立体图形中的最短路程问题教学设计.pdf

1 1 勾股定理的应用 -立体图形中的最短路程问题 一、内容和内容解析 1、内容 利用勾股定理解决立体图形中两点的最短路程问题.2、内容解析 勾股定理的应用特别广泛，而利用勾股定理来解决立体图形中两点的最短路程问题是本章中常常遇到的一种类型题.这类问题可以通过将立体图形展开，转化为平面图形，进而利用“线段公理”和“勾股定理”来解决问题.本节课的探究是从研究现实生活中人们常常喜欢走“捷径”这样一个平面问题展开的，进而引导学生探究两点沿“曲面”和“折面”的最短路程的解法，探究的过程要体现从“特殊到一般”的研究方法，同时让学生感受“转化与化归”的数学思想在解决实际问题中的重要作用.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究立体图形展开为平面图形的方法，并学会利用线段公理和勾股定理求出最短路程.二、目标和目标解析 1、目标 （1）经历立体图形转化为平面图形的探究过程，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的,感受从特殊到一般的研究方法，培养学生的动手能力和空间想象能力，使学生能够实现从感性认识到理性认识的飞跃.(2)学会利用“线段公理”和“勾股定理”找到并求出立体图形中两点的最短路程，明确“转化与化归”的数学思想是我们解决此类问题的基本思想方法.2、目标解析 目标（1）要求学生动手实践，利用长方形纸片围成圆柱的侧面，探究两点在“曲面”上的最短路程的解法，进而总结出等距离绕圆柱 n 周的规律方法；对于两点沿“折面”的最短路程，先从特殊的长方体-正方体入手，研究它的各种展开情况，再顺势研究一般的长方体的展开情况，培养学生的空间想象能力,让学生感受从特殊到一般的研究问题的方法，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的。目标（2）要求学生在前面展开图的基础上找到两点之间的最短路程，并能够构造直角三角形，利用勾股定理计算出最短路程，体会解决此类问题的方法.三、教学问题诊断分析 在初一上学期学生已经学过线段公理，知道在平面内，可以利用“两点之间，线段最短”来找到两点之间的最短路程，进而求出这两点的最短距离。但是如果两个点沿着同一曲面或沿着不同折面的最短路程的求法，就涉及到在空间中立体图形的一个平面展开问题.然而，由于初二学生只学习了简单的平面图形，对于立体图形受知识结构和认知能力的限制，空间想象能力比较差，所以解决这一问题就有较大的难度。因此，教师在授课过程中要引导学生亲自动手实践，提升感性认识，理解立体图形和平面图形相互转化的过程，进而解决两点沿“曲面”和“折面”的最短路程问题。基于以上分析，本节课的教学难点是：怎样引导学生学会将立体图形展开为平面图形，确定两点沿“曲面”和“折面”的最短路程。四、教学支持条件分析 1、师生利用自制教具-圆柱、正方体、长方体、圆锥等，亲身感受立体图形和平面图形相互转化的过程，提升了空间想象能力，为学生从感性认识上升到理性认识奠定了基础；2、借助多媒体课件，动态演示圆柱体，正方体和长方体的平面展开过程，进一步验证将立体图形展开为平面图形的方法，使学生实现了从感性认识到理性认识的飞跃.五、教学过程设计 1 2 1、回顾旧知，引发思考 引言：前面我们学习了勾股定理的有关知识，今天我们就利用勾股定理解决一类实际问题-立体图形中的最短路程问题.让我们先来看一个简单的问题.有一个长方形花圃,有人避开拐角在花园内走出了一条小路.问:这么走的理论依据是什么?他们仅仅少走了多少步?(假设 2 步为 1 米)师生活动：教师利用课件展示实际问题，并抽象出几何模型，引导学生回答问题。学生通过分析回答问题，并说明其理论依据。追问：在平面内，两点之间的最短距离就是连接两点的线段长度.若两点在曲面或折面上，那么这两点沿曲面和折面的最短路程又应该如何求呢？