2018年厦门中考一模数学试卷与答案10797.pdf

第1页（共24页）2018 年厦门中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1（4 分）计算1+2，结果正确的是（）A1 B1 C2 D3 2（4 分）抛物线 yax2+2x+c 的对称轴是（）Ax Bx Cx Dx 3（4 分）如图，已知四边形 ABCD，延长 BC 到点 E，则DCE 的同位角是（）AA BB CDCB DD 4（4 分）某初中校学生会为了解 2017 年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（）A到学校图书馆调查学生借阅量 B对全校学生暑假课外阅读量进行调查 C对初三年级学生的课外阅读量进行调查 D在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 5（4 分）若 96785p，则 96784 的值可表示为（）Ap1 Bp85 Cp967 Dp 6（4 分）如图，在 RtACB 中，C90，A37，AC4，则 BC 的长约为（）（sin370.60，cos370.80，tan370.75）A2.4 B3.0 C3.2 D5.0 7（4 分）在同一条直线上依次有 A，B，C，D 四个点，若 CDBCAB，则下列结论正确的是（）AB 是线段 AC 的中点 BB 是线段 AD 的中点 第2页（共24页）CC 是线段 BD 的中点 DC 是线段 AD 的中点 8（4 分）把一些书分给几名同学，若_；若每人分 11 本，则不够依题意，设有 x名同学，可列不等式 9x+711x，则横线上的信息可以是（）A每人分 7 本，则可多分 9 个人 B每人分 7 本，则剩余 9 本 C每人分 9 本，则剩余 7 本 D其中一个人分 7 本，则其他同学每人可分 9 本 9（4 分）已知 a，b，c 都是实数，则关于三个不等式：ab，ab+c，c0 的逻辑关系的表述，下列正确的是（）A因为 ab+c，所以 ab，c0 B因为 ab+c，c0，所以 ab C因为 ab，ab+c，所以 c0 D因为 ab，c0，所以 ab+c 10（4 分）我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度比如，通过下列步骤可测量山的高度 PQ（如图）：（1）测量者在水平线上的 A 处竖立一根竹竿，沿射线 QA 方向走到 M 处，测得山顶 P、竹竿顶端 B 及 M 在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线 QA 上的 C 处，沿原方向继续走到 N 处，测得山顶 P、竹竿顶端 D 及 N 在一条直线上；（3）设竹竿与 AM，CN 的长分别为 l，a1，a2，可得公式：PQ+l 则上述公式中，d 表示的是（）AQA 的长 BAC 的长 CMN 的长 DQC 的长 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）分解因式：m22m 12（4 分）投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数为奇数的概率 第3页（共24页）是 13（4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是圆上两点，CDB45，AC1，则AB 的长为 14（4 分）A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30kg，A 型机器人搬运 900kg 所用时间与 B 型机器人搬运 600kg 所用时间相等设 B型机器人每小时搬运 xkg 化工原料，依题意，可列方程 15（4 分）已知 a+120002+20012，计算：16（4 分）在ABC 中，ABAC，将ABC 沿B 的平分线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，设折痕交 AC 边于点 E，继续沿直线 DE 折叠，若折叠后，BE 与线段 DC 相交，且交点不与点 C 重合，则BAC 的度数应满足的条件是 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17（8 分）解方程：2（x1）+1x 18（8 分）如图，直线 EF 分别与 AB，CD 交于点 A，C，若 ABCD，CB 平分ACD，EAB72，求ABC 的度数 19（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过第一、二、四象限，点 A（0，m）在 l上（1）在图中标出点 A；（2）若 m2，且 l 过点（3，4），求直线 l 的表达式 20（8 分）如图，在ABCD 中，E 是 BC 延长线上的一点，且 DEAB，连接 AE、BD，证 第4页（共24页）明 AEBD 21（8 分）某市的居民交通消费可分为交通工具、交通工具使用燃料、交通工具维修、市内公共交通、城市间交通等五项该市统计局根据当年各项的权重及各项价格的涨幅计算当年居民交通消费价格的平均涨幅2017 