2019年数学新同步湘教版必修2第3章 章末小结.doc

1导数的几何意义导数的几何意义导数导数 f(x0)的几何意义就是曲线的几何意义就是曲线 yf(x)在点在点(x0，f(x0)处切线的斜率曲线处切线的斜率曲线 yf(x)在在点点 P(x0，f(x0)处的切线，是以处的切线，是以 P 为切点的切线，其方程为为切点的切线，其方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的单调性与导数函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若在某个区间内，若 f(x)>0(或或 f(x)0 或或 f(x)0 或或 f(x)0 时，时，(x22)ex>0，注意到，注意到 ex>0，所以所以x22>0，解得，解得0，因此因此x2(a2)xa0 在在(1,1)上恒成立，上恒成立，也就是也就是 ax1在在(1,1)上恒成立上恒成立x22xx11x1设设 yx1，则，则 y1>0，1x11 x1 2即即 yx1在在(1,1)上单调递增，上单调递增，1x1则则 y0 或或 f(x)0，(， ，23)函数函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为和和2，)；(， ，23当当 x时，时，f(x)0，函数单调递增；，函数单调递增；当当 x>2 时，时，F(x)0 时，令时，令 F(x)0，得，得 x ，x (舍去舍去)1a12当当 00，函数单调递增；，函数单调递增；1a当当 x> 时，时，F(x)0，解得，解得 x1，令令 f(x)0；当；当 x(1,2)时，时，f(x)0.当当 x1 时，时，f(x)取极大值取极大值 f(1)58c.当当 x2 时，时，f(x)取极小值取极小值 f(2)48cf(1)，f(0)8c9.c 的取值范围为的取值范围为(，1)(9，).导数与不等式问题导数与不等式问题例例 4 (2016·全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当当 a4 时，求曲线时，求曲线 yf(x)在在(1，f(1)处的切线方程；处的切线方程；(2)若当若当 x(1，)时，时，f(x)0，求，求 a 的取值范围的取值范围解解 (1)f(x)的定义域为的定义域为(0，)当当 a4 时，时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x 3，f(1)2.1x故曲线故曲线 yf(x)在在(1，f(1)处的切线方程为处的切线方程为 2xy20.(2)当当 x(1，)时，时，f(x)0 等价于等价于 ln x0.a x1 x1设设 g(x)ln x，a x1 x1则则 g(x) ，g(1)0.1x2a x1 2x22 1a x1x x1 2当当 a2，x(1，)时，时，x22(1a)x1x22x10，故，故 g(x)0，g(x)在在(1，)上单调递增，因此上单调递增，因此 g(x)0；当当 a2 时，令时，令 g(x)0 得得 x1a1，x2a1. a1 21 a1 21由由 x21 和和 x1x21 得得 x11，故当，故当 x(1，x2)时，时，g(x)0，g(x)在在(1，x2)上单调递上单调递减，因此减，因此 g(x)0.综上，综上，a 的取值范围是的取值范围是(，2利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解区间端点的函数值使问题得以求解7已知函数已知函数 f(x)ln x. x1 22(1)求函数求函数 f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(2)证明：当证明：当 x1 时，时，f(x)x1.解：解：(1)f(x) x1，x(0，)1xx2x1x由由 f(x)0，得，得Error!Error!解得解得 0x.1 52故故 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是.(0， ，1 52)(2)证明：令证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有则有 F(x).1x2x当当 x(1，)时，时，F(x)0，所以所以 F(x)在在1，)上单调递减，上单调递减，故当故当 x1 时，时，F(x)F(1)0，即当即当 x1 时，时，f(x)x1.导数与实际应用问题导数与实际应用问题例例 5 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升升)关于行驶速度关于行驶速度x(千米千米/小时小时)的函数解析式可以表示为：的函数解析式可以表示为：yx3x8(00，h(x)是增函是增函数数所以当所以当 x80 时，时，h(x)取到最小值取到最小值 h(80)11.25(升升)因为因为 h(x)在在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值上只有一个极值，所以它是最小值故以故以 80 千米千米/小时匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少，最少为小时匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升升实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；实际问题中的自变量有一定的限制范围，因此根据题意写出定义域是重要的一个环节在实际问题中的自变量有一定的限制范围，因此根据题意写出定义域是重要的一个环节在求最值时，若定义域内只有一个极值点，则通常该极值点就是最值点求最值时，若定义域内只有一个极值点，则通常该极值点就是最值点8某工厂每天生产某种产品最多不超过某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，并且在生产过程中产品的正品率件，并且在生产过程中产品的正品率 P 与与每日生产量每日生产量 x(xN)件之间的关系为件之间的关系为 P，每生产一件正品盈利，每生产一件正品盈利 4 000 元，每出元，每出4 200x24 500现一件次品亏损现一件次品亏损 2 000 元元(1)将日利润将日利润 y(元元)表示成日产量表示成日产量 x(件件)的函数；的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值解：解：(1)y4 000x2 000x4 200x24 500(14 200x24 500)3 600x x3，43所求的函数关系式是所求的函数关系式是y x33 600x(xN，1x40)43(2)显然显然 y3 6004x2.令令 y0，解得，解得 x30.当当 1x0；当；当 30<x40 时，时，y<0.函数函数 y x33 600x(xN，1x40)在在1,30)上单调递增，在上单调递增，在(30,40上单调递上单调递43减减当当 x30 时，函数时，函数 y x33 600x(xN，1x40)取得最大值，取得最大值，43最大值为最大值为 ××3033 600××3072 000(元元)43该厂的日产量为该厂的日产量为 30 件时，日利润最大，其最大值为件时，日利润最大，其最大值为 72 000 元元