设计意图：借助多媒体课件展示生活中一个常见的走“捷径”问题，使学生回忆起初一学习过的“线段公理”，并利用“勾股定理”计算出最短路程，为后面求立体图形中两点间的最短路程奠定基础.随后的追问，目的是引导学生进一步深入思考，激发学生的求知欲和好奇心.2、层层递进，探究新知 活动一:如图有一个圆柱,底面周长是 18 米,高为 12 米.在它的下底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，绕圆柱侧面爬行的最短路程是多少？师生活动：多媒体展示问题.教师首先启发学生动手利用长方形纸片围成圆柱体，观察圆柱的侧面是曲面而不是平面，并强调点 A 和点 B 在圆柱侧面的具体位置，提问若蚂蚁从点 A沿圆柱侧面到点 B 所走的最短路程如何求？学生回答将圆柱侧面展开成平面图形，再利用“线段公理”和“勾股定理”解决问题.教师让学生画出平面展开图，计算最短路程并展示.教师再利用多媒体展示圆柱的侧面展开过程，验证学生的方法的正确性.设计意图：教师引导学生自制圆柱,并观察圆柱的侧面是曲面,目的是增强学生的感性认识，避免在空间直接连接点 A 和点 B 的这种“空中飞人”的情况出现.学生亲身经历动手画图计算并展示的过程，提高了学习的兴趣.教师利用多媒体验证学生的方法的正确性，进一步增强了学习的自信心.变式一 如图，若上述问题中点 B 在点 A 的正上方，蚂蚁绕圆柱侧面爬行的最短路程是多少？1 3 师生活动：教师将上述问题变化，将点 B 改为在 A 点的正上方，求蚂蚁依然绕圆柱侧面爬行的最短路程.学生在解决上述问题的基础上，画出平面展开图，计算出最短路程并展示.教师再利用多媒体验证其正确性.设计意图：通过此问题，进一步加深学生对两点沿“曲面”的最短路程的解决方法，依然需要将立体图形展开为平面图形再求解.变式二 若 B 在点 A 的正上方，蚂蚁绕圆柱侧面等距爬行两周，此时所走的最短路程是多少？等距爬行三周呢？n 周呢？师生活动：教师总结前面两个问题:一个是蚂蚁绕圆柱爬行半周，一个是蚂蚁绕圆柱爬行一周，在此基础上进一步引导学生，如何求蚂蚁绕圆柱等距离爬行两周或三周所走的最短路程?学生利用自制圆柱分组进行研究讨论交流，画出平面展开图形，计算并展示.教师也利用自制教具和多媒体课件分别演示，验证学生结果的正确性.设计意图：通过此问题，引导学生向纵深方向思考问题，学会质疑，并寻找解决问题的方法，提高学生自身分析解决问题的能力.追问：若蚂蚁绕圆柱等距离爬行 n 周，所走的最短路程又应该如何求？师生活动：教师提出问题后，学生根据前面问题解决的方法，探究规律，回答出 n 周所走的最短路程.设计意图：拓展学生的思维，培养学生归纳总结的能力.练一练 如图，有一个圆柱,底面周长是 10 厘米,高为 14 厘米.在距离下底面 1 厘米的 A 点有一只蚂蚁，它想吃到距离上底面 1 厘米且与 A 点相对的 B 点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？师生活动：教师利用多媒体课件展示问题，学生独立思考，画图，计算并展示.设计意图：检验学生对前面所学知识的理解和掌握情况，学以致用.3、发散思维，探究新知 活动二 如图，已知正方体棱长为 2 厘米，有一只小虫欲沿正方体表面从 A 点到其对面的 C点觅食，所走的最短路程是多少？1 4 师生活动：两点沿“曲面”的最短路程可以通过展开成平面图形去解决，那么两点沿“折面”的最短路程又应该怎样解决呢？教师利用多媒体展示正方体的几何图形，引导学生观察点 A 和点 C,分别在正方体那些面上，然后师生利用自制教具探究从 A 点到 C,点沿正方体表面的不同展开方法.学生到黑板上画出六种展开图，并计算最短路程.教师引导学生观察分析，得出结论.设计意图：通过探究特殊的长方体-正方体的平面展开方法，让学生感受沿“折面”上的两点最短路程的求法要先将“折面”展开成平面，才能计算出最短路程，提高学生的感性认识，明确解决这类问题的方法，为后面解决一般长方体表面两点间的最短路程问题奠定基础.追问：若正方体的棱长为 3cm 时，点 A 到 C，的最短路程是多少？4cm 时呢？