考研数学公式定律介绍文本随身看.doc

''目目 录录一、高等数学.1 (一) 函数、极限、连续.1 (二) 一元函数微分学.5 (三)一元函数积分学.13 (四) 向量代数和空间解析几何.20 (五)多元函数微分学.29 (六)多元函数积分学.35 (七)无穷级数.40 (八)常微分方程.48 二、线性代数.53 (一) 行列式.53 (二)矩阵.54 (三) 向量.57 (四)线性方程组.60 (五)矩阵的特征值和特征向量.62 (六)二次型.63 三、概率论与数理统计.66 (一)随机事件和概率.66 (二)随机变量及其概率分布.70 (三)多维随机变量及其分布.72 (四)随机变量的数字特征.75 (五)大数定律和中心极限定理.78 (六)数理统计的基本概念.79 (七)参数估计.81 (八)假设检验.84 经常用到的初等数学公式.86 平面几何.91''一、高等数学一、高等数学(一一) 函数、极限、连续函数、极限、连续考试内容考试内容公式、定理、概念公式、定理、概念函数和隐函数和隐 函数函数函数：设有两个变量和，变量的定义域为，如果xyxD对于中的每一个值，按照一定的法则，变量Dx有一个确定的值与之对应，则称变量为变量yy的函数，记作：x yf x基本初等基本初等 函数的性函数的性 质及其图质及其图 形，初等形，初等 函数，函函数，函 数关系的数关系的 建立：建立：基本初等函数包括五类函数:1 幂函数:;yxR2 指数函数(且);xya0a 1a 3 对数函数:( 且);logayx0a 1a 4 三角函数:如等;sin ,cos ,tanyx yx yx5 反三角函数:如等.arcsin ,arccos ,arctanyx yx yx初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算C与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. 数列极限数列极限 与函数极与函数极 限的定义限的定义 及其性质，及其性质， 函数的左函数的左1000lim( )()() xxf xAfxfxA2000lim( )()( ),lim ( )0 xxxxf xAf xAa xa x 其中''极限与右极限与右 极限极限3(保号定理保号定理),0lim( ),0(0),0 xxf xAAA 设又或则一个000(,),( )0( )0)xxxxxf xf x当且时，或无穷小和无穷小和 无穷大的无穷大的 概念及其概念及其 关系，无关系，无 穷小的性穷小的性 质及无穷质及无穷 小的比较小的比较lim)0,lim( )0xx设（( )(1)lim0,( )( )xxxx若则是比（高阶的无穷小，记为(x)=o( (x).( )(2)lim,( )( )xxxx 若则是比（低阶的无穷小，是同阶无穷小，是同阶无穷小，( )(3)lim(0),( )( )xc cxxx若则与（( )(4)lim1,( )( )xxxx若则与（是等价的无穷小，:记为(x)(x)( )(5)lim(0),0,( )( )kxc ckxxx若则是（的k阶无穷小0x 常用的等阶无穷小：当时sin arcsin tan,arctan ln(1)e1xx x xxx x :2111 cos2 1(1)1nxxxxn:无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小''Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四极限的四 则运算则运算lim( ),lim ( ).f xAg xB则(1)；lim( ( )( )f xg xAB；(2)lim( ) ( )f x g xA B:( )(3)lim(0)( )f xABg xB极限存在极限存在 的两个准的两个准 则：单调则：单调 有界准则有界准则 和夹逼准和夹逼准 则，两个则，两个 重要极限：重要极限：1()( )( ),xxf xx0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（00lim( )lim ( ), xxxxxxA 且0lim( ) xxf xA 则2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限单调有界定理：单调有界的数列必有极限3 两个重要极限：两个重要极限： 0sin(1)lim1 xx x10(2)lim(1)exxx 重要公式：重要公式：001 011 1 011,lim0,nn nn mmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm 4 几个常用极限特例lim1,nnn lim arctan2xxlim arctan2xx lim arccot0, xx ''lim arccot xx lim e0,xxlim e,xx 0lim1,xxx 函数连续函数连续 的概念：的概念： 函数间断函数间断 点的类点的类 型：初等型：初等 函数的连函数的连 续性：闭续性：闭 区间上连区间上连 续函数的续函数的 性质性质连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数在上连续,则 f x, a b f x在上有界,即常数，对任意的,恒有 , a b0M ,xa b. f xM(2) (最值定理)设函数在上连续,则在上 f x, a b, a b至少取得最大值与最小值各一次,即使得: f x, ； max, a x bff xa b . min, a