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中考数学专题复习统计与概率防城港市防城区那良中学 戚东雄统计与概率-第1节 抽样与数据分析知识归纳主要公式方法规律考点分析知识归纳1.统计的基本概念统计的基本概念（1）总体：我们把所要考察的对象的全体全体叫做总体.（2）个体：把组成总体的每一个每一个考察对象叫做个体.（3）样本：从总体中取出的一部分个体一部分个体叫做这个总体的一个样本.（4）样本容量：一个样本包括的个体数量个体数量叫做样本容量.注意：样本容量只是个数字，没有单位单位.（5）简单随机抽样：在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等相等的机会被抽到的抽样方法叫做简单随机抽样.2.统计的基本思想：用样本估计总体统计的基本思想：用样本估计总体（1）用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，这时，我们用频率分布直方图频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况.（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众众数数、中位数中位数、平均数平均数、方差方差与标准差标准差.（3）一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性代表性、容量越大越大，这时对总体的估计也就越精确精确.3.平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数（1）平均数：指在一组数据中所有数据之和之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势集中趋势的一项指标.（2）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数中间两个数据的平均数据的平均数就是这组数据的中位数.（3）众数：一组数据中出现次数最多最多的数据叫做众数.求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据的频数都是最多且相同，此时这几个数据都是众数.4.方差、标准差方差、标准差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的差的平方的平均数平均数，叫做这组数据的方差.（2）标准差：样本方差的算术平方根方差的算术平方根表示样本的标准差.（3）方差和标准差均可用于衡量数据的波动程度，它们的值越大，数据波动程度越大；值越小，数据程度波动越小.5.频数、频率频数、频率（1）频数：指每个对象出现的次数次数.（2）频率：指每个对象出现的次数与总次数的比值比值（或者百分比）.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量分量.主要公式方法规律1.中位数、众数的意义中位数、众数的意义（1）中位数代表了这组数据值大小的“中点中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.（2）中位数仅与数据的排列位置排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大变动较大时，可用中位数描述其趋势.（3）众数不易不易受数据中的极端值影响.众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势集中趋势的量.2.方差、标准差的意义方差、标准差的意义（1）方差是反映一组数据的波动程度的一个量.方差越大越大，则其与平均值的离散程度越大越大，稳定性越差越差；反之，则其与平均值的离散程度越小越小，稳定性越好越好.（2）标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最重要指标.标准差越大越大，则其与平均值的离散程度越大越大，稳定性越差越差；反之，则其与平均值的离散程度越小越小，稳定性越好越好.3.画频数画频数/频率分布直方图的步骤频率分布直方图的步骤 （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差.（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组）.（3）确定分点，将数据分组.（4）列频数/频率分布表.（5）绘制频数/频率分布直方图.应用举例考点考点1统计初步知识统计初步知识【例例1 1】今年我市有2万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中，下列说法：这2万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生是个体；1 5 宝宝生病后到底能不能使用抗生素？21万2017-05-30000名考生是总体的一个样本；样本容量是1 000.其中说法正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个D.1个思路点拨：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先要找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后根据样本确定出样本容量.解：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2 000名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，样本容量是2 000.故正确的是.答案：C 思路点拨：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先要找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后根据样本确定出样本容量.解：这2万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；1 000名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，样本容量是1 000.故正确的是.答案：C1.为了解某市参加中考的25 000名学生的身高情况，抽查了其中1 200名学生的身高进行统计分析.下列叙述正确的是（）A.25 000名学生是总体B.1 200名学生的身高是总体的一个样本C.每名学生是总体的一个个体D.以上调查是全面调查2.下列调查适合用普查方式的是（）A.调查我市市民的吸烟情况B.调查我市电视台某节目的收视率C.调查我市市民家庭日常生活支出情况D.调查我市某校某班学生对“文明防城港”的知晓率BD实战演练3.每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查.在这次调查中，样本（）A.500名学生B.所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况C.50名学生D.每一名学生对“世界读书日”的知晓情况4.