年该市的有关数据如下表所示 项目 交通工具 交通工具使用燃料 交通工具维修 市内公共交通 城市间交通 占交通消费的比例 22%13%5%p 26%相对上一年价格的涨幅 1.5%m%2%0.5%1%（1）求 p 的值；（2）若 2017 年该市的居民交通消费相对上一年价格的平均涨幅为 1.25%，求 m 的值 22（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O（1）若 AB2，AO，求 BC 的长；（2）若DBC30，CECD，DCE90，OEBD，求DCE 的度数 23（11 分）已知点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上，且横坐标分别为 m，n，过点 A 向 y 轴作垂线段，过点 B 向 x 轴作垂线段，两条垂线段交于点 C，过点 A，B 分别作 ADx 轴于 D，BEy 轴于 E（1）若 m6，n1，求点 C 的坐标；（2）若 m（n2）3，当点 C 在直线 DE 上时，求 n 的值 24（11 分）已知 AB8，直线 l 与 AB 平行，且距离为 4，P 是 l 上的动点，过点 P 作 PCAB 交线段 AB 于点 C，点 C 不与 A，B 重合，过 A，C，P 三点的圆与直线 PB 交于点 第5页（共24页）D（1）如图 1，当 D 为 PB 的中点时，求 AP 的长；（2）如图 2，圆的一条直径垂直 AB 于点 E，且与 AD 交于点 M，当 ME 的长度最大时，判断直线 PB 是否与该圆相切？并说明理由 25（14 分）已知二次函数 yax2+bx+t1，t0（1）当 t2 时，若二次函数图象经过点（1，4），（1，0），求 a，b 的值；若 2ab1，对于任意不为零的实数 a，是否存在一条直线 ykx+p（k0），始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；（2）若点 A（1，t），B（m，tn）（m0，n0）是二次函数图象上的两点，且 SAOBn2t，当1xm 时，点 A 是该函数图象的最高点，求 a 的取值范围 第6页（共24页）2018 年厦门中考一模数学试卷答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1（4 分）计算1+2，结果正确的是（）A1 B1 C2 D3【分析】原式利用有理数的加法法则计算即可求出值【解答】解：原式1，故选：A【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键 2（4 分）抛物线 yax2+2x+c 的对称轴是（）Ax Bx Cx Dx【分析】根据二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x即可求解【解答】解：抛物线 yax2+2x+c 的对称轴是直线 x 故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x是解题的关键 3（4 分）如图，已知四边形 ABCD，延长 BC 到点 E，则DCE 的同位角是（）AA BB CDCB DD【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角【解答】解：DCE 的同位角是B 故选：B【点评】考查了同位角、内错角、同旁内角解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们 第7页（共24页）正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义 4（4 分）某初中校学生会为了解 2017 年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（）A到学校图书馆调查学生借阅量 B对全校学生暑假课外阅读量进行调查 C对初三年级学生的课外阅读量进行调查 D在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现【解答】解：A、抽查对象不具有代表性，故 A 错误；B、调查对象时间不具有代表性，故 B 错误；C、调查对象不具广泛性和代表性，故 C 错误；D、在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查，调查对象比较合适，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现 5（4 分）若 96785p，则 96784 的值可表示为（）Ap1 Bp85 Cp967 Dp【分析】原式变形后，将已知等式代入即可得到结果【解答】解：96885p，96784 967（851）96785967 p967，故选：C【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法分配律的运用 6（4 分）如图，在 RtACB 中，C90，A37，AC4，则 BC 的长约为（）（sin370.60，cos370.80，tan370.75）第8页（共24页）A2.4 