x bff xa b (3) (介值定理)若函数在上连续,是介于与 f x, a b f a(或最大值与最小值)之间的任一实数,则在 f bMm, a b上至少一个,使得 .fab(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连 f x, a b续,且,则在内至少一个,使得 0f af b, a b'' 0.fab(二二) 一元函数微分学一元函数微分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念导数和微导数和微 分的概念分的概念 左右导数左右导数 导数的几导数的几 何意义和何意义和 物理意义物理意义1：（1） 导数定义00 00()()'()lim xf xxf xfxx : :或或 （2）00 0 0( )()'()lim xxf xf xfxxx2 函数在处的左、右导数分别定义为：( )f x0x左导数：0000 0000()()( )()()limlim,() xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx 右导数： 0000 000()()( )()()limlim xxxf xxf xf xf xfxxxx 函数的可函数的可 导性与连导性与连 续性之间续性之间 的关系，的关系， 平面曲线平面曲线 的切线和的切线和 法线法线Th1: 函数在处可微在处可导( )f x0x( )f x0xTh2: 若函数在点处可导，则在点处( )yf x0x( )yf x0x连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导. Th3: 存在0()fx00()()fxfx00( )( )(,)f xxxf xM xy0设函数在处可导，则在处的000000 0-'()() 1-(),'()0.'()y yfxxxy yxxfxfx 切线方程：法线方程: ''导数和微导数和微 分的四则分的四则 运算，初运算，初 等函数的等函数的 导数，导数，四则运算法则:设函数，在点可导则( )uu x( )vv xx(1) ()uvuv()d uvdudv (2) ()uvuvvu()d uvudvvdu(3) 2( )(0)uvuuvvvv 2( )uvduudvdvv基本导数与微分表 (1) （常数） yc0y 0dy (2) (为实数) yx1yx 1dyxdx(3) xyalnxyaa lnxdyaadx特例 (e )exx (e )exxddx(4) 1 lnyxa 1 lndydxxa特例 lnyx1(ln )xx 1(ln )dxdxx(5) sinyxcosyx (sin )cosdxxdx (6) cosyxsinyx (cos )sindxxdx (7) tanyx2 21seccosyxx 2(tan )secdxxdx(8) cotyx2 21cscsinyxx 2(cot )cscdxxdx (9) secyxsec tanyxx (sec )sec tandxxxdx (10) cscyxcsc cotyxx (csc )csc cotdxxxdx (11) arcsinyx 211y x 21(arcsin ) 1dxdx x (12) arccosyx 211y x 21(arccos ) 1dxdx x ''(13) arctanyx21 1yx 21(arctan )1dxdxx(14) arccotyx21 1yx 21(arccot )1dxdxx (15) yshxychx ()d shxchxdx (16) ychxyshx ()d chxshxdx复合函数，复合函数， 反函数，反函数， 隐函数以隐函数以 及参数方及参数方 程所确定程所确定 的函数的的函数的 微分微分 法，法，1 反函数的运算法则: 设在点的某邻域内单调连( )yf xx续，在点处可导且，则其反函数在点所对应x( )0fxx的处可导，并且有y1dy dxdx dy2 复合函数的运算法则:若在点可导,而( )xx( )yf在对应点()可导,则复合函数在点可( )x( ( )yfxx导,且( )( )yfx3 隐函数导数的求法一般有三种方法：dy dx(1)方程两边对求导，要记住是的函数，则的函数xyxy 是的复合函数.例如，等均是的复合函数.x1 y2yln yeyx对求导应按复合函数连锁法则做.x(2)公式法.由知 ,其中，( , )0F x y ( , ) ( , )xyF x ydy dxF x y ( , )xF x y''分别表示对和的偏导数( , )yF x y( , )F x yxy(3)利用微分形式不变性高阶导数，高阶导数， 一阶微分一阶微分 形式的不形式的不 变性，变性，常用高阶导数公式（1）( )( )()ln(0)(e )exnxnxnxaaaa（2）( )(sin)sin()2nnkxkkxn（3）( )(cos)cos()2nnkxkkxn（4）( )()(1)(1)mnm-nxm m-m-n+x（5）( )(1)(1)!