某同学为了解该市火车站今年五一期间每天乘车的人数，随机抽查了其中五天的乘车人数，所抽查的这五天中每天乘车的人数是这个问题的（）A.总体B.个体C.样本D.以上都不对BB实战演练5.下列调查方式合适的是（）A.为了了解市民对电影南京的感受，小华在某校随机采访了8名九年级学生B.为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向3位好友做了调查C.为了了解“嫦娥一号”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式D.为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式C实战演练考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题，难度较低.解答本考点的有关题目，关键在于掌握样本、样本容量、个体、抽样等基本概念.注意以下要点：（1）样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目；（2）对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，而对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.应用举例：考点应用举例：考点2平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数【例例2 2】某公司的拓展部有五名员工，他们每月的工资分别是3 000元，4 000元，5 000元，7 000元和10 000元，那么他们工资的中位数是（）A.4 000元 B.5 000元C.7 000元 D.10 000元思路点拨：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数.解：从小到大排列此数据为3 000元，4 000元，5 000元，7 000元，10 000元，5 000元处在第3位为中位数，故他们工资的中位数是5 000元.答案：B考题再现考题再现1.一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（）A.2 B.4 C.5 D.62.在以下数据：75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A.75，80B.80，80 C.80，85D.80，90BB实战演练3.（2015茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：对于这20名同学的捐款，众数是（）A.20元B.50元C.80元 D.100元4.（2014汕尾）小明在射击训练中，五次命中的环数分别为5，7，6，6，6，则小明命中环数的众数为_，平均数为_.B66实战演练5.已知一组数据2，x，4，6的众数为4，则这组数据的平均数为（）A.3 B.4 C.5D.66.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A.中位数是4，平均数是3.75 B.众数是4，平均数是3.75C.中位数是4，平均数是3.8D.众数是2，平均数是3.8BC实战演练7.小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66，68，67，68，67，69，68，71，则这组数据的众数和中位数分别为（）A.67，68B.67，67C.68，68D.68，678.小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A.极差是2环 B.中位数是8环 C.众数是9环 D.平均数是9环CB实战演练考点点拨：考点点拨：本考点是中考的高频考点，题型一般为选择题，难度较低.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握平均数、中位数、众数的有关概念（相关要点详见“知识梳理”部分）.应用举例：考点应用举例：考点3方差、标准差方差、标准差【例例3 3】甲、乙两组数据（单位：cm）如下表：（1）根据以上数据填表：（2）那一组数据比较稳定？思路点拨：（1）根据平均数、众数的定义及方差公式 可得出答案；（2）根据方差的意义可得结论.答案：（1）1731730.61731731.8（2）因为两组数据的平均数相同，而甲组数据的方差更小，所以甲组数据比较稳定.1.甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（单位：环）及方差统计如下表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C实战演练2.两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A.众数B.中位数 C.方差D.以上都不对C实战演练3.一组数据x1，x2，xn的方差为 ，则数据5x1-2，5x2-2，5xn-2的方差为（）A.2B.1C.5D.84.学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表：请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是_.C乙乙实战演练考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握方差、标准差的计算公式和意义 （相关要点详见“知识梳理”部分）.应用举例：考点应用举例：考点4频数、频率、用样本估计总体频数、频率、用样本估计总体【例例4 4】关于体育选考项目的统计图表：（1）求出表中a，b，c的值，并将条形统计图（图1-7-1-1）补充完整.表中a=_，b=_，c=_.（2）如果有3万人参加体育选考，会有多少人选择篮球？思路点拨：（1）用C的频数除以频率求出a，用总数乘以B的频率求出c，用A的频数除以总数求出b，再补充统计图即可；（2）用总人数乘以A的频率即可.解：（1）2000.460补全条形统计图如图1-7-1-2：（2）30 0000.4=12 000（人）.答：如果有3万人参加体育选考，会有12 000人选择篮球.1.某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画4类），并将统计结果绘制成如下不完整的频数分布表及频数分布直方图（图1-7-1-4）.实战演练根据以上信息完成下列问题：（1）直接写出频数分布表中a的值；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1 500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人.解：（解：（1 1）140.28=50140.28=50（人），（人），a a=1850=0.36.=1850=0.36.（2 2）b b=500.20=10=500.20=10，补全频数分布直方图略，补全频数分布直方图略.（3 3）1 5000.28=4201 5000.28=420（人）（人）.答：若全校共有学生答：若全校共有学生1 5001 500名，估计该校最喜爱围棋的学生大名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有约有420420人人.2.