B3.0 C3.2 D5.0【分析】根据正切的定义列式计算即可【解答】解：在 RtACB 中，tanA，则 BCACtanA40.753，故选：B【点评】本题考查的是正切的定义，掌握锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切是解题的关键 7（4 分）在同一条直线上依次有 A，B，C，D 四个点，若 CDBCAB，则下列结论正确的是（）AB 是线段 AC 的中点 BB 是线段 AD 的中点 CC 是线段 BD 的中点 DC 是线段 AD 的中点【分析】直接利用已知画出图形，进而分析得出答案【解答】解：如图所示：，符合 CDBCAB，则 C 是线段 AD 的中点 故选：D【点评】此题主要考查了直线、线段，正确画出符合题意的图形是解题关键 8（4 分）把一些书分给几名同学，若_；若每人分 11 本，则不够依题意，设有 x名同学，可列不等式 9x+711x，则横线上的信息可以是（）A每人分 7 本，则可多分 9 个人 B每人分 7 本，则剩余 9 本 C每人分 9 本，则剩余 7 本 D其中一个人分 7 本，则其他同学每人可分 9 本【分析】根据不等式表示的意义解答即可【解答】解：由不等式 9x+711x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分 9 本，则剩余 7 本；若每人分 11 本，则不够；第9页（共24页）故选：C【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系 9（4 分）已知 a，b，c 都是实数，则关于三个不等式：ab，ab+c，c0 的逻辑关系的表述，下列正确的是（）A因为 ab+c，所以 ab，c0 B因为 ab+c，c0，所以 ab C因为 ab，ab+c，所以 c0 D因为 ab，c0，所以 ab+c【分析】举反例说明 A、B、C 错误；利用不等式的性质证明 D 正确【解答】解：A、例如 a5，b1，c2，满足条件 ab+c，但是不满足结论 c0，故本选项错误；B、例如 a5，b8，c6，满足条件 ab+c，c0，但是不满足结论 ab，故本选项错误；C、例如 a5，b1，c2，满足条件 ab，ab+c，但是不满足结论 c0，故本选项错误；D、c0，a+ca，即 aa+c，ab，a+cb+c，ab+c，故本选项正确 故选：D【点评】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的传递性：若 ab，bc，则 ac 10（4 分）我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度比如，通过下列步骤可测量山的高度 PQ（如图）：（1）测量者在水平线上的 A 处竖立一根竹竿，沿射线 QA 方向走到 M 处，测得山顶 P、竹竿顶端 B 及 M 在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线 QA 上的 C 处，沿原方向继续走到 N 处，测得山顶 P、竹竿顶端 D 及 N 在一条直线上；第10页（共24页）（3）设竹竿与 AM，CN 的长分别为 l，a1，a2，可得公式：PQ+l 则上述公式中，d 表示的是（）AQA 的长 BAC 的长 CMN 的长 DQC 的长【分析】由 ABPQ，可得，即，推出 AQa1a1，由 CDPQ，可得，即，可得 AQa2a2AC，推出a1a1a2a2AC，可得 PQ+l，延长即可判断；【解答】解：ABPQ，AQa1a1，CDPQ，AQa2a2AC，a1a1a2a2AC，PQ+l，dAC，故选：B【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会 第11页（共24页）利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）分解因式：m22m m（m2）【分析】直接把公因式 m 提出来即可【解答】解：m22mm（m2）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式 m 是解题的关键 12（4 分）投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是 【分析】由抛掷一枚质地均匀的正六面体，其六个面上分别鞋油 1、2、3、4、5、6 这六个数字，其中点数为奇数的有 3 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正六面体，其六个面上分别鞋油 1、2、3、4、5、6这六个数字，其中点数为奇数的有 3 种情况，朝上的一面的点数为奇数的概率是，故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 13（4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是圆上两点，CDB45，AC1，则AB 的长为 