(ln )( 1)nn nnxx （6）莱布尼兹公式：若均阶可导，则( )( )u x ,v xn，其中，( )( )()0()n niin-i n i=uvc u v(0)u= u(0)v= v微分中值微分中值 定理，必定理，必 达法则，达法则， 泰勒公式泰勒公式Th1(费马定理)若函数满足条件：( )f x(1)函数在的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒( )f x0x有 或,0( )()f xf x0( )()f xf x(2) 在处可导,则有 ( )f x0x0()0fxTh2 (罗尔定理) 设函数满足条件：( )f x''(1)在闭区间上连续； , a b(2)在内可导，则在内一个，使 ( , )a b( , )a b( )0fTh3 (拉格朗日中值定理) 设函数满足条件：( )f x(1)在上连续；(2)在内可导；则在内一 , a b( , )a b( , )a b个，使 ( )( )( )f bf afbaTh4 (柯西中值定理) 设函数，满足条件：( )f x( )g x(1)在上连续；(2)在内可导且，均存 , a b( , )a b( )fx( )g x在，且则在内一个，使 ( )0g x( , )a b( )( )( ) ( )( )( )f bf af g bg ag 洛必达法则：法则 (型)设函数满足条件：0 0 ,f xg x; 在的邻域内可导 00lim0, lim0 xxxxf xg x ,f xg x0x(在处可除外)且;存在(或).则0x 0gx 0lim xxfxgx 00limlim. xxxxf xfxg xgx''法则 (型)设函数满足条件：I0 0 ,f xg x;一个,当 lim0,lim0 xxf xg x 0X xX时,可导,且;存在(或).则 ,f xg x 0gx 0lim xxfxgx 00limlim. xxxxf xfxg xgx法则(型) 设函数满足条件： ,f xg x; 在 的邻域内可 00lim, lim xxxxf xg x ,f xg x0x导(在处可除外)且;存在(或).则0x 0gx 0lim xxfxgx同理法则(型)仿法则可写出 00limlim. xxxxf xfxg xgxII I泰勒公式: 设函数在点处的某邻域内具有阶导( )f x0x1n数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少0xx0xx一个，使得2 000001( )()()()()()2!f xf xfxxxfxxx''( ) 0 0()()( )!n n nfxxxR xn其中 称为在点处的(1) 1 0( )( )()(1)!n n nfRxxxn ( )f x0x阶泰勒余项.令，则阶泰勒公式n00x n( ) 21(0)( )(0)(0)(0)( )2!n n nff xffxfxxRxn(1)其中 ，在 0 与之间.(1)式称为麦(1) 1( )( )(1)!n n nfR xxn x克劳林公式常用五种函数在处的泰勒公式00x 1 211e12!(1)!n xnxxxxenn 或 2111()2!nnxxxo xn 1 311sinsinsin()3!2(1)!2nnxnxnxxxnn或 31sin()3!2n nxnxxo xn1 211cos1coscos()2!2(1)!2nnxnxnxxnn 或 211cos()2!2n nxnxo xn ''1 231 111( 1)ln(1)( 1)23(1)(1)nnn n nxxxxxxnn 或 23111( 1)()23n nnxxxxo xn 2(1)(1)(1)(1)12!mnm mm mmnxmxxxn 或11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxn 2(1)(1)12!mm mxmxx (1)(1)()!nnm mmnxo xn函数单调函数单调 性的判别，性的判别， 函数的极函数的极 值，函数值，函数 的图形的的图形的 凹凸性，凹凸性， 拐点及渐拐点及渐 近线，用近线，用 函数图形函数图形 描绘函数描绘函数 最大值和最大值和 最小值，最小值，1 函数单调性的判断：Th1 设函数在区间内可导，如果对，( )f x( , )a b( , )xa b 都有（或） ，则函数在内是单'( )0fx '( )0fx ( )f x( , )a b调增加的（或单调减少）Th2 （取极值的必要条件）设函数在处可导，且在( )f x0x处取极值，则.0x0'()0fxTh3 （取极值的第一充分条件）设函数在的某一邻( )f x0x域内可微，且（或在处连续，但不0'()0fx( )f x0x0'()fx存在.）(1)若当经过时，由“+”变“-” ，则为极x0x'( )fx0()f x''大值；(2)若当经过时，由“-”变“+” ，则为极x0x'( )fx0()f x小值；(3)若经过的两侧不变号，则不是极值.'( )fx0xx0()f xTh4 (取极值的第二充分条件)设在点处有，( )f x0x''( )0fx 且，则 当时，为极大值；0'()0fx0''()0fx0()f x当时，为极小值.0''()0fx0()f x注：如果，此方法失效.0''()0fx 2 渐近线的求法：(1)水平渐近线 若，或，则lim( ) xf xb lim( ) xf xb yb称为函数的水平渐近线.( )yf x(2)铅直渐近线 若，或，则0lim( ) xxf x 0lim( ) xxf x 0xx称为的铅直渐近线.( )yf x''(3)斜渐近线 若，则( )lim,lim ( ) xxf xabf xaxx称为的斜渐近线yaxb( )yf x3 函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在 I 上（或） ，''( )0fx ''( )0fx 则在 I 上是凸的（或凹的）.