某校为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，并将结果绘制成了如图1-7-1-5所示的频数分布直方图，则参加书法兴趣小组的频率是 （）A.0.1 B.0.15C.0.2 D.0.3C实战演练3.为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学生课外阅读情况，抽样调查了50名学生平均每天课外阅读时间（单位：分钟），将抽查得到的数据分成5组，下面是尚未完成的频数、频率分布表：实战演练（1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表；（2）请画出相应的频数分布直方图；（3）如果该校有1 500名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于50分钟？解：（解：（1 1）表中数据依次填：）表中数据依次填：8 80.400.4014140.120.122 20.040.04（2 2）作出条形统计图，如答图）作出条形统计图，如答图1-7-1-21-7-1-2所示所示.（3 3）根据题意，得）根据题意，得1 5001 500（0.28+0.12+0.040.28+0.12+0.04）=660=660（人）（人）.答：该校共有答：该校共有660660名学生平均每天阅读时间不少于名学生平均每天阅读时间不少于5050分钟分钟.考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握频数、频率的概念及计算方法，绘制频数（频率）直方图的方法与步骤，以及用样本估计总体的方法.注意以下要点：（1）频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量；（2）用样本估计总体的公式为：总数相应的频率.应用举例：考点应用举例：考点5统计图表的综合应用统计图表的综合应用【例例5 5】某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出如图1-7-1-6两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：（1）这次活动一共调查了_名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于_度；（4）若该学校有1 500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是_人.思路点拨：（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全统计图即可；（3）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360即可；（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可.解：（1）250（2）选择“篮球”的人数为：250-80-40-55=75（人）.补全条形统计图如图1-7-1-7.（3）108（4）4801.某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图1-7-1-8所示的不完整的统计图.实战演练（1）这次被调查的同学共有_名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人食用一餐.据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐.1 000解：（解：（2 2）剩少量的人数：）剩少量的人数：1 000-400-250-150=2001 000-400-250-150=200，补全条形，补全条形统计图略统计图略.（3 3）答：该校答：该校18 00018 000名学生一餐浪费的食物可供名学生一餐浪费的食物可供3 6003 600人食用一餐人食用一餐.2.为了解茂名某水果批发市场荔枝的销售情况，某部门对该市场的三种荔枝品种A，B，C在6月上半月的销售进行调查统计，绘制成如图1-7-1-9两个统计图（均不完整）.请你结合图中的信息，解答下列问题：实战演练（1）该市场6月上半月共销售这三种荔枝多少吨？（2）该市场某商场计划六月下半月进货A，B，C三种荔枝共500千克，根据该市场6月上半月的销售情况，求该商场应购进C品种荔枝多少千克比较合理.解：（解：（1 1）12030%=40012030%=400（吨）（吨）.答：该市场答：该市场6 6月上半月共销售这三种荔枝月上半月共销售这三种荔枝400400吨吨.（2 2）答：该商场应购进答：该商场应购进C C品种荔枝品种荔枝300300千克比较合理千克比较合理.3.某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A，B，C，D.根据调查结果绘制了如图1-7-1-10尚不完整的统计图.实战演练（1）本次问卷共随机调查了_名学生，扇形统计图中m=_；（2）请根据数据信息补全条形统计图；（3）若该校有1 000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人.5032解：（解：（2 2）5040%=205040%=20（人），补全条形统计图略（人），补全条形统计图略.（3 3）1 0001 000（16%+40%16%+40%）=560=560（人）（人）.答：估计选择答：估计选择“非常了解非常了解”“”“比较了解比较了解”共约有共约有560560人人.4.为落实省新课改精神，我市各校都开设了“知识拓展类”“体艺特长类”“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第6节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图1-7-1-11所示的统计图（部分信息未给出）.实战演练根据图中信息，解答下列问题：（1）求被调查学生的总人数；（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；（3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议.解：（解：（1 1）被调查学生的总人数为：）被调查学生的总人数为：1230%=401230%=40（人）（人）.（2 2）被调查参加）被调查参加C C舞蹈类的学生人数为：舞蹈类的学生人数为：4010%=44010%=4（人）（人）,被调查参加被调查参加E E棋类的学生人数为：棋类的学生人数为：40-12-10-4-6=840-12-10-4-6=8（人）（人）,200200名学生中参加棋类的学生人数为：名学生中参加棋类的学生人数为：200840=40200840=40（人）（人）.（3 3）因为参加）因为参加A A球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量.（建议合（建议合理即可）理即可）考点点拨：考点点拨：本考点是中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于仔细读题，弄清题意，从统计图表（如条形统计图、扇形统计图等）中得出相关信息，并按问题的要求解题即可.