【分析】根据圆周角定理得到ACB90，CABCDB45，则可判断ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解【解答】解：AB 是O 的直径，ACB90，CABCDB45，ABC 为等腰直角三角形，ABAC 故答案为 第12页（共24页）【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 14（4 分）A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30kg，A 型机器人搬运 900kg 所用时间与 B 型机器人搬运 600kg 所用时间相等设 B型机器人每小时搬运 xkg 化工原料，依题意，可列方程 【分析】设 B 种机器人每小时搬运 x 千克化工原料，则 A 种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据 A 型机器人搬运 900kg 原料所用时间与 B 型机器人搬运 600kg 原料所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论【解答】解：设 B 种机器人每小时搬运 x 千克化工原料，则 A 种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据题意，可得：，故答案为：，【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据 A 型机器人搬运 900kg 原料所用时间与 B 型机器人搬运 600kg 原料所用时间相等建立方程是关键 15（4 分）已知 a+120002+20012，计算：4001 【分析】把 a+120002+20012代入得到，再根据完全平方公式得到原式，再根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可求解【解答】解：a+120002+20012，第13页（共24页）4001 故答案为：4001【点评】考查了算术平方根，完全平方公式，关键是将原式变形得到 16（4 分）在ABC 中，ABAC，将ABC 沿B 的平分线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，设折痕交 AC 边于点 E，继续沿直线 DE 折叠，若折叠后，BE 与线段 DC 相交，且交点不与点 C 重合，则BAC 的度数应满足的条件是 100BAC180 【分析】当CEDBED 时，满足条件，由此构建不等式即可解决问题；【解答】解：如图，当CEDBED 时，满足条件，由翻折可知：ABDEC+DEC，DECA（180A）A90，AEBBED（180DEC）（270A），CEDBED，A90（270A），解得A100，BAC 的度数应满足的条件是 100A180，故答案为 100A180【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17（8 分）解方程：2（x1）+1x【分析】去括号、移项、合并同类项即可求解【解答】解：2（x1）+1x，2x2+1x，第14页（共24页）2xx21，x1【点评】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 xa 形式转化 18（8 分）如图，直线 EF 分别与 AB，CD 交于点 A，C，若 ABCD，CB 平分ACD，EAB72，求ABC 的度数 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可【解答】解：ABCD，ACDEAB72，CB 平分ACD，BCDACD36，ABCD，ABCBCD36【点评】此题综合运用了平行线的性质、关键是根据平行线的性质求得ACDEAB 19（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过第一、二、四象限，点 A（0，m）在 l上（1）在图中标出点 A；（2）若 m2，且 l 过点（3，4），求直线 l 的表达式 【分析】（1）利用 y 轴上点的坐标性质得出 A 点位置；（2）利用待定系数法求出直线 l 的表达式即可【解答】解：（1）如图所示：第15页（共24页）（2）设直线 l 的表达式为：ykx+b，把（0，2），（3，4）分别 代入表达式得：，解得：，故直线 l 的表达式为：yx+2 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确代入已知点是解题关键 20（8 分）如图，在ABCD 中，E 是 BC 延长线上的一点，且 DEAB，连接 AE、BD，证明 AEBD 【分析】首先根据平行四边形的性质可得 ABCD，ABCD，再根据等腰三角形的性质可得DCEDEC，即可证明ABEDEB，再根据全等三角形性质可得到结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ABDC，DEAB，DEDC DCEDEC，ABDC，ABCDCE ABCDEC 第16页（共24页）在ABE 与DEB 