( )f xTh2 (拐点的判别定理 1)若在处， （或不存0x''( )0fx ''( )fx在） ，当变动经过时，变号，则为拐点.x0x''( )fx00(,()xf xTh3 (拐点的判别定理 2)设在点的某邻域内有三阶( )f x0x导数，且，则为拐点''( )0fx '''( )0fx 00(,()xf x弧微分，弧微分， 曲率的概曲率的概 念，曲率念，曲率 半径半径1.弧微分：21'.dSy dx2.曲率：曲线在点处的曲率( )yf x( , )x y3 22''. (1' )yk y 对于参数方程( ),( )xt yt 3 222'( )''( )''( )'( ). ' ( )' ( )ttttk tt ''3.曲率半径：曲线在点处的曲率与曲线在点M(0)k k 处的曲率半径有如下关系：M1.k(三三)一元函数积分学一元函数积分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念原函数和原函数和 不定积分不定积分 的概念，的概念， 不定积分不定积分 的基本性的基本性 质质基本性质1 （为常数）( )( )kf x dxkf x dx0k 21212( )( )( )( )( )( )kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx3 求导： 或微分：( )'( )f x dxf x( )( )df x dxf x dx4或 （是任意常数）'( )( )F x dxF xC( )( )dF xF xCC基本积分基本积分 公式公式（） 11 1kkx dxxCk1k 211dxCxx 12dxxCx1lndxxCx(0,1)eelnx xxxaa dxCaadxCacossinsincosxdxxCxdxxC 2 21sectancosdxxdxxCx''2 21csccotsindxxdxxCx 1cscln csccotsindxxdxxxCx1secln sectancosdxxdxxxCxsec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx222arcsinarcsin 1dxxdxCxCaaxx 222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx2222lndxxxaC xa 重要公式重要公式 (1)( ), f xl l设在上连续，则0( )( )()lllf x dxf xfx dx00,2( ),lf xf x dxf x 当（）为奇函数当（）为偶函数2f xTa（）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则2 02( )( )( ).Ta TTTaf x dxf x dxf x dx222 01(3)4aax dxa''22 00131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnn : : :当为偶数当为奇数20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnm-（）20sincossincos0nxmxdxnxmxdx20,coscoscoscos00,nmnxmxdxnxmxdxnm定积分的定积分的 概念和基概念和基 本性质，本性质， 定积分中定积分中 值定理值定理1 定积分的基本性质定积分的基本性质(1)( )( )( )bbbaaaf x dxf t dtf u du定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)( )( )baabf x dxf x dx (3)badxba(4) ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(5)( )( )(bbaakf x dxkf x dx k为常数）(6)( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx(7)( )( ), , ,( )( ).bbaaf xg x xa bf x dxg x dx比较定理：设则( ) , ( )0;baf xxa bf x dx推论：1. 当0,时，''2.|( )|( )|bbaaf x dxf x dx(8)( ), , ,()( )()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba估值定理：设其中为常数，则(9)( ) , , ,( )() ( )baf xa ba bf x dxba f积分中值定理：设在上连续，则在上至少一个使1( )( )baff x dxba平均值公式积分上限积分上限 的函数及的函数及 其导数，其导数， 牛顿牛顿 莱布尼兹莱布尼兹 公式公式Th1( )xaf xabxabF xf t dtx设函数（）在，上连续，则变上限积分（）对可导'( )( )( )( )xaddFxF xf t dtf xdxdx且有( )( )( ),'( ) ( )'( ).xaF xf t dtFxfxx:推论1 设=则( )'( )( ) ( ) '( ) ( )'( )xxxf t dtfxxfxx:推论2 ( ( )( )''( ) ( )( ( )( )xxxxaaf t g x dtg xf t dt推论3( )'( )( )( ) ( )'( )xag xf t dtg x fxx:Th2( ),f xa bxa b设在 上连续， , 则( )( ) , xaf x dtf xa b是在上的一个原函数Th3( ),f xa b牛顿-莱布尼茨公式: 设在 上连续，( )F x''的原函数，则的原函数，则( )f