F 为 DE 的中点，DF=EF BCD=90，CF=DE，EF=CF=DE=6.5，DE=2EF=13，CD=12 四边形 ABCD 是正方形，BC=CD=12，O 为 BD 的中点，OF 是BDE 的中位线，OF=（BCCE）=（125）=故答案为：【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位 线定理等知识，难度适中 14（3 分）如图，以边长为 20cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上 分别截取 4cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有 两个直角的四边形把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三 角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 144 cm 【分析】由题意得出ABC 为等边三角形，OPQ 为等边三角形，得出 A=B=C=60，AB=BC=ACPOQ=60，连结 AO，作 QMOP 于 M，在 第 16 页（共 31 页）3 【分析】首先作出ACB 的平分线 CD，再截取 CO=a 得出圆心 O，作 OECA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可【解答】解：作ACB 的平分线 CD，在 CD 上截取 CO=a，作 OECA 于 E，以 O 为圆心，OE 长为半径作圆；如图所示：O 即为所求 【点评】本题考查了作图复杂 作图、角平 分线的性质、切线的判定；熟练掌握 角平分线的作图，找出圆心 O 是解决问题的关键 四、解答题（本题 满分 74 分，共有 9 道小题）16（8 分）（1）化简：（2）解不等式组 ，并写出它的整数解 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式 组的解集，确定出整数解即可 【解答】解：（1）原式=（2），由得：x1，由得：x2，第 18 页（共 31 页）；则不等式组的解集为2 x1，则不等式组的整数解为1，0，1【点评】此题考查了分式的加减法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算 法则是解本题的关键 17（6 分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分 成面积相等的几个扇形转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于 2，则小 明胜，否则小亮胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【分析】首先依据题先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公 式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相 等即可【解答】解：这个游戏对双方是公平的 列表得：一共有 6 种情况，积大于 2 的有 3 种，P（积大于 2）=，这个游戏对双方是公平的【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可 以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获 胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平 18（6 分）如图，AB 是长为 10m，倾斜角为 37的自动扶梯，平台 BD 与大楼 CE 垂直，且与扶梯 AB 的长度相等，在 B 处测得大楼顶部 C 的仰角为 65，求大 第 19 页（共 31 页）楼 CE 的高度（结果保留整数）（参考数据：sin37，tan37，sin65，tan65）【分析】作 BFAE 于点 F则 BF=DE，在直角ABF 中利用三角函数求得 BF 的 长，在直角CDB 中利用三角函数求得 CD 的长，则 CE 即可求得【解答】解：作 BFAE 于点 F则 BF=DE 在直角ABF 中，sinBAF=在直角CDB 中，tanCBD=，则 BF=ABsinBAF=10=6（m），则 CD=BD tan65=10 21（m）则 CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27（m）答：大楼 CE 的高度是 27m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度 19（6 分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：第 20 页（共 31 页）根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 c（1）写出表格中 a，b，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩若选 派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到 大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差 的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析【解答】解：（1）甲的平均成绩 a=7（环），乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，乙射击成绩的中位数 b=7.5（环），其方差 c=（37）+（47）+（67）+2（77）+3（87）+（97）+（107）=（16+9+1+3+4+9）=4.2；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为 7 环，从中位数看甲射中 7 环以 上的次数小于乙，从众数看甲射中 7 环的次数最多而乙射中 8 环的次数最多，第 21 页（共 31 页）2 2 2 2 2 2 2 从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得 高分的可能更大【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运 用熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合 分析 20（8 分）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直 角坐标系，最左边的抛物线可以用 y=ax+bx（a0）表示已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为 m，到墙边 OA 的距离分别为 m，m （1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（2）若该墙的长度为 10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？【分析】（1）根据题意求得 B（，），C（，），解 方程组求得拋物线的函 数关系式为 y=x+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；（2）令 y=0，即x+2x=0，解方程得到 x1=0，x2=2，即可得到结论【解答】解：（1）根据题意得：B（，），C（，），把 B，C 代入 y=ax+bx 得，解得：，拋物线的函数关系式为 y=x+2x；图案最高点到地面的距离=1；第 22 页（共 31 页）2 2 2 2 2 （2）令 y=0，即x+2x=0，x1=0，x2=2，102=5，最多可以连续绘制 5 个这样的拋物线型图案【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正 确 的求出二次函数的解析式是解题的关键 21（8 分）已知：如图，在ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AE=CF，直线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 O（1）求证：ABECDF；（2）连接 DG，若 DG=BG，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，BAE=DCF，由 SAS 证明 ABECDF 即可；（2）由平行四边形的性质得出 ADBC，AD=BC，证出 DE=BF，得出四边形 BEDF 是平行四边形，得出 OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出 EFBD，即可得出四边形 BEDF 是菱形【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，BAE=DCF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（SAS）；（2）解：四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：第 23 页（共 31 页）2 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，DE=BF，四边形 BEDF 是平行四边形，OB=OD，DG=BG，EFBD，四边形 BEDF 是菱形 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判 定熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形 BEDF 是平行四边形是解决问题（2）的关键 22（10 分）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出据市场调查，若按每个玩具 280 元销售时，每月 可销售 300 个若销售单价每降低 1 元，每月可多售出 2 个据统计，每个玩 具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）满足如下关系：月产销量 y（个）160 200 240 300 每个玩具的固定成本 Q（元 60 48 40 32 （1）写出月产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）之间的函数关系式；第 24 页（共 31 页）（3）若每个玩具的固定成本为 30 元，则它占销售单价的几分之几？