acm 时呢？设计意图：通过层层质疑，引导学生发现规律，总结规律.发现：若正方体的棱长为 a，则沿正方体表面从点 A 到点 C所走的最短路程是a5。变式 如图，有一个长方体，其长，宽，高分别为 5 厘米，4 厘米和 3 厘米。若沿长方体表面从 A 到 C,所走的最短路程是多少？师生活动:在前面问题的基础上，教师将正方体改为长方体，引导学生发现长方形的展开方法，鼓励学生求出最短路程.学生独立思考，分组讨论交流，展示并讲解.设计意图：通过对一般长方体的研究，进一步深入挖掘解决两点沿“折面”的最短路程的方法，提升学生的理性认识，为后面发现总结规律奠定基础.追问:若长方体的棱长分别为 1cm,2cm,3cm,此时点 A 到点 C的最短路程是多少？棱长为6cm,7cm,12cm 时呢？棱长为 a,b,c（其中 abc）时呢？设计意图：通过几组其他棱长的验证，最终让学生接受并总结出规律.发现:若长方体的长，宽，高分别为 a 厘米，b 厘米和 c 厘米，且 abc,则沿长方体表面从点 A 到点 C所走的最短路程是22)(cba.练一练 如图，一个长方体盒子，其中 AB=9，BC=6，BB=5，在线段 AB 的三等分点（靠近 A处）E 处有一只蚂蚁，在线段 BC的中点 F 处有一粒米，则蚂蚁沿长方体表面从点 E 爬行到米粒 F 处的最短距离是多少？1 5 师生活动:教师利用多媒体课件展示问题，学生独立思考，画图，计算并展示不同方法.设计意图:检验学生对前面所学知识和规律的掌握情况.学生用多种方法解决问题，拓展学生的思维.4、整理知识，优化结构 归纳总结 解决立体图形中的最短路程问题的方法:(1)要将立体图形转化为平面图形；(2)利用”勾股定理”和”两点之间线段最短公理”来解决问题；(3)对于长方体，若其棱长满足 abc，则不在同一平面两点最短路程为2+(+)2 师生活动：师生共同回顾本节课内容，归纳总结立体图形中两点间的最短路程的解决方法.设计意图：通过小结，总结规律方法，优化学生的知识结构，使学生实现理性认识的飞跃.5、布置作业，拓展思维 （1）如图，一个圆柱形玻璃容器，高 10 厘米，底面周长为 30 厘米。在外侧距离下底面 3 厘米的点 S 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上底内侧距离开口处 1 厘米的点 F 处有食物，求这只蚂蚁要吃到食物所走的最短路程是多少？设计意图：将两点沿“曲面”和“折面”的最短路程问题综合到一起，进一步训练学生的思维，提升学生分析解决问题的能力.（2）如图，已知圆锥的母线长为 OA=8 厘米，底面圆的半径 r=2 厘米，若一只小虫从 A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路程是多少？设计意图：设计不同类型的立体图形，拓展学生的思维，培养学生发散思维的能力，让学生感受“万变不离其宗”的道理.1 6 六、目标检测设计 1、如图，在棱长为 10 厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 秒内从A爬到B？（5 2.236）设计意图：考察立体图形中两点沿“折面”的最短路程的解决方法.2、如图所示，有一根高为 2.1m的木柱，它的底面周长为 40cm，在准备元旦联欢晚会时为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕 7 圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少多长？设计意图：考察立体图形中两点沿“曲面”的最短路程的解决方法.3、如图为一个矩形场地，AB=2m,AD=1m,如图堆放着一根长方体的木块，木块的棱EF与矩形场地的边AD 平行，且木块的正视图是边长为 0.2m的正方形，一只蚂蚁从A处到达C处需要走的最短路程是多米（精确 0.1m）设计意图：综合考察立体图形和平面图形中两点的最短路程的解决方法.B B A