x是( )( )|( )( )bb aaf x dxF xF bF a不定积分不定积分 和定积分和定积分 的换元积的换元积 分法与分分法与分 部积分法部积分法1 不定积分：不定积分：分部积分法：分部积分法：选择 u，dv 的原则：积分udvuvvdu容易者选作 dv，求导简单者选为 u换元积分法：换元积分法：( )( ),f u duF uC设 ( ) '( ) ( )( )fxx dxfx dx则( )( )( ) ( )uxf u duF uCFxC设2 定积分定积分换元法换元法:f xabxt设函数（）在，上连续，若（）满足：'( )0.tt(1) ( )在，上连续，且(2) ( )( ).aabt 并且当在，上变化时，则，则tab（）的值在，上变化( ) ( ) '( ).baf x dxftt dt分部积分公式分部积分公式 '( ), '( ),u xv xabu x v x设（），（）在，上具有连续导函数则( ) '( )( ) ( )|( ) '( )aaa bbbu x v x dxu x v xv x u x dx3 定积分不等式证明中常用的不等式定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2abab1(2)0,2aaa''(3)柯西不等式： 222( ) ( )( )( ),bbbaaaf x g x dxfx dxgx dxf xg xab:其中（），（）在，上连续1 三角函数代换三角函数代换函数含根式( )f x所作代换三角形示意图22axsinxat22axtanxat22xasecxat有理函数，有理函数， 三角函数三角函数 的有理式的有理式 和简单无和简单无 理函数的理函数的 积分，广积分，广 义积分和义积分和 定积分的定积分的 应应 用用有理函数积分有理函数积分(1)ln |AdxAxaCxa11(2)(1)()1()nnAAdxC nxanxa''2 222222424(3)4()()()24pxunnq pnadxdxdupqpxpxquax 令+221211(4)()()2(1) ()2()nnnxapdxdxaxpxqnxpxqxpxq （）240pq4 广义积分广义积分（1）无穷限的广义积分（无穷积分）无穷限的广义积分（无穷积分）f x设（）连续，则( )lim( )baabf x dxf x dx+.=( )lim( )baaf x dxf x dxb-2.=3.( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx（2）无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分）01.( )lim( ),( )bbaaf x dxf x dxxbf x 当时，02.( )lim( ),(bbaaf x dxf x dxxaf x 当时，（）00.( )lim( )lim( )(bcbaacf x dxf x dxf x dxxcf x 当时，（）'' (四四) 向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念向量的概 念，向量 的线性运 算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量的大小.记为.aa3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示，则 , , axiyjzkx y z222axyz4 向量的运算法则：加减运算 设有矢量，则111 ,ax y z 222,bxyz121212,.abxxyyzz.数乘运算 数乘运算矢量与一数量之积，aa设，则000,0,a aaaa aa 即与同向0=0, 即为零矢量-即与反向111 ,ax y z111,.axyz向量的数 量积和向 量积，向 量的混合 积，1 矢量的数积（点积，内积）：矢量与的数量积ab: cos,.a ba ba b设，则111 ,ax y z 222,bxyz121212.a bx xy yz z2 矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量与，若ab''一个矢量，满足如下条件c（1）；sin( , )ca ba b （2），即垂直于，所确定的平面；,ca cb cab（3），成右手系.则称矢量为矢量与的矢量abccab积，记.ca b设，则111 ,ax y z 222,bxyz111111 111 222222 222.ijkyzx zxya bxyzijkyzxzxyxyz 3 混合积：设有三个矢量，若先作，的叉积，, ,a b c aba b再与作点积，则这样的数积称为矢量，c()a bcab的混合积，记为，即c( , , )a b c( , , )().a b ca bc设，111 ,ax y z 222,bxyz333,cxy z则111222333( , , )xyza b cxyzxyz两向量垂两向量垂 直、平行直、平行 的条件，的条件， 两向量的两向量的 夹角，向夹角，向1 向量之间的位置关系及结论设，111 ,ax y z 222,bxyz333,cxy z''量的坐标量的坐标 表达式及表达式及 其运算，其运算， 单位向量，单位向量， 方向数与方向数与 方向余弦，方向余弦，（1）；12121200aba bx xy yz z （2）；111222/0xyzaba bxyz其中之中有一个为“0” ，如，应理解为222,xyz20x ；10x （3），不共线不全为零的数使；ab , 0ab