2.8函数的连续性.ppt

上页下页返回返 回 2.6 2.6 函数的连续性函数的连续性一、变量的改变量一、变量的改变量二、连续函数的概念二、连续函数的概念三、函数的间断点三、函数的间断点四、连续函数的性质四、连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质上页下页返回返 回什么是连续函数什么是连续函数?直观感受直观感受:图象上的点都连在一起的函数叫作连图象上的点都连在一起的函数叫作连续函数续函数.直观描述直观描述:当自变量越来越接近时当自变量越来越接近时,其函数值也其函数值也越来越靠近的函数就是连续函数越来越靠近的函数就是连续函数.可惜的是可惜的是,上面这种定性描述的要求过强了些上面这种定性描述的要求过强了些,可以举出直观上连续的函数可以举出直观上连续的函数,但不满足上面的但不满足上面的要求要求.上页下页返回一、变量的改变量一、变量的改变量上页下页返回上页下页返回二、连续函数的概念二、连续函数的概念 定义定义1 1 设函数设函数 在点在点 的某领域内有定义的某领域内有定义,如果当自变量如果当自变量的改变量的改变量 趋向于零时趋向于零时,对应的函数的改变量对应的函数的改变量 也趋向于零也趋向于零,即即 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续,称称 为为 的连续点的连续点.上页下页返回例例2 2证证上页下页返回上页下页返回例例3 3证证上页下页返回上页下页返回例例4 4解解上页下页返回 如果函数在开区间如果函数在开区间(a,b)a,b)内每一点都连续内每一点都连续,则称函则称函数在在开区间数在在开区间(a,b)a,b)内连续内连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续函数的定义连续函数的定义上页下页返回三、函数的间断点三、函数的间断点上页下页返回上页下页返回注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.上页下页返回上页下页返回上页下页返回例如例如,四、连续函数的性质四、连续函数的性质1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算上页下页返回2.复合函数的连续性复合函数的连续性上页下页返回单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.3.反函数的连续性反函数的连续性上页下页返回三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.4.初等函数的连续性初等函数的连续性均在其定义域内连续均在其定义域内连续.基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.上页下页返回例例5 5例例6 6解解解解上页下页返回例例7 7解解例例8 8解解上页下页返回 定定理理(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定取得最大值和最小值取得最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质上页下页返回 定定理理(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该该区区间间上上有界有界.上页下页返回MCmab上页下页返回上页下页返回例例1010证证由零点定理由零点定理,