中，ABEDEB（SAS）AEBD【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明ABEDEB 的条件 21（8 分）某市的居民交通消费可分为交通工具、交通工具使用燃料、交通工具维修、市内公共交通、城市间交通等五项该市统计局根据当年各项的权重及各项价格的涨幅计算当年居民交通消费价格的平均涨幅2017 年该市的有关数据如下表所示 项目 交通工具 交通工具使用燃料 交通工具维修 市内公共交通 城市间交通 占交通消费的比例 22%13%5%p 26%相对上一年价格的涨幅 1.5%m%2%0.5%1%（1）求 p 的值；（2）若 2017 年该市的居民交通消费相对上一年价格的平均涨幅为 1.25%，求 m 的值【分析】（1）根据各项的百分比之和为 1 可得 p 的值；（2）利用加权平均数的定义列出关于 m 的方程，解之可得【解答】解：（1）p1（22%+13%+5%+26%）34%；（2）由题意，得：1.25%，解得：m3【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义 22（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O（1）若 AB2，AO，求 BC 的长；（2）若DBC30，CECD，DCE90，OEBD，求DCE 的度数 第17页（共24页）【分析】（1）根据矩形的性质求出 AC 长，在 RtABC 中利用勾股定理可求 BC 长；（2）根据已知推理COD 是等边三角形，由 OEBD，得到 OE 与 OC、EC 之间的数量关系，利用勾股定理的逆定理说明OCE 是直角，从而求出DCE 度数【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ABC90，AC2AO2 在 RtACB 中，BC4；（2）四边形 ABCD 是矩形，ACBDBC30，BD2OD，ODOC DCO903060 COD 是等边三角形 OCODCD CECD，CECO OEBD，OEODOCCE 设 OCECa，则 OEa，则 OC2EC2a2，OE22a2，OC2+CE2OE2 OCE90 DCE906030【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理解题的关键是在矩形中结合已知得到等边三角形，进行线段间的转化 23（11 分）已知点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上，且横坐标分别为 m，n，过点 A 向 y 轴作垂线段，过点 B 向 x 轴作垂线段，两条垂线段交于点 C，过点 A，B 分别作 ADx 轴于 D，BEy 轴于 E 第18页（共24页）（1）若 m6，n1，求点 C 的坐标；（2）若 m（n2）3，当点 C 在直线 DE 上时，求 n 的值【分析】（1）将 m6，n1 分别代入 y，求出 A、B 两点的坐标，进而得到点 C 的坐标；（2）先求出 A、B 两点的坐标，得出 D（m，0），E（0，），C（n，）利用待定系数法求出直线 DE 的解析式，把 C 点坐标代入得出 m2n，然后把 m2n 代入 m（n2）3，即可求出 n 的值【解答】解：（1）m6 时，y1，A（6，1）n1 时，y6，B（1，6）过点 A 向 y 轴作垂线段，过点 B 向 x 轴作垂线段，两条垂线段交于点 C，C（1，1）；（2）如图 点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上，且横坐标分别为 m，n，A（m，），B（n，）（m0，n0），D（m，0），E（0，），C（n，）设直线 DE 的解析式为 ykx+b，则，解得，直线 DE 的解析式为 yx+点 C 在直线 DE 上，n+，化简得 m2n 把 m2n 代入 m（n2）3，整理，得 2n24n30，第19页（共24页）解得 n，n0，n 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求直线的解析式等知识，也考查了学生的计算能力 24（11 分）已知 AB8，直线 l 与 AB 平行，且距离为 4，P 是 l 上的动点，过点 P 作 PCAB 交线段 AB 于点 C，点 C 不与 A，B 重合，过 A，C，P 三点的圆与直线 PB 交于点D（1）如图 1，当 D 为 PB 的中点时，求 AP 的长；（2）如图 2，圆的一条直径垂直 AB 于点 E，且与 AD 交于点 M，当 ME 的长度最大时，判断直线 PB 是否与该圆相切？