（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过 400 个，则每个玩具的固定成本至少为 多少元？销售单价最低为多少元？【分析】（1）设 y=kx+b，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可（2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本 Q（元）与月产销 量 y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设 Q=，由此即可解决问题（3）求出销售价即可解决问题（4）根据条件分别列出不等式即可解决问题【解答】解；（1）由于销售单价每降低 1 元，每月可多售出 2 个，所以月产销 量 y（个）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，不妨设 y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式，得 解得，产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 y=2x+860（2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本 Q（元）与月产销 量 y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设 Q=，将 Q=60，y=160 代入得到 m=9600，此时 Q=（3）当 Q=30 时，y=320，由（1）可知 y=2x+860，所以 x=270，即销售单价为 270 元，由于=，成本占销售价的 （4）若 y400，则 Q，即 Q24，固定成本至少是 24 元，4002x+860，解得 x230，即销售单价最低为 230 元 【点评】本题考查一次函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关 系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题 型 23（10 分）问题提出：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割 为一些 1x5 或 23 的矩形（axb 的矩形指边长分别为 a，b 的矩形）？第 25 页（共 31 页）问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的 问题 探究一：如图，当 n=5 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形 如图，当 n=6 时，可将正方形分割为六个 23 的矩形 如图，当 n=7 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形和四个 23 的矩形 如图，当 n=8 时，可将正方形分割为八个 15 的矩形和四个 23 的矩形 如图，当 n=9 时，可将正方形分割为九个 15 的矩形和六个 23 的矩形 探究二：当 n=10，11，12，13，14 时，分别将正方形按下列方式分割：所以，当 n=10，11，12，13，14 时，均可将正方形分割为一个 55 的正方形、一个（n5）（n5）的正方形和两个 5（n5）的矩形显然，55 的 正方形和 5（n5）的矩形均可分割为 15 的矩形，而（n5）（n5）的 正方形是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15 或 23 的矩形 探究三：当 n=15，16，17，18，19 时，分别将正方形按下列方式分割：请按照上面的方法，分别画出边长为 18，19 的正方形分割示意图 第 26 页（共 31 页）所以，当 n=15，16，17，18，19 时，均可将正方形分割为一个 1010 的正方 形、一个（n10）（n10）的正方形和两个 10（n10）的矩形显然，1010 的正方形和 10（n10）的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而（n10）（n10）的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方 法可分割为一些 15 或 23 的矩形 问题解决：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明 实际应用：如何将边长为 61 的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形？（只需 按照探究三的方法画出分割示意图即可）【分析】先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，由此把要解决问题转化为已经解决的问题，即可解决问题【解答】解：探究三：边长为 18，19 的正方形分割示意图，如图所示，问题解决：若 5n10 时，如探究一 若 n10，设 n=5a+b，其中 a、b 为正整数，5b10，则图形如图所示，均可将正方形分割为一个 5a5a 的正方形、一个 bb 的正方形和两个 5ab 的矩形显然，5a5a 的正方形和 5ab 的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而 bb 的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分 割为一些 15 或 23 的矩形即可 问题解决：边长为 61 的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形，如图所示，【点评】本题考查四边形综合题、探究类题目，解题的思想是从简单的问题 开 第 27 页（共 31 页）始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，学会这种解题思想，属于中 考压轴题，创新性题目 24（12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，对角线 AC，BD 交于点 0点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同 时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运 动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F设运动时间为 t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？（2）设五边形 OECQF 的面积为 S（cm），试 确定 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S 五边形 S 五边形 OECQF：S ACD=9：16？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到 AC=10，当 AP=PO=t，如图 1，过 P 作 PMAO，根据相似三角形的性质得到 AP=t=，当 AP=AO=t=5，于 是得到结论；（2）过点 O 作 OHBC 交 BC 于点 H，已知 BE=PD，则可求BOE 的面积；可 证得DFQDOC，由相似三角形的面积比可求得DFQ 的面积，从而可求五 边形 OECQF 的面积（3）根据题意列方程得到 t=，t=0，（不 合题意，舍去），于 是得到结论；（4）由角平分线的性质得到 DM=DN=，根据勾股定理得到 ON=OM=，由三角形的面积公式得到 OP=5 t，根据勾股定理列方程即可 2 第 28 页（共 31 页）得到结论【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10，当 AP=PO=t，如图 1，过 P 作 PMAO，AM=AO=，PMA=ADC=90，PAM=CAD，APMACD，AP=t=，当 AP=AO=t=5，当 t 为 或 5 时，AOP 是等腰三角形；（2）过点 O 作 OHBC 交 BC 于点 H，则 OH=CD=AB=3cm 由矩形的性质可知PDO=EBO，DO=BO，又得DOP=BOE，DOPBOE，BE=PD=8t，则 SBOE=BEOH=3（8t）=12 t FQAC，DFQDOC，相似比为 =，=S DOC =S 矩形 ABCD =68=12cm，S DFQ =12 =2 第 29 页（共 31 页）S 五边形 OECQF=S DBC S BOE S DFQ=68（12 t）=t+t+12；S 与 t 的函数关系式为 S=t+t+12；（3）存在，S ACD=68=24，S 五边形 OECQF ：S ACD =（t+t+12）：24=9：16，解得 t=3，或 t=，t=3 或 时，S 五边形 S 五边形 OECQF：SACD=9：16；（4）如图 3，过 D 作 DMPE 于 M，DNAC 于 N，POD=COD，DM=DN=，ON=OM=，OPDM=3PD，OP=5 t，PM=t，PD=PM+DM，（8t）=（t）+（），解得：t=16（不合题意，舍去），t=，当 t=时，OD 平分COP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 第 30 页（共 31 页）【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 第 31 页（共 31 页）