异面直线所成角的计算.ppt

关于异面直线所成角的计算现在学习的是第1页，共20页abbO一.复习定义，奠定基础注意：注意：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点 O,分别引分别引直线直线aa ,b b。我们把直线。我们把直线a和和b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a和和b所成的角所成的角.（0，a现在学习的是第2页，共20页预备知识预备知识角的知识角的知识正弦定理正弦定理a=2RsinA a=2RsinAS ABC=bc sinA余弦定理余弦定理ABCbcacosA=ABCbca现在学习的是第3页，共20页求角的步骤：1.确定角确定角2.求角求角求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤有哪些？有哪些？现在学习的是第4页，共20页 二 实际操作，形成技能（一)请同学们在练习本上规范写出下列题目，然后小组内交流，交流完后派代表到前面展示，其他小组认真聆听，并加以完善。现在学习的是第5页，共20页ADCBFE例例1 1、在三棱锥、在三棱锥A-BCDA-BCD中中AD=BC=2aAD=BC=2a，E E，F F分分别是别是ABAB，CDCD的中点的中点EF=EF=，求，求ADAD和和BCBC所成的角所成的角MEMF=120EMF=120AD和和BC所成的角为所成的角为60 切记切记:别忘了角的范围别忘了角的范围!现在学习的是第6页，共20页例例2 2：长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取BB1的 中 点M，连 O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？现在学习的是第7页，共20页于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例例2 2：长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取BB1的中点 M，连 O1M，则 O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，解：解：为什么为什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的的方法，使之成为相交直线所成的角。方法，使之成为相交直线所成的角。现在学习的是第8页，共20页解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。线的关系。在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得A1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成所成的角的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F，现在学习的是第9页，共20页(二二)、数学思想、方法、步骤总结：、数学思想、方法、步骤总结：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与化归与转化转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：求异面直线所成的角：求异面直线所成的角：作（找）证 求1.1.数学思想：数学思想：平移平移 构造可解三角形构造可解三角形现在学习的是第10页，共20页正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900现在学习的是第11页，共20页在正四面体S-ABC中，SABC,E,F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2B现在学习的是第12页，共20页SABEFCDG练习2（解法二）现在学习的是第13页，共20页SACBEFSABEFC练习2（解法三）现在学习的是第14页，共20页练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾现在学习的是第15页，共20页练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF为EF与PC所成的角或其补角EF与PC所成的角为现在学习的是第16页，共20页练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF现在学习的是第17页，共20页练习4如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数ABCDEFab现在学习的是第18页，共20页定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体角，体现了化归的数学思想。现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。关知识解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角现在学习的是第19页，共20页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第20页，共20页