并说明理由 【分析】（1）由 AP 是直径知ADP90，即 ADPB，根据 D 为 PB 的中点即可得；（2）设圆心为 O，连接 OC、OD，由 OEAC 可设 AEx，知 BC82x，证MEABCP 得，据此求得 ME（x2）2+2，从而得出 x2 时 ME 取得最大值，连接 AP 先证PACAPCCPB45得 APPB，再由PCA90知 AP 为直径，即可得出答案【解答】解：（1）如图，PCAB，ACP90，AP 是直径，ADP90，即 ADPB，第20页（共24页）又D 为 PB 的中点，APAB8；（2）当 ME 的长度最大时，直线 PB 与该圆相切；如图，设圆心为 O，连接 OC、OD，OEAB，且 OAOC，AEEC，设 AEECx，则 CB82x，CADCOD，CPDCOD，CADCPD，PCAB、OEAB，PCBMEA90，MEABCP，即，则 ME（x2）2+2，x0，82x0，0 x4，又0，当 x2 时，ME 的长度取得最大值 2，连接 AP，AEx2，ACBCPC4，第21页（共24页）PCAB，PCA90，在 RtACP 中，PACAPC45，同理可得CPB45，APB90，即 APPB，又PCA90，AP 为直径，直线 PB 与该圆相切【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质及二次函数的性质等知识点 25（14 分）已知二次函数 yax2+bx+t1，t0（1）当 t2 时，若二次函数图象经过点（1，4），（1，0），求 a，b 的值；若 2ab1，对于任意不为零的实数 a，是否存在一条直线 ykx+p（k0），始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；（2）若点 A（1，t），B（m，tn）（m0，n0）是二次函数图象上的两点，且 SAOBn2t，当1xm 时，点 A 是该函数图象的最高点，求 a 的取值范围【分析】（1）当 t2 时，二次函数为 yax2+bx3把（1，4），（1，0）分别代入 yax2+bx3，得出关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组即可；由 2ab1 得出 b2a1将 ykx+p 代入 yax2+bx3，整理得出 ax2+（2ak1）x3p0，根据直线与二次函数图象交于不同的两点，得到（2ak1）2+4a（3+p）4a24a（kp2）+（1+k）20，由非负数的性质得出当 kp20 时，总有0，取 p3，k1，即可得出结论；（2）把 A（1，t）代入 yax2+bx+t1，得出 ba1根据 SAOBn2t，利用割补法求出 m3，则 A（1，t），B（3，tn）由 n0，得出 ttn再分两种情况进行讨论：当 a0 时，由 ttn，求出 a，则 0a；当 a0 时，由 ttn，可知 A、B 在对称轴的右侧，1，即1，求出 a1，则1a0 第22页（共24页）【解答】解：（1）当 t2 时，二次函数为 yax2+bx3 把（1，4），（1，0）分别代入 yax2+bx3，得，解得，所以 a1，b2；方法一：2ab1，b2a1，当直线 ykx+p 与二次函数 yax2+bx3 图象相交时，kx+pax2+（2a1）x3，整理，得 ax2+（2ak1）x3p0，（2ak1）2+4a（3+p），若直线与二次函数图象交于不同的两点，则0，（2ak1）2+4a（3+p）0，整理，得 4a24a（kp2）+（1+k）20，无论 a 取任意不为零的实数，总有 4a20，（1+k）20，当 kp20 时，总有0，可取 p3，k1，对于任意不为零的实数 a，存在直线 yx3，始终与二次函数图象交于不同的两点；方法二：2ab1，b2a1，二次函数为 yax2+（2a1）x3，当 x2 时，y1；当 x0 时，y3，二次函数图象一定经过（2，1），（0，3）设经过这两点的直线的表达式为 ykx+p，将（2，1），（0，3）代入，得，解得，即直线 yx3，始终与二次函数图象交于（2，1），（0，3）两点；（2）把 A（1，t）代入 yax2+bx+t1，可得 ba1 第23页（共24页）A（1，t），B（m，tn）（m0，n0），且 SAOBn2t，t0，t+（nt）（m+1）1（t）（nt）mn2t，解得 m3，A（1，t），B（3，tn）n0，ttn 分两种情况：当 a0 时，二次函数图象的顶点为最低点，当1x3 时，点 A 是该函数图象的最高点，则 yAyB，分别把 A（1，t），B（3，tn）代入 yax2+bx+t1，得 tab+t1，tn9a+3b+t1，ttn，ab+t19a+3b+t1，2a+b0，即 2a+（a1）0，解得 a，0a；当 a0 时，由 ttn，可知：若 A、B 在对称轴的异侧，当1x3 时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是 A 点；若 A、B 在对称轴的左侧，因为当 x时，y 随 x 的增大而增大，所以当1x3时，点 A 为该函数图象的最低点；若 A、B 在对称轴的右侧，因为当 x时，y 随 x 的增大而减小，所以当1x3时，点 A 为该函数图象的最高点，则1，即1，解得 a1，所以1a0 综上，a 的取值范围是 0a或1a0【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数 第24页（共24页）的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与直线的交点，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度利用分类